Stochastik

Aufgabe III 1

Ein Pflanzenhändler erhält in einem Behälter eine große Lieferung von Blumensamen, in der zwei Sorten vermischt sind. Diese besteht aus den Samen einer rot blühenden Blume (kurz: Rotblüher) und den Samen einer blau blühenden (kurz: Blaublüher). Einige Samen keimen nicht, d.h. aus ihnen wächst keine Blume.
Die Samen sind äußerlich nicht voneinander zu unterscheiden.
Der Anteil der Rotblüher an der Samenmischung beträgt $80\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samen der Rotblüher keimt, ist $95\,\%.$

Ein Samen wird zufällig aus der Lieferung entnommen.
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der entnommene Samen ein Rotblüher ist und keimen wird, $0,76$ beträgt.

(1 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A: „Unter $10$ zufällig ausgewählten Samen sind genau $7$ Samen, die Rotblüher sind und keimen werden.“
B: „Unter $10$ zufällig ausgewählten Samen sind mindestens $9$ Samen, die Rotblüher sind und keimen werden.“

(4 BE)

Bestimme, wie viele Samen höchstens aus dem Behälter entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $99\,\%$ mindestens ein keimender Rotblüher dabei ist.

(3 BE)

Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Samen der Samenmischung keimt, $0,9$ beträgt.
Die Blaublüher sind eine neu gezüchtete Sorte, von der man bisher noch keine genauen Kenntnisse bzgl. ihrer Keimung hatte.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Blaublüher keimt.

(3 BE)

Für den Verkauf verpackt der Händler jeweils $5$ Samen der Mischung in eine Tüte.
Betrachtet wird im Folgenden die Zufallsgröße
R: „Anzahl der Rotblühersamen in einer Tüte“.

Ergänze in der Tabelle die fehlende Wahrscheinlichkeit der Zufallsgröße $R$ für den Wert $r=3.$
Erläutere zwei Möglichkeiten für die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit.

$r$	$P(R=r)$
$0$	$0,0003$
$1$	$0,0064$
$2$	$0,0512$
$3$
$4$	$0,4096$
$5$	$0,3277$

(4 BE)

Zeige, dass für den Erwartungswert der Zufallsgröße $R$ gilt: $E(R)= 4.$

(1 BE)

Entscheide durch Ankreuzen, welche der Aussagen auf Grund des gezeigten Erwartungswertes sachbezogen entweder richtig oder falsch sind.
Begründe deine Entscheidung für die Aussage mit der Nummer $1.$

Nummer	Aussage	richtig	falsch
1	Kauft man eine Tüte, sind in dieser mindestens 4 Samen der Rotblüher.
2	Wenn man 100 Tüten kauft, sind unter diesen mit Sicherheit mindestens 4 Tüten, in denen mindestens ein Samen der Rotblüher ist und der Rest sind Blaublüher.
3	Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Tüte höchstens 4 Samen von Rotblühern sind, beträgt mehr als 50%.

(5 BE)

Ein Kunde will von $10$ gekeimten Samen $4$ für seinen Balkon auswählen. Er möchte, dass darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $70\,\%$ mindestens $3$ Rotblüher sind.
Ermittle, wie groß hierfür der Anteil der Rotblüher unter den $10$ Samen mindestens sein muss.

(4 BE)

Aufgabe III 2

Bei der Aussaat von Raps können Landwirte aus verschiedenen Sorten mit jeweils spezifischen Eigenschaften wählen.
Zunächst wird der Fall betrachtet, dass ein Landwirt Saatgut einer Sorte $A$ ausgebracht hat, die unter den vorliegenen Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % keimt.

Es werden dem Boden zufällig einige Körner entnommen und untersucht, ob diese gekeimt haben. Erläutere die untenstehende Gleichung sowie die einzelnen Faktoren des Terms auf der rechten Seite der Gleichung in diesem Sachzusammenhang. Gib den zugehörigen Zahlenwert an.
$P(X=55)=\pmatrix{60\\55}\cdot 0,95^{55}\cdot 0,05^5$
Begründe, warum das zugrunde gelegte mathematische Modell hier angewendet werden kann.

(5 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
$E_1$ : Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern haben höchstens 4 nicht gekeimt.
$E_2$ : Unter 80 dem Boden zufällig entnommenen Körnern weicht die Anzahl der gekeimten Körner höchstens um 2 vom zu erwartenden Wert ab.

(5 BE)

Der Landwirt vermutet, dass der Anteil der Samenkörner der Sorte $A,$ die unter den vorliegenden Bedingungen keimen, niedriger ist als 95 %.

Entwickle einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5 %, mit dem bei 250 zufällig dem Boden entnommenen Körnern die Vermutung überprüft werden könnte. Formuliere im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel.
Beschreibe den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.

(8 BE)

Bestimme mithilfe deiner Entscheidungsregel aus Aufgabe 1.3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für den Fall, dass der Anteil der Körner, die gekeimt haben, tatsächlich nur 90 % beträgt.
Beschreibe, wie die Fehlerwahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art reduziert werden könnte, obwohl das Signifikanzniveau weiterhin eingehalten werden soll.

(4 BE)

Betrachtet wird nun der Fall, dass der Landwirt sich für unterschiedliche Sorten entscheidet. Er sät auf 85 % seiner für Raps vorgesehenen Flächen Samenkörner der Sorte $A$ aus Aufgabe 1. Auf die restlichen für Raps vorhergesehene Fläche sät er Samenkörner der Sorte $B,$ die unter den vorliegenden Bedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % keimen.
Die verwendeten Mengen an Saatgut sind hierbei proportional zur Größe der genutzten Flächen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach der Aussaat dem Boden zufällig entnommenes Korn, welches gekeimt hat, ein Korn der Sorte $B$ ist.

(4 BE)

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach der Aussaat dem Boden zufällig entnommenes Korn nicht gekeimt hat, 5,75 % beträgt.

(2 BE)

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Lösung III 1

Wahrscheinlichkeit für einen rotblühenden keimenden Samen berechnen:

$RB:$ Rotblüher
$SK:$ Samen keimt

Nach der Pfadregel lautet die Rechnung für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Rotblüher keimt:

$\begin{array}[t]{rll} P(RB \cap SK)&=& P(RB)\cdot P(SK) \\[5pt] &=& 0,8\cdot0,95\\[5pt] &=& \dfrac{19}{25}\\[5pt] &=& 0,76 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig entnommene Samen ein Rotblüher ist und keimen wird, beträgt $0,76$ .

Definiere eine Zufallsvariable $X$ .

$X$ : Anzahl der keimfähigen Rotblüher

$X$ ist binomialverteilt mit $B_{10; 0,76}$ ( $n=10$ und $p=0,76$ ).

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnen:

$P(A)\approx 0,2429$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $24,29\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ berechnen:

$P(B)\approx 0,2673$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt $26,73\,\%$ .

$n$ bestimmen:

$X$ : Anzahl der keimfähigen Rotblüher
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{n; 0,76}$ ( $n=$ gesucht und $p=0,76$ ).

$n \leq 3$

Vollständige Lösung anzeigen

Es müssen höchstens $3$ Samen entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $99\,\%$ mindestens ein keimender Rotblüher dabei ist.

Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein Blaublüher keimt:

$RB$ : Rotblüher
$BB$ : Blaublüher
$SK$ : Samen keimt

gesucht: $P_B(SK)=x$

aus Aufgabenteil $a)$ ist bekannt: $P(RB \cap SK)=0,76$
$P(BB)=0,2$

$x=0,7$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Blaublüher keimt, beträgt $0,7$ .

Wahrscheinlichkeit für $r=3$ berechnen:

$R$ : Anzahl der Rotblühersamen in einer Tüte
$R$ ist binomialverteilt mit $B_{5; 0,8}$ ( $n=5$ und $p=0,8$ ).

$\begin{array}[t]{rll} P(R=3)&=& \pmatrix{5\\3}\cdot0,8^3\cdot0,2^2 \\[5pt] &\approx& 0,2048 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $r=3$ beträgt $0,2048$ .

Erwartungswert der Zufallsgröße $R$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} E(R)&=& n \cdot p \\[5pt] &=& 5\cdot0,8\\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Der Erwartungswert der Zufallsgröße beträgt $E(R)=4$ .

Tabelle ausfüllen:

Nummer	Aussage	richtig oder falsch?	Erklärung
1	Kauft man eine Tüte, sind in dieser mindestens $4$ Samen der Rotblüher.	falsch	Die Samen sind von außen nicht unterscheidbar und somit erfolgt die Auswahl zufällig. Die Tüte könnte zum Beispiel auch keinen einzigen Rotblüher enthalten.
2	Wenn man $100$ Tüten kauft, sind unter diesen mit Sicherheit mindestens $4$ Tüten, in denen mindestens ein Samen der Rotblüher ist und der Rest sind Blaublüher.	falsch
3	Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Tüte höchstens $4$ Samen von Rotblühern sind, beträgt mehr als $50\,\%$ .	richtig

Anteil der Rotblüher ermitteln:

Der gesuchte Anteil wird durch systematisches Probieren ermittelt.

$7$ Rotblüher unter den $10$ Samen:

Die folgenden Binomialkoeffizienten können mit Hilfe des Taschenrechners bestimmt werden.

$P(X\geq3)=\dfrac{2}{3} \lt 0,7$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $\dfrac{2}{3}$ kleiner als $70\,\%$ ist, muss der Anteil der Rotblüher höher als $7$ von $10$ sein.

$8$ Rotblüher unter den $10$ Samen:

$P(X\geq3) \approx 0,87 \gt 0,7$

Vollständige Lösung anzeigen

In seiner Auswahl muss der Kunde also mindestens $8$ Rotblüher haben, damit von einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $70\,\%$ mindestens $3$ Rotblüher unter den $4$ Samen für seinen Balkon sind.

Lösung III 2

Gleichung erläutern

Mit der Gleichung wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass von $60$ Körnern genau $55$ keimen.

$\pmatrix{60\\55}:$ Anzahl Möglichkeiten, dass von $60$ Körnern genau $55$ keimen

$0,95^{55}:$ Wahrscheinlichkeit, dass $55$ Körner mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $95\,\%$ keimen

$0,05^5:$ Wahrscheinlichkeit, dass $5$ Körner mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $5\,\%$ nicht keimen

Wert der Gleichung angeben

$P(X=55) \approx 0,1016 = 10,16 \%$

Modell begründen

Das Modell der Binomialverteilung kann in diesem Fall verwendet werden, da es genau zwei mögliche Ereignisse gibt (keimen oder nicht keimen) und sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieser Ereignisse nicht verändert.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der aufkeimenden Körner. $X$ ist $B_{80; \; 0,95}$ -verteilt.

$E_1: \; P(X \geq 76) = 1 - P(X \leq 75)$ $\approx 0,6289$

Der zu erwartende Wert entspricht dem Erwartungswert und beträgt $E(X) = 80 \cdot 0,95 = 76.$

$E_2: \; P(74 \leq X \leq 78)$ $= P(X \leq 78) - P(X \leq 73)$ $= 0,8086$

Hypothesentest

Es soll ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt werden:

$H_0: p \geq 0,95 \qquad H_1: p \lt 0,95 \qquad$ $\alpha = 0,05$

Sei $X$ die Anzahl der aufkeimenden Körner. $X$ ist $B_{250; \; 0,95}$ -verteilt.

Der Ablehnungsbereich wird durch $A = \{0; 1; \dots ; g \}$ definiert.

Gesucht ist die größte natürliche Zahl $g$ , sodass Folgendes gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq g)& \leq& 0,05&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Durch systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner folgt:

$P (X \leq 232) = 0,0788$
$P(X \leq 231) = 0,0474$

Damit gilt für den Ablehnungsbereich: $A = \{0; \dots ; 231 \}$ .

Entscheidungsregel

Wenn maximal $231$ Körner aufkeimen, wird die Nullhypothese abgelehnt. Wenn $232$ oder mehr Körner aufkeimen, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Fehler $2.$ Art im Sachzusammenhang beschreiben

Der Fehler $2$ . Art bedeutet, dass die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt wird, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist.
Im Sachzusammenhang: Es wird fälschlicherweise angenommen, dass die Körner mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ aufkeimen, da dies nach der Entscheidungsregel von dem Versuchsergebnis gilt. In Wirklichkeit keimen jedoch weniger als $95\,\%$ auf.

Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art

Aus der Entscheidungsregel ergibt sich folgender Annahmebereich für $H_0: A =\{232; \dots; 250 \}$ . Zu ermitteln ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl $X$ der aufgekeimten Körner im Annahmebereich $A$ liegt, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Körner aufkeimen, nur $90 \%$ beträgt. Dabei gilt $n = 250$ und $p = 0,9$ .

$P(X \geq 232) = 1 - P(X \leq 231)$ $\approx 0,0808.$

Fehlerwahrscheinlichkeit reduzieren

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler $2$ . Art lässt sich reduzieren, indem die Anzahl der überprüften Körner erhöht wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein aufgekeimtes Korn handelt, ist gegeben durch $0,85 \cdot 0,95 + 0,15 \cdot 0,9.$ Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um ein Korn der Sorte B handelt, wird wie folgt berechnet:

$\dfrac{0,15 \cdot0,9}{0,85 \cdot 0,95 + 0,15 \cdot 0,9} \approx 0,1432$

Für jede Sorte von Samenkorn wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Korn nicht aufkeimt. Diese Wahrscheinlichkeiten werden dann addiert:

$0,85 \cdot (1-0,95) + 0,15 \cdot (1-0,9)$ $= 0,0575$

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