Wahlteil B1
Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein 
hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung ist eine der Werbeflächen grau dargestellt.
Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von 
er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.
In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die 
-Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 
in der Wirklichkeit.
Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte 
und 
stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.
a)
Bestimme den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche.
(1 VP)
Prüfe, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen.
(1 VP)
b)
Die grau dargestellte Werbefläche liegt im Modell in einer Ebene, deren Gleichung in der Form 
dargestellt werden kann.
Ermittle passende Werte von 
und 
(1,5 VP)
c)
Begründe, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt.
(2,5 VP)
Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt.
Die obere Kante der Mauer wird im Modell durch die Strecke zwischen den Punkten 
und 
dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch 
beschrieben.
Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck 
mit 
dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung).
d)
Eine Sichtlinie verläuft im Modell von 
zu 
Berechne die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber der Horizontalen.
rechnerisch bestimmen könnte.
(1,5 VP)
Beschreibe, wie man die Koordinaten von
(2 VP)
e)
Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird im Modell durch Punkte der Form 
mit 
beschrieben. Dabei ist 
die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.
Der Ball bewegt sich im Modell in der Ebene 
Beschreibe die besondere Lage von 
im Koordinatensystem und gib eine Gleichung dieser Ebene an.
(1 VP)
Untersuche, ob der Ball die Mauer trifft, bevor er den Boden berührt.
(2 VP)
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a)
Flächeninhalt bestimmen
Aus den 
- und 
-Koordinaten von 
und der 
-Koordinate von Punkt 
folgt für Punkt 
Der Flächeninhalt ergibt sich nun wie folgt:
Der Flächeninhalt der Werbefläche beträgt somit ca. 
Winkel prüfen
Die Koordinaten von 
ergeben sich mit 
Die Seitenflächen schließen somit einen rechten Winkel ein.
b)
Einsetzen der Koordinaten von in die Ebenengleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a\cdot 5+a\cdot (-2)&=& b& \\[5pt]
3a&=& b
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a870d6c55f696768f96e4964e6e63692e57a9bb7378b4c0be2d8d0b9a81009f8?color=5a5a5a)
Passende Werte für und 
die diese Gleichung lösen, sind beispielsweise 
und 
c)
Die -Achse entspricht der Symmetrieachse des Masts und stellt somit dessen Mittelgerade dar.
Da die Punkte und den gleichen Abstand zum Punkt 
auf der -Achse haben, ist der Abstand des Mittelpunkts 
der Strecke 
zur -Achse aus Symmetriegründen am kleinsten. Es hat also kein anderer Punkt auf der Strecke einen kleineren Abstand zur -Achse.
Aufgrund des vertikalen Verlaufs der Seitenkanten 
und 
gilt dies für alle weiteren Punkte innerhalb des Vierecks 
Diejenigen Punkte, die vertikal unterhalb von liegen, haben somit den gleichen Abstand zur -Achse wie 
während der Abstand aller anderen Punkte innerhalb der Werbefläche zur -Achse größer ist.
d)
Winkel berechnen
Vektor der Sichtlinie bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{GK}&=& \pmatrix{24\\15\\1}-\pmatrix{4\\-1\\11}& \\[5pt]
&=& \pmatrix{20\\16\\-10}& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8357dc3ed1504d681e016eae9d85deb06643454009239948f3d4d455b53b592c?color=5a5a5a)
Ein Normalenvektor der Horizontalen ist beispielsweise 
Der Winkel der Sichtlinie gegenüber der Horizontalen ergibt sich nun durch:
Die Größe des Winkels der Sichtlinie gegenüber der Horizontalen beträgt somit ca. 
Vorgehen beschreiben
Aus den Punkten 
und 
kann eine Koordinatengleichung einer Hilfsebene aufgestellt werden, welche die untere Grenze des beschränkten Sichtfelds des Kindes darstellt.
Diese schneidet die Werbefläche in der Strecke 
Zudem lässt sich aus den Punkten 
und die Gleichung einer Hilfsgeraden aufstellen, welche die rechte Seitenkante der Werbefläche beschreibt.
Die Zeilen der Geradengleichung können nun in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt werden. Die Koordinaten des Schnittpunkts der Hilfsgerade mit der Hilfsebene entsprichen nun den Koordinaten von 
e)
Lage von beschreiben
Da die Koordinate stets konstant ist, liegt die Ebene parallel zur 
-Ebene.
Eine Gleichung dieser Ebene ist somit 
Flugbahn untersuchen
Der Ball trifft die Mauer, wenn die -Koordinate des Aufprallpunktes 
ist.
Es muss also gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
32-8t&=& 20&\quad \scriptsize \mid\;-32 \\[5pt]
-8t&=& -12&\quad \scriptsize \mid\; :(-8)\\[5pt]
t&=& 1,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4e4575defc1a5f1dc5b7c983a54e88f77dd6532cc50a0e8b8259d45923233d8c?color=5a5a5a)
In diesem Fall folgt für die -Koordinate:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_3&=& -5\cdot 1,5^2+6,5\cdot 1,5+0,3 &\\[5pt]
&=& -1,2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bfdb16007878451b8f83c8d2489a7912bc49931d1f7a5c3058655b7c6b65590a?color=5a5a5a)
Aus 
lässt sich schließen, dass der Ball die Mauer nicht trifft, bevor er den Boden berührt.