Wahlteil C1
Ein Unternehmen füllt Honig in Gläser mit der Aufschrift 
ab. Die Füllmenge 
eines Glases wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert 
und der Standardabweichung 
(alle Angaben in 
).
a)
Ein Glas wird zufällig ausgewählt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als
Honig in diesem Glas sind.
abweicht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als
(0,5 VP)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Füllmenge dieses Glases um höchstens 2 % von
(1,5 VP)
b)
Gesucht ist ein Wert 
mit 
Begründe, dass es solch einen Wert von
gibt, und gib diesen Wert an.
Begründe, dass es solch einen Wert von
(1,5 VP)
c)
Bei einer neuen Abfüllanlage beträgt die Standardabweichung der Füllmenge 
Bei ihr kann man durch einen Regler den Erwartungswert der Füllmenge mit einer Genauigkeit von 
einstellen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Glas weniger als enthält, soll höchstens 15 % betragen.
Ermittle, auf welchen Wert der Erwartungswert der Füllmenge mindestens eingestellt werden muss.
Bei einer Sonderaktion wird jedes fünfte Glas auf der Deckelinnenseite mit einem von außen nicht sichtbaren Gutschein versehen.
Ermittle, auf welchen Wert der Erwartungswert der Füllmenge mindestens eingestellt werden muss.
(1,5 VP
d)
Lena kauft während einer Sonderaktion sechs Gläser und stellt sie in einer Reihe auf.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: „Genau drei dieser Gläser enthalten jeweils einen Gutschein.“
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: „Genau drei dieser Gläser enthalten jeweils einen Gutschein.“
(0,5 VP)
B: „Die beiden ersten Gläser enthalten jeweils einen Gutschein.“
(1 VP)
C: „In genau zwei Gläsern befindet sich jeweils ein Gutschein, und diese Gläser stehen nicht unmittelbar nebeneinander.“
(1,5 VP
e)
Die Gläser werden in Kartons abgepackt und an Lebensmittelgeschäfte ausgeliefert. Jeder Karton enthält 30 Gläser. Ein Kunde nimmt drei Gläser aus dem Karton und hofft, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % mindestens einen Gutschein zu erhalten.
Ermittle die Anzahl der Gläser mit Gutschein, die sich dafür mindestens in dem Karton befinden müssten.
(2 VP)
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a)
Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 250g Honig ergibt sich zu:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 15,9 % sind in dem Glas weniger als 250 g Honig.
Für die maximale Abweichung von 2 % folgt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 93,3 % weicht die Füllmenge um höchstens 2 % von 250 g ab.
b)
Die zugehörige Glockenkurve ist symmetrisch zur Geraden 
Aus diesem Grund gilt
Der Wert für a existiert also mit
Aus diesem Grund gilt
Der Wert für a existiert also mit
c)
Betrachtet wird die Zufallsgröße 
die die zufällige Füllmenge der neuen Anlage in 
beschreibt. 
ist normalverteilt mit 
und unbekanntem 
Der kleinste Wert von 
ist gesucht mit 
Da auf 
genau eingestellt werden kann, werden verschiedene Werte systematisch ausprobiert:
ergibt 
ergibt 
Der Erwartungswert der Füllmenge muss folglich mindestens 
betragen.
d)
Die Zufallsgröße 
beschreibt die Anzahl der Gläser, die einen Gutschein enthalten und kann als binomialverteilt mit 
und 
angenommen werden.
Es existieren fünf mögliche Anordnungen, bei denen die Gläser die einen Gutschein enthalten nebeneinander stehen.
e)
Folglich müssen mindestens 6 Gläser mit Gutschein im Karton sein.