Wahlteil C2

Ein Affe sitzt vor einer Tastatur, deren Tasten mit den Ziffern $1,$ $2,$ $3$ und $4$ sowie mit den Buchstaben $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ und $F$ beschriftet sind (siehe Abbildung).
Zunächst wird angenommen, dass der Affe zufällig auf die Tasten tippt. Die Tastatureingaben werden aufgezeichnet.

Abb. 1

Es werden die ersten fünf Tastaturanschläge des Affen betrachtet.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

$A:$

„Der Affe tippt nur auf Tasten mit Ziffern. “

$B:$

„Der Affe tippt höchstens dreimal eine Ziffer. “

$C:$

„Die vom Affen getippte Zeichenfolge enthält die Buchstaben $\text{A F F E}$ direkt hintereinander.“

(3 BE)

Nun werden Versuchsreihen mit jeweils $20$ Tastaturanschlägen durchgeführt.
Wie viele Buchstaben pro Versuchsreihe kann man dabei auf lange Sicht im Mittel erwarten?
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Versuchsreihe die Anzahl der getippten Buchstabentasten um höchstens $20\,\%$ von diesem erwarteten Wert abweicht.
Wie viele Zifferntasten müssten mindestens hinzugefügt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $15$ Buchstabentasten in einer Versuchsreihe getippt werden, auf unter $1\,\%$ fällt?

(4,5 BE)

Die Ergebnisse der Versuche lassen die Vermutung aufkommen, dass der Affe die Zifferntasten gegenüber den Buchstabentasten bevorzugt. Daher wird die Nullhypothese „Der Affe tippt mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $40\,\%$ eine Zifferntaste.“ mit einer Stichprobe von $80$ Tastaturanschlägen auf einem Signifikanzniveau von $1\,\%$ überprüft.
Formuliere die zugehörige Entscheidungsregel.

(2,5 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Bei den ersten beiden Ereignissen wird nur zwischen „Ziffer“ und „Nicht Ziffer“ unterschieden. Betrachte dazu die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der Tasten mit Ziffern beschreibt, die der Affe in den ersten fünf Tastenanschlägen tippt. Diese kann als binomialverteilt mit $n = 5$ und $p= \frac{4}{10} = 0,4$ angenommen werden, da der Affe laut Aufgabenstellung zufällig tippt.

Für Ereignis $A$ kannst du die Pfadmultiplikationsregel verwenden:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(Z=5) \\[5pt] &=& 0,4^5 \\[5pt] &=& 0,01024 \\[5pt] &=& 1,024\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $1,024\,\%$ tippt der Affe nur Ziffern.

Für Ereignis $B$ kannst du den binomCdf-Befehl deines GTRs verwenden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$P( X \leq b) =$ $\text{binomPdf(n,p,b)}$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Verwende das Statistik-Menü deines GTRs:

F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F1: Bpd / F2: Bcd

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(Z\leq 3 ) &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &=& 0,91296 \\[5pt] &=& 91,296\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $91,296\,\%$ tippt der Affe höchstens dreimal eine Ziffer.

Für Ereignis $C$ gibt es zwei mögliche Pfade, entweder der Affe tippt zuerst eine beliebige Taste, dann die vier Buchstaben, oder zuerst die vier Buchstaben und dann eine beliebige Taste. Mit den beiden Pfadregeln erhältst du:

$P(C)=0,02\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,02\,\%$ tippt der Affe die vier Buchstaben $\text{A F F E}$ in der Reihenfolge direkt hintereinander.

$\blacktriangleright$ Mittlere Anzahl der Buchstaben berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $B,$ die die zufällige Anzahl der Buchstaben angibt, die der Affe bei $20$ Tastaturanschlägen tippt. Diese kann äquivalent zu $Z$ als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0,6$ angenommen werden.

Der Erwartungswert von $B$ berechnet sich dann zu:

$\begin{array}[t]{rll} E(B)&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 20 \cdot 0,6\\[5pt] &=& 12 \end{array}$

Auf lange Sicht kann man pro Versuchsreihe im Mittel $12$ Buchstaben erwarten.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für die Abweichung berechnen

Mit dem binomCdf-Befehl des GTRs ergibt sich:

$P(...)\approx 74,688\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $74,688\,\%$ weicht die Anzahl der Buchstaben in einer Versuchsreihe um höchstens $20\,\%$ von der erwarteten Anzahl $12$ ab.

$\blacktriangleright$ Anzahl der benötigten Zifferntasten bestimmen

Bezeichne die gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Affe eine Buchstabentaste tippt mit $p.$ Betrachte die Zufallsgröße $B_p,$ die wie $B$ als binomialverteilt mit $n=20$ und unbekanntem $p$ angenommen werden kann. Gesucht ist nun ein $p,$ sodass folgendes gilt:

$P(B_p \geq 15)\lt 0,01$

Berechne für verschiedene $p$ den Wert $P(B_p \geq 15).$ Verwende für $p$ nur sinnvolle Werte:

Wird eine Zifferntaste hinzugefügt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Buchstabentaste $p=\frac{6}{11},$ bei zwei hinzugefügten Zifferntasten beträgt sie $p=\frac{6}{12}$ usw. .

Mit dem GTR erhältst du:

Es wird eine Ziffer hinzugefügt: $P(B_{\frac{6}{11}} \geq 15) \approx 0,0510$
Es werden zwei Ziffern hinzugefügt: $P(B_{\frac{6}{12}} \geq 15) \approx 0,0207$
Es werden drei Ziffern hinzugefügt: $P(B_{\frac{6}{13}} \geq 15) \approx 0,0086$

Es müssen also mindestens $3$ Ziffern hinzugefügt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $15$ Buchstaben in einer Versuchsreihe auf unter $1\,\%$ sinkt.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z_p,$ die die Anzahl der Ziffern, die der Affe bei $80$ Tastaturanschlägen tippt, beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=80$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.

Getestet wird die Nullhypothese $H_0:\quad p \leq 0,4$

mit der Gegenhypothese $H_1:\quad p \gt 0,4$

auf einem Signifikanzniveau von $1\,\%.$

Trifft die Nullhypothese im Extremfall zu, ist $p=0,4.$ Gesucht ist nun die kleinste Anzahl Ziffern $k,$ die der Affe tippen darf, sodass die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird.
Mit dem Signifikanzniveau ergibt sich die Gleichung:

$P(X_{0,4} \geq k) \leq 0,01$

Wie in der letzten Teilaufgabe kannst du in deinem GTR für verschiedene Werte von $k$ die zugehörige Wahrscheinlichkeit mit $n=80$ und $p=0,4$ bestimmen. Du erhältst dann folgende Werte:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_{0,4}\geq 42)&\approx& 0,0158 \\[5pt] P(X_{0,4}\geq 43)&\approx& 0,0088 \\[5pt] \end{array}$

Sind also von den $80$ Tastaturanschlägen des Affen mindestens $43$ Ziffern, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von $1\,\%$ verworfen, andernfalls wird sie nicht abgelehnt.