Wahlteil C1

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600 \,\text{ml}.$

Die Flaschen werden in Kartons verpackt; jeder Karton enthält zwölf Flaschen. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600 \,\text{ml}$ Öl enthält. Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600 \,\text{ml}$ Öl enthält, $1,5 \%.$

Die Rechnung $0,985^{12} \approx 83,4 \,\%$ stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung.

(1,5 VP)

An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens $600 \,\text{ml}$ Öl.

Ermittle, wie viele Flaschen mindestens geliefert werden.

(1,5 VP)

Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von 150 Kartons.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 \,\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

(2 VP)

Die Füllmenge der Flaschen soll als normalverteilt mit einem Erwartungswert von $600,5\,\text{ml}$ und einer Standardabweichung von $0,23 \,\text{ml}$ angenommen werden.

Eine Flasche wird zufällig ausgewählt. Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$A:$ „Die Flasche enthält mehr als $601 \,\text{ml}$ Öl.“

(0,5 VP)

$B:$ „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0,5 \,\text{ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(1 VP)

Die Füllmenge einer Flasche ist nie negativ. Die Normalverteilung, die zur Beschreibung der Füllmenge der Flaschen verwendet wird, ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und nimmt dabei ausschließlich positive Werte an.

Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist.

(1 VP)

Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \,\text{ml}$ Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600,5\,\text{ml}$ wird erhöht.

Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von $600,5 \,\text{ml}$ erreicht wird, wird erhöht.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.

Skizziere in der Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die sich aus dem Vorschlag 1 ergeben könnte, und in der Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt.

Begründe für jeden Vorschlag mithilfe des skizzierten Graphen, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird.

(3 VP)

Normalverteilung Oel Flaschen BW Mathe Abi

Abbildung 1

Abbildung 2

Jede Flasche wird mit einem Anhänger versehen. Die Anhänger gibt es mit $n$ verschiedenen Motiven. Für jede Flasche wird eines dieser Motive zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $n$ zufällig ausgewählten Flaschen alle Motive verschieden sind, ist kleiner als $1 \,\%.$

Ermittle den kleinsten möglichen Wert von $n.$

(2 VP)

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Aufgabenstellung formulieren

„Es wird ein Karton zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Flasche aus dem Karton mindestens $600\,\text{ml}$ Öl enthält."

Ansatz erläutern

Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens $600\,\text{ml}$ enthält:

$1-0,015=0,985$

Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 12 Flaschen aus einem Karton mindestens $600\,\text{ml}$ enthalten:

$0,985^{12}$

Das Mittel von mehr als 780 Flaschen entspricht dem Erwartungswert. Hierbei beschreibt $n$ die Anzahl der gelieferten Flaschen.

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&\gt& 780& \\[5pt] n\cdot 0,985&\gt& 780&\quad \scriptsize \mid\; :0,985 \\[5pt] n&\gt& 791,9& \\[5pt] \end{array}$

Da die Anzahl der Flaschen eine natürliche Zahl sein muss, gilt $n \gt 792.$

Es werden also mindestens 792 Flaschen geliefert.

$X$ beschreibt die Anzahl der Flaschen in einem Karton, die weniger als $600\,\text{ml}$ enthalten und ist binomialverteilt mit $n=12$ und $p=0,015.$

Mit dem binomcdf-Befehl folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{fehlerhaft}")&=& P(X \geq 2)&\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 0,013 \end{array}$

$Y$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Kartons und ist binomialverteilt mit $n=150$ und $p=0,013.$

$3\,\%$ der Kartons entspricht $150\cdot 0,03=4,5.$ Da die Anzahl der Kartons eine natürliche Zahl sein muss und mehr als $3\,\%$ fehlerhaft sein sollen, müssen in diesem Fall also mindestens 5 Kartons fehlerhaft sein.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \gt 5) &=& 1-P(Y \leq 5) \\[5pt] &\approx & 0,05 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt somit ca. $5\,\%.$

$Z$ beschreibt die Füllmenge der Flasche in $\,\text{ml}$ und ist normalverteilt mit $\mu=600,5$ und $\sigma=0,23.$

Mit dem normalcdf-Befehl folgt:

Ereignis A

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(Z\gt 601) & \\[5pt] &=& 1- P(0 \leq Z\leq 601) &\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 0,015 & \\[5pt] &=& 1,5\,\% \end{array}$

Ereignis B

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(600 \leq Z\leq 601) & \\[5pt] &\approx& 0,970 & \\[5pt] &=& 97\,\% \end{array}$

Die verwendete Normalverteilung liefert für die negativen Füllmengen so geringe Wahrscheinlichkeiten, dass diese vernachlässigt werden können.

Graphen skizzieren

Mögliche Graphen für die beiden Vorschläge sind beispielsweise:

Normalverteilung Verschiebung BW Mathe Abi 2023

Abbildung 1

Abbildung 2

Vorschläge begründen

Der Inhalt der Fläche, die für $x \leq 600$ zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600\,\text{ml}$ Öl enthält.

Beim ersten Vorschlag wird der Graph der Dichtefunktion auf der $x$ -Achse weiter entlang der positiven $x$ -Achse verschoben, sodass die darunterliegende Fläche für $x \leq 600$ minimiert wird.

Durch das Strecken des Graphen der Dichtefunktion in $y$ -Richtung wird ebenso durch Vorschlag 2 die Fläche für $x \leq 600$ unter dem Graphen reduziert.

Somit erfüllen beide Vorschläge, das Ziel, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600\,\text{ml}$ Öl enthält, zu verringern.

Das Vorgehen beschreibt das stochastische Modell „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge".

Für $n$ verschiedene Motive und $n$ zufällig ausgewählte Flaschen gibt es somit genau $n^n$ mögliche Kombinationen.

Wenn jede Flasche ein unterschiedliches Motiv haben soll, gibt es nach jedem Versehen einer Flasche mit einem Anhänger ein mögliches Motiv weniger für die nächsten Flaschen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen entspricht somit $n!.$

Es folgt also:

$P=\dfrac{n!}{n^n}$

Einsetzen verschiedener Werte für $n$ liefert $\dfrac{6!}{6^6}\approx 0,015$ und $\dfrac{7!}{7^7}\approx 0,006.$

Als kleinstmöglicher Wert von $n$ ergibt sich somit $7.$

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