Wahlteil C2

Aufgabe C2.1

Bei einem Glücksrad gibt es drei farbige Sektoren. Beim einmaligen Drehen beträgt die Wahrscheinlichkeit für rot 60 %, für blau 30 % und für grün 10 %.

Das Glücksrad wird 20-mal gedreht. Bestimme für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A: „Genau 15-mal erscheint rot.“

(0,5 VP)

B: „Bei den ersten zehn Drehungen erscheint genau zweimal blau, insgesamt erscheint höchstens fünfmal blau.“

(2 VP)

Bei einem Glücksspiel darf man für den Einsatz von 6 € das Glücksrad zweimal drehen. Wenn dabei genau einmal rot erscheint, dann erhält man einen bestimmten Auszahlungsbetrag. Wenn zweimal rot erscheint, dann erhält man das Siebenfache dieses Auszahlungsbetrags. Andernfalls erfolgt keine Auszahlung. Das Spiel ist fair. Bestimme den Auszahlungsbetrag für den Fall, dass genau einmal rot erscheint.

(2,5 VP)

Jemand vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für rot in Wirklichkeit geringer als 60 % ist. Deshalb soll ein Hypothesentest durchgeführt werden. Dabei soll möglichst vermieden werden, dass irrtümlich von einer zu hohen Wahrscheinlichkeit für rot ausgegangen wird. Formuliere eine Nullhypothese, die dieser Zielsetzung entspricht, und begründe deine Wahl.

(1,5 VP

Aufgabe C2.2

Bei einem Spielautomaten wird vermutet, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ größer als 10 % ist. Die Vermutung wird mit Hilfe eines Hypothesentests mit einem Stichprobenumfang von $n=200$ und einem Signifikanzniveau von 5 % getestet.
Als Nullhypothese wird $H_0: p \geq 0,1$ gewählt.
Formuliere eine Entscheidungsregel.

(2,5 VP)

Tatsächlich gilt $p= 0,08.$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art.

(1 VP)

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Lösung C2.1

$X_1$ ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit $n=20$ und $p=0,6$ und beschreibt die Anzahl der Drehungen, bei denen rot erscheint.

$P(A)=P(X_1=15)$ $= \binom{20}{15}\cdot 0,6^{15}\cdot 0,4^5$ $\approx 0,075.$

$X_2$ ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit $n=10$ und $p=0,3$ und beschreibt unter zehn Drehungen die Anzahl der Drehungen, bei denen blau erscheint.
$P(B)= P(X_2=2) \cdot P(X_2 \leq 3)\approx 0,152.$

Bei einem fairen Spiel entspricht der Erwartungswert dem Einzahlungsbetrag. $A$ beschreibt den zufälligen Auszahlungsbetrag.
Es gilt $E(A)=6$ und $a$ entspricht dem Auszahlungsbetrag bei genau einmal rot.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$a=2$

Bei einem fairen Spiel muss der Auszahlungsbetrag 2 € betragen, wenn genau einmal rot erscheint.

Das irrtümliche Ablehnen der Nullhypothese $H_0$ ( $\alpha-$ Fehler) kann durch einen Hypothesentest beschränkt werden. Folglich muss das irrtümliche Ablehnen von $H_0$ bedeuten, dass von einer zu hohen Wahrscheinlichkeit für rot ausgegangen wird. Eine geeignete Nullhypothese lautet somit: "Die Wahrscheinlichkeit für rot beträgt höchstens 60 %."

Lösung C2.2

Entscheidungsregel
Für die Nullhypothese gilt $H_0: p \geq 0,1.$ $X$ ist die Anzahl der Spiele, die gewonnen werden.
$X$ ist binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,1.$ Gesucht ist die kritische Zahl $k$ mit $P(X\leq k) \leq 0,05.$

Es lassen sich folgende Werte durch systematisches Ausprobieren ermitteln:

$P(X\leq 12) \approx 0,032$ und $P(X\leq 13) \approx 0,057.$

Eine mögliche Entscheidungsregel lautet:

„Wenn weniger als 13 Spiele gewonnen werden, wird die Nullhypothese abgelehnt. Ansonsten kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden.“

Fehler zweiter Art
Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,08.$

Es gilt $P(Y\geq 13)\approx 0,818$ und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art, wenn tatsächlich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,08 gilt, ca. 81,8 %.

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