Wahlteil C2

In einer Urne befinden sich drei rote, eine weiße und sechs schwarze Kugeln.

Es werden nacheinander acht Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Bestimme für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
A: Genau drei dieser Kugeln sind rot.
B: Mehr als zwei und weniger als sechs dieser Kugeln sind rot.
C: Die ersten drei Kugeln haben dieselbe Farbe.

(3 VP)

Gib im Zusammenhang mit der oben beschriebenen Urne ein Zufallsexperiment und ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem folgenden Term berechnen lässt:
$\pmatrix{5\\3}\cdot 0,6^3\cdot0,4^2$

(1,5 VP)

Bei einem Spiel werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Ist die weiße Kugel dabei, erhält der Spieler seinen Einsatz zurück. Bei zwei Kugeln mit gleicher Farbe erhält er vier Euro ausbezahlt. In allen anderen Fällen gibt es keine Auszahlung.
Bestimme die Höhe des Einsatzes, so dass dieses Spiel fair ist.

(2,5 VP)

In einer anderen Urne befinden sich $200$ schwarze und fünf rote Kugeln.
Ein Spieler zieht $15$ -mal nacheinander eine Kugel und legt sie jeweils direkt wieder zurück. Er gewinnt, wenn er mindestens eine rote Kugel zieht.
Berechne seine Gewinnwahrscheinlichkeit.

Dem Spieler wird folgendes Angebot gemacht. Er kann auf Züge verzichten, dafür werden weitere rote Kugeln in die Urne gelegt. Der Spieler muss vor dem Ziehen erklären, auf wie viele Züge er verzichtet. Für jeden weggelassenen Zug werden zwei rote Kugeln zusätzlich in die Urne gelegt.
Gib einen Term an, mit dem die Gewinnwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zahl $z$ der weggelassenen Züge berechnet werden kann.
Ermittle, auf wie viele Züge er verzichten muss, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit am größten ist.

(3 VP)

Es befinden sich insgesamt zehn Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen beträgt daher 30%. $X$ ist die Anzahl der roten Kugeln und binomialverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei von acht gezogenen Kugeln rot sind, berechnest du mit:

$P(A) \approx 0,254$

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Sind mehr als zwei und weniger als sechs dieser Kugeln rot, so lautet die Wahrscheinlichkeit:

$P(B) \approx 0,437$

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Wenn die ersten 3 Kugeln die dieselbe Farbe haben sollen, musst du dir vorstellen die entsprechenden Pfade eines Baumdiagramms entlangzugehen. Mit der Pfadwahrscheinlichkeit ergibt sich dann:

$P(C) = 0,3^3 +0,1^3 +0,6^3 =0,244$

Der Term beschreibt ein Ziehen mit Zurücklegen. Das Experiment ist, dass nacheinander fünf Kugeln gezogen werden und das Ereignis, dass genau drei schwarze gezogen werden.
Dabei steht $n=5$ für die Anzahl der Züge und $k=3$ für die Anzahl der Treffer, also die Anzahl der schwarzen Kugeln. Es handelt sich wegen $p=0,6$ um die schwarzen Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen beträgt $\dfrac{1}{10} +\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{5}$ .
Die Wahrscheinlichkeit zwei Kugeln gleicher Farbe hintereinander zu ziehen beträgt $\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{5}{9} +\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{5}$ .

Zieht man die weiße Kugel, bekommt man den Einsatz $e$ zurück, bei zwei farbigen Kugeln erhält man 4 Euro.
Bei einem fairen Spiel ist der Erwartungswert $E(x)=e$ .

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{5} e + \dfrac{2}{5} \cdot 4&=&e &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{5} e \\[5pt] \dfrac{8}{5} &=&\dfrac{4}{5}e &\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{4}{5}\\[5pt] 2&=&e \end{array}$

Der Einsatz müsste zwei Euro betragen.

Rechne mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Berechne also zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine rote Kugel gezogen wird und dann davon die Gegenwahrscheinlichkeit:

$p \approx 0,310$

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Der Term $1- \left (\dfrac{200}{205+2z} \right)^{15-z}$ beschreibt für $z\in \{0,1,2,..., 15 \}$ die Gegenwahrscheinlichkeit. Gesucht ist das Maximum, welches für $z=6$ (siehe Taschenrechner) angenommen wird.
Der Spieler muss auf sechs Züge verzichten um eine maximale Gewinnchance zu haben.