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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)= \mathrm e^{-2x+1}+1.\)
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_f\) sowie die Tangente an \(G_f\) an der Stelle \(x=\frac{1}{2}.\)
a)
Weise nach, dass diese Tangente die Steigung \(-2\) hat.
(1 VP)
b)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das diese Tangente mit den Koordinatenachsen einschließt.
(1,5 VP)

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=1+x^2\) sowie die Geraden \(g: y=2\) und \(h: y=5.\)
Bestimme den Inhalt der markierten Fläche.
(2,5 VP)

Aufgabe 3

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=a+\dfrac{b}{x^2+c}\) und \(g(x)=a+\dfrac{b}{(x+c)^2}.\)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer der beiden Funktionen sowie seine Asymptoten.
a)
Begründe, dass es sich bei dem abgebildeten Graphen nicht um den Graphen von \(f\) handeln kann.
(1 VP)
b)
Bestimme für die Funktion \(g\) die Werte von \(a, b\) und \(c.\)
(1,5 VP)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\). Die Funktion \(g\) ist gegeben durch \(g(x)=f(x)+5x.\)
Entscheide jeweils, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe deine Entscheidung.
(1) Jede Stammfunktion von \(f\) besitzt im Intervall \([0,5 ; 4]\) genau ein lokales Minimum.
(1 VP)
(2) Die Funktion \(g\) ist im Intervall \([1; 6]\) streng monoton steigend.
(1,5 VP)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Ebenen \(E\) und \(F\) sowie die Ebenenschar \(G_r \; (r \in \mathbb{R}).\)
\(\begin{array}{llll} E:&x_1-5x_2-2x_3&=&6 &\quad \scriptsize \\ F:&2x_1-x_2-x_3&=& 3 &\quad \scriptsize \\ G_r: &9x_2+3x_3&=& r+11 &\quad \\ \end{array}\)
a)
Stelle die Ebene \(G_7\) in einem Koordinatensystem dar.
(1 VP)
b)
Für einen Wert von \(r\) besitzen \(E,\) \(F\) und \(G_r\) eine gemeinsame Schnittgerade. Bestimme diesen Wert von \(r.\)
(1,5 VP)

Aufgabe 6

Gegeben sind der Punkt \(P(-1\mid 1\mid -1)\) und die Gerade \(g:\overrightarrow{x}= \pmatrix{1\\-1\\7} +t \cdot \pmatrix{1\\2\\-2}\), \(t \in \mathbb{R}.\)
Der Punkt \(Q(3\mid 3\mid 3)\) liegt auf der Geraden \(g.\)
a)
Zeige, dass \(Q\) derjenige Punkt auf \(g\) ist, der zu \(P\) den kleinsten Abstand hat.
(1 VP)
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punktes \(R\) auf der Geraden \(g,\) für den das Dreieck \(PQR\) den Flächeninhalt \(27\) hat.
(1,5 VP)

Aufgabe 7

In einer Urne befinden sich vier schwarze und eine unbekannte Anzahl weißer Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dabei zwei schwarze Kugeln zu ziehen, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen.
Bestimme die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne.
(2,5 VP)

Aufgabe 8

a)
Die Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\) dar.
Begründe, dass \(P(X=2)\lt 0,5\) gilt.
(1 VP)
b)
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) mit den Parametern \(n=8\) und \(0\lt p\lt 1\) gilt \(P(Y=1)=2\cdot P(Y=0).\)
Berechne den Wert von \(p.\)
(1,5 VP)