Wahlteil A1

Aufgabe A1.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=10x\cdot \mathrm e^{-0,5x}$ .
Ihr Graph ist $K$ .

$K$ besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt.

Gib deren Koordinaten an.

Gib eine Gleichung der Asymptote von $K$ an.

Skizziere $K$ .

(4 VP)

Für jedes $u>0$ sind $O(0\mid0)$ , $P(u\mid0)$ und $Q(u\mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

Bestimme einen Wert für $u$ so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt $8$ hat.

Für welchen Wert von $u$ ist das Dreieck gleichschenklig?

(4 VP)

Auf der $x$ -Achse gibt es Intervalle der Länge $3,$ auf denen die Funktion $f$ den Mittelwert $2,2$ besitzt.

Bestimme die Grenzen eines solchen Intervalls.

(3 VP)

Aufgabe A1.2

Gegeben ist für jedes $t>0$ eine Funktion $f_t$ durch $f_{t}(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-t^{2}x$ .

Bestimme $t$ so, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_t$ den Abstand $13$ voneinander haben.

(4 VP)

Lösung A1.1

a) $\blacktriangleright$ Koordinate des Extrempunktes $E$ angeben

Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:

$f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$

$K$ ist ihr Schaubild. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten des Extrempunktes $E$ zu bestimmen.

Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E) \neq 0$

Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktion $f$ . Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$ .
Diese erhältst du, indem du die Produktregel anwendest:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \end{array}$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f‘(x_E)=0$ gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung $f‘$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ \end{array}$

An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 10 - 5 \cdot x& \\ -10=& - 5 \cdot x& \\ 10=& 5 \cdot x& \\ 2=& x&\\ \end{array}$

Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit Achsenbeschriftungen.

Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Extremstelle mit dem GTR zu bestimmen:
Gib dazu den Term der ersten Ableitungsfunktion ƒ‘ an und lass deren Schaubild im Graph-Modus anzeigen. Wähle dann unter

menu CALC 2:Zero

den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle aus und bestätige mit Enter.

Der GTR liefert dir eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f‘‘(x_E=2)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$ . Diese erhältst du, indem du den Term von $f‘$ erneut mit Hilfe der Produktregel ableitest:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x) & \\[5pt] \end{array}$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Überprüfe nun, ob $f‘‘(x_E=2)\neq 0$ erfüllt wird:

$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘‘(x_E=2)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2} \cdot (2,5 \cdot 2 - 10)& \\ =& \mathrm{e}^{-1} \cdot (5 - 10)& \\ =& \mathrm{e}^{-1} \cdot (-5)& \\ \approx& -1,8394 \neq 0& \\ \end{array}$

Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_E=2$ eine Extremstelle vorliegt. Wegen $f‘‘(x_E=2)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.

3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben

Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=2$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$ -Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$ -Koordinate erhältst du, indem du $x_E=2$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt und berechnest:

$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_E=2)=&10 \cdot 2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2}& \\ =& 20 \cdot \mathrm{e}^{-1}& \\ =& \frac{20}{\mathrm{e}} & \\ \approx & 7,3576 & \\ \end{array}$

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und Werten für x und y.

Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_E=2$ auch mit Hilfe des GTR bestimmen.

Gib dazu die Funktion $f$ im Graph-Modus an und lass deren Graph anzeigen. Den Funktionswert an der besagten Stelle $x_E=2$ erhältst du über folgende Befehlsfolge:

menu CALC 1: Value

Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(2 \mid 7,3576 )$ .

$\blacktriangleright$ Koordinate des Wendepunktes $W$ angeben

Laut Aufgabenstellung besitzt das Schaubild $K$ einen Wendepunkt. Um dessen Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die Wendestelle $x_W$ der Funktion $f$ bestimmen. Für diese Wendestelle müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Notwendige Bedingung: $f‘‘(x_W)=0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘‘(x_W)\neq 0$

Hast du anschließend $x_W$ bestimmt, so kannst du die Wendestelle in den Term der Funktion $f$ einsetzen und so die $y$ -Koordinate des Wendepunktes bestimmen.

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Um die notwendige Bedingung einer Wendestelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitungsfunktion der Funktion $f$ . Diese hast du zuvor mit Hilfe der Produktregel bestimmt:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘‘(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$

Für die hinreichende Bedingung muss $f‘‘(x_W)=0$ gelten:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$

An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 2,5 \cdot x - 10& \mid\; +10\\ 10=& 2,5 \cdot x & \mid\; :2,5\\ 4=& x & \\ \end{array}$

Damit hast du eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$ ermittelt.

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsen und Markierungen für x=4 und y=0.

Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Wendestelle mit dem GTR zu bestimmen:
Gib dazu den Term der zweiten Ableitungsfunktion an und lass deren Schaubild im Graph-Modus anzeigen. Wähle dann unter

menu CALC 2: Zero

den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle aus und bestätige mit Enter.

Der GTR liefert dir eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Damit eine Wendestelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f‘‘‘(x_W)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die dritte Ableitung der Funktion $f$ . Diese erhältst du, indem du den Term von $f‘‘$ erneut mit Hilfe der Produktregel ableitest:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Überprüfe nun, ob $f‘‘‘(x_W=4)\neq 0$ erfüllt wird:

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_W=4$ eine Wendestelle liegt.

3. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes angeben

Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_W=4$ ein Wendepunkt befindet. Damit hast du die $x$ -Koordinate des Wendepunktes ermittelt. Die $y$ -Koordinate erhältst du, indem du $x_W=4$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt und berechnest:

$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_W=4)=&10 \cdot 4 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 4}& \\ =& 40 \cdot \mathrm{e}^{-2}& \\ =& \frac{40}{\mathrm{e}^2} & \\ \approx& 5,413 & \\ \end{array}$

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsen und einer Kurve, die exponentielles Verhalten zeigt.

Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_W=4$ auch mit Hilfe des GTR bestimmen. Gib dazu die Funktion $f$ im Graph-Modus an und lass deren Graph anzeigen. Den Funktionswert an der besagten Stelle $x_W=4$ erhältst du über folgende Befehlsfolge:

menu CALC 1: VALUE

Die Koordinaten des des Wendepunktes $W$ lauten $W(4 \mid 5,413 )$ .

$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptote von $K$ angeben

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit charakteristischen Kurvenverläufen.

Betrachte das Schaubild der Funktion $f$ in deinem GTR.
Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Asymptote von $K$ anzugeben.
Anhand des Schaubildes (Abbildung links) kannst du bereits vermuten, dass es sich um eine waagrechte Asymptote handelt.
Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, kannst du die Funktion $f$ für $x \to + \infty$ und für $x \to - \infty$ untersuchen.

Untersuchen für $x \to + \infty$ :

Der Funktionsterm von $f$ ist gegeben durch $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ .
Betrachtest du $x \to + \infty$ , so kannst du festhalten, dass gilt:

$10 \cdot x \to + \infty$ und $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to 0$

Da der $\mathrm{e}$ -Term den dominanten Term darstellt, konvergiert die Funktion $f$ für $x \to + \infty$ gegen 0.
Die Gleichung der Asymptote lautet also $y=0$ .

Untersuchen für $x \to - \infty$ :

Betrachtest du noch $x \to - \infty$ , so kannst du festhalten, dass gilt:

$10 \cdot x \to - \infty$ und $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to + \infty$

Da auch hier der $\mathrm{e}$ -Term den dominanten Term darstellt, strebt die Funktion $f$ für $x \to - \infty$ gegen $- \infty$ . Damit liegt keine weitere Asymptote vor.

$\blacktriangleright$ Skizzieren des Schaubildes $K$

Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, das Schaubild $K$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgende Angaben verwenden:

Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
Verwende, dass sich der Hochpunkt an $E(2 \mid 7,3576 )$ und der Wendepunkt an $W(4 \mid 5,413 )$ befindet.
Für $x \to + \infty$ konvergiert die Funktion gegen 0, für $x \to - \infty$ strebt sie gegen $- \infty$ .

Zusätzlich kannst du dir noch die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden lassen. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE:

Tabellarische Darstellung von Werten für X und Y1 mit Anweisung zum Drücken einer Taste.

Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:

Diagramm mit Kurven und Gitterlinien, das mathematische Funktionen darstellt. Grafische Darstellung auf schwarzem Hintergrund.

b) $\blacktriangleright$ Wert für $u$ bestimmen, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt

Gegeben sind die Punkte $O(0 \mid 0)$ , $P( u \mid 0)$ und $Q(u \mid f(u))$ . Sie stellen die Eckpunkte eines Dreiecks dar.
Deine Aufgabe ist es, einen Wert für $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt des Dreieck 8 FE beträgt.

Grafische Darstellung von Funktionen mit verschiedenen Kurven und Flächen. Achsen sind beschriftet.

Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks berechnet sich allgemein über folgenden Zusammenhang:

$A_{D}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Dabei stellt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der Höhe dar.
Um einen passenden Wert für $u$ zu ermitteln, kannst du wie folgt vorgehen:

Stelle die Flächenfunktion in Abhängigkeit vom Parameter $u$ auf.
Setze den resultierenden Term mit 8 gleich und löse nach $u$ auf, um den gesuchten Wert zu erhalten.

Den zweiten Schritt kannst du mit Hilfe deines GTR durchführen.

1. Schritt: Flächenfunktion aufstellen

Anhand der Abbildung kannst du erkennen, dass die Grundseite dem Wert $u$ und die Höhe dem Funktionswert $f(u)$ entspricht. Dadurch erhältst du folgende von $u$ abhängige Flächenfunktion $A(u)$ :

$A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u)$

Setze den Funktionsterm von $f$ ein, um den vollständigen Term er Flächenfunktion $A(u)$ zu erhalten:

$\begin{array}[t]{rll} A(u)&=& \frac{1}{2} \cdot u \cdot 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}&\\[5pt] &=& 5 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \end{array}$

2. Schritt: Wert für Parameter $u$ ermitteln

Um einen passenden Wert für $u$ zu erhalten, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt, kannst du den aufgestellten Term der Flächenfunktion mit 8 gleichsetzen und nach $u$ auflösen. Da dieser Weg rechnerisch sehr aufwendig ist, wählen wir die graphische Lösung des Problems mit Hilfe des GTR:

Gib den Funktionsterm $A(u)$ im GTR ein.
Gib weiterhin eine Gerade mit der Gleichung y = 8 an und lass beide im Graph-Modus anzeigen.
Bestimme die Schnittstelle der beiden Schaubilder. Diese entspricht gerade dem gesuchten Wert für $u$ .

Zwei Diagramme zeigen Schnittpunkte von Funktionen mit angegebenen Koordinaten.

Diagramm mit einer Kurve und einer horizontalen Linie, die sich schneiden. Zahlenwerte sind angegeben.

Der GTR liefert dir drei verschiedene Werte für $u$ , sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt.
Da aber laut Aufgabenstellung $u>0$ gelten soll, kannst du das Resultat $u_0 \approx -0,988$ vernachlässigen.

Damit hast du zwei passende Werte für $u$ ermittelt mit

$u_1 \approx 2,183$ ,
$u_2 \approx 6,621$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $u$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist

Grafik mit Kurven und einem Dreieck, das einige mathematische Funktionen darstellt. Koordinatensystem im Hintergrund.

Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss einer der folgenden Fälle eintreten:

$a=b$ oder
$a=c$ oder
$b=c$ .

Gib dazu zunächst die Länge der Seiten $a$ , $b$ und $c$ in Abhängigkeit von $u$ an und setze diese gleich, um so einen passenden Parameterwert für $u$ zu ermitteln.

1. Schritt: Länge der Seiten in Abhängigkeit von $u$ angeben

Die Seitenlänge $a$ entspricht dem Abstand vom Ursprung $O(0 \mid 0)$ zum Punkt $P(u\mid 0)$ . Dieser Abstand ist gerade gleich $u$ .
Die Seitenlänge $b$ stellt den Abstand zwischen den Punkten $P(u\mid0)$ und $Q(u\mid f(u))$ dar. Da diese die gleiche $x$ -Koordinate haben, besitzen sie einen Abstand von
$f(u)=10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}$ .
$c$ berechnet sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& \sqrt{a^2 +b^2}& \\[5pt] &=& \sqrt{u^2 + f(u)^2}& \\[5pt] &=&\sqrt{u^2+ 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}} \end{array}$

2. Schritt: Seitenlängen gleichsetzen, um $u$ zu bestimmen

Damit das Dreieck gleichschenklig ist, können die oben genannten drei Fälle $a=b$ , $b=c$ oder $a=c$ eintreten. Wir überprüfen zunächst, ob für den Fall $a=c$ ein $u$ existiert:

1. Fall: $a=c$

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} a =&c& \\ u =&\sqrt{u^2+ 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}}& \\ u^2 =&u^2+ 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}& \\ 0 =&10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}& \\ \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die Gleichung nur für $u=0$ gelöst werden kann. Da aber für $u=0$ kein Dreieck zustande kommt, kannst du diesen Wert vernachlässigen. Geometrisch interpretiert heißt das, dass die Seiten $a$ und $c$ in dieser Konstruktion niemals gleich lang werden.

2. Fall: $b=c$

Als nächstes überprüfen wir, ob ein $u$ für den Fall $b=c$ existiert.

Rechnung anzeigen

Auch diese Gleichung hat nur die Lösung $u=0$ , was wiederum heißt, dass die Seiten $b$ und $c$ niemals gleich lang werden.

3. Fall: $a=b$

Überprüfe noch den letzten Fall $a=b$ :

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} a =&b& \\ u =&10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}& \\ \dfrac{1}{10} =&\mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}& \\ \mathrm{ln}\left(\dfrac{1}{10}\right) =&\mathrm{ln}\left( \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}\right)& \\ \mathrm{ln}\left(\dfrac{1}{10}\right) =&(-0,5 \cdot u) \cdot\mathrm{ln}\left( \mathrm{e}\right)& \\ \mathrm{ln}\left(\dfrac{1}{10}\right) =&-0,5 \cdot u& \\ u =&\dfrac{\mathrm{ln}\left(\frac{1}{10}\right)}{-0,5} \approx 4,605& \\ \end{array}$

Im zweiten Schritt dividieren wir durch $10 \cdot u$ , da für die Lösung $u=0$ kein Dreieck entsteht.
Durch Auflösen der Gleichung erhältst du den gesuchten Parameterwert für $u$ mit $u=4,605$ . Das heißt, für $u=4,605$ ist das Dreieck gleichschenklig.

c) $\blacktriangleright$ Grenzen des Intervalls bestimme, sodass der Mittelwert 2,2 beträgt

Bestimme ein Intervall der Länge 3, sodass die Funktion $f$ mit dem gegebenen Funktionsterm $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ den Mittelwert 2,2 besitzt.
Den Mittelwert $m$ einer Funktion $f$ auf einem Intervall $\left[a;b\right]$ kannst du mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen:

$m= \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, kannst du diese Angaben verwenden:

Der Mittelwert beträgt laut Aufgabentext $m=2,2$ .
Die Länge des Intervalls soll 3 betragen, das heißt, es muss $b-a=3$ bzw. $b=a+3$ gelten.

Setze alle bekannten Informationen in die oben angeführte Formel ein und bestimme so das gesuchte Intervall.
Einsetzen aller Angaben liefert dir:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2,2=&\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \mid\; \cdot 3\\ 6,6=&\displaystyle\int_{a}^{a+3} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2,2=&\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ 6,6=&\displaystyle\int_{a}^{a+3} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ \end{array}$

Um an dieser Stelle die Stammfunktion von $f$ zu erhalten, kannst du partielle Integration verwenden:

$\displaystyle\int_{a}^{b}h‘(x) \cdot g(x)\mathrm{d}x=...$

Vollständige Gleichung anzeigen

Wähle in diesem Fall:

$h‘(x)=\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ $\to h(x)=-2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$
$g(x)=10 \cdot x$ $\to g‘(x)=10$

Einsetzen in die oben angeführte Formel liefert dir das gesuchte Integral von $f$ :

$6,6= \displaystyle\int_{a}^{b}10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \mathrm{d}x$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Setze anschließend noch $a$ und $b=a+3$ ein:

$6,6= \displaystyle\int_{a}^{a+3}10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \mathrm{d}x$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Diese Gleichung kannst du graphisch mit Hilfe deines GTR lösen. Gib dazu die rechte und linke Seite der Gleichung als separate Funktionen ein und bestimme deren Schnittpunkt. Den Befehl zur Bestimmung von Schnittpunkten findest du unter

menu CALC intersect

Grafische Darstellung von zwei Funktionen mit Schnittpunkten und Koordinatenangaben.

Der GTR liefert dir Schnittstellen an $x_1=-0,862$ und $x_2=5,497$ . Das heißt, für das Intervall $\left[a;b\right]$ mit $a_1=-0,862$ und $b_1=3+(-0,862)=2,138$ sowie $a_2=5,497$ und $b_2=3+5,497=8,497$ beträgt der Mittelwert der Funktion 2,2.

Lösung A1.2

$\blacktriangleright$ Parameter $t$ bestimmen

Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:

$f_{t}(x)=\dfrac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x$

Deine Aufgabe ist es, den Parameter $t$ so zu bestimmen, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_t$ einen Abstand von 13 besitzen.
Dazu kannst du wie folgt vorgehen:

Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von $t$ .
Berechne den Abstand $d$ der Extrempunkte.
Bestimme $t$ so, dass der Abstand gerade 13 beträgt.

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E) \neq 0$

Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstellen der Funktion $f_t$ . Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmten Stellen in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so die zugehörigen Funktionswerte an den Extremstellen.

1. Schritt: Extrempunkte bestimmen (Notwendige Bedingung)

Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_t$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_t$ . Diese erhältst du, indem du die Produktregel anwendest:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f_t(x) =&\frac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x& \\ f‘_t(x) =&\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2}-t^{2}\cdot 1& \\ & =x^{2}-t^{2}& \\ \end{array}$

Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f‘_t(x_E)=0$ gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung $f‘_t$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0 =&x^{2}-t^{2}& \mid\; +t^2\\ t^2 =&x^{2}& \mid\; \sqrt{()}\\ \pm t =&x&\\ \end{array}$

Damit hast du zwei potentielle Extremstellen an $x_{E1}=t$ und $x_{E2}=-t$ ermittelt und kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.

2. Schritt: Extrempunkte bestimmen (Hinreichende Bedingung)

Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f‘‘(x_E)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f_t$ . Diese erhältst du, indem du den Term von $f‘_t$ erneut ableitest:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘_t(x) =& x^{2}-t^{2}& \\ f‘‘_t(x) =& 2 \cdot x& \\ \end{array}$

Überprüfe nun, ob $f‘‘(x_E=\pm t)\neq 0$ erfüllt wird:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘‘_t(x_E=\pm t) =& 2 \cdot x& \\ =& 2 \cdot \pm t \neq 0& \\ \end{array}$

Da in der Aufgabenstellung $t>0$ vorausgesetzt wird, kann die zweite Ableitungsfunktion nicht gleich Null werden.

Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_E=\pm t$ Extremstellen vorliegen.

Wegen $f‘‘_t(x_{E1}=t)>0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Tiefpunkt und handelt. Analog kannst du aussagen, dass wegen $f‘‘_t(x_{E2}=-t)<0$ an der Stelle $x=-t$ ein Hochpunkt vorliegt.

3. Schritt: Koordinaten der Extrempunkte angeben

Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an den Stellen $x_{E1}=t$ und $x_{E2}=-t$ Extrempunkte befinden. Damit hast du die $x$ -Koordinate der Extrempunkte ermittelt. Die $y$ -Koordinate erhältst du, indem du $x_E=\pm t$ in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzt und berechnest:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_{E1}=t) =&\frac{1}{3} \cdot t^{3}-t^{2}\cdot t& \\ =&\frac{1}{3} \cdot t^{3}-t^{3}& \\ =&-\frac{2}{3} \cdot t^{3}& \\ \end{array}$

Das liefert dir, dass der Tiefpunkt die Koordinaten $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ besitzt.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_{E2}=-t) =&\frac{1}{3} \cdot (-t)^{3}-t^{2}\cdot (-t)& \\ =&- \frac{1}{3} \cdot t^{3}+t^{3}& \\ =&\frac{2}{3} \cdot t^{3}& \\ \end{array}$

Das liefert dir, dass der Hochpunkt die Koordinaten $H\left( -t \mid \frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ besitzt.

4. Schritt: Abstand der Extrempunkte bestimmen

Den Abstand $d$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2)$ und $B(b_1 \mid b_2)$ kannst du über folgenden Zusammenhang bestimmen:

$d= \sqrt{(a_1-b_1)^2 +(a_2-b_2)^2}$

Einsetzen der Koordinaten der Extrempunkte $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ und $H\left(-t \mid \frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ liefert dir den Abstand mit:

Rechenweg anzeigen

$d= \sqrt{4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}}$

Der Abstand der Extrempunkte $T$ und $H$ beträgt also $\sqrt{4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}}$ .

5. Schritt: Parameterwert für $t$ bestimmen

Damit die beiden Extrempunkte einen Abstand von 13 haben, muss $13=d=\sqrt{4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}}$ gelten. Löse diese Gleichung nach $t$ auf, um den gesuchten Parameterwert zu erhalten.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 13 =&\sqrt{4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}}& \mid\; ()^2\\ 169 =&4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}& \mid\; -169\\ 0 =&4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6} -169& \\ \end{array}$

Diagramm einer mathematischen Funktion mit Werten und Achsenbeschriftungen.

Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des GTR graphisch lösen. Interpretiere dazu den Term $4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6} -169$ als Funktionsterm und untersuche diesen auf Nullstellen.
Der GTR liefert dir zwei Resultate:

$t_1=2,1$
$t_2=-2,1$

Da laut Aufgabenstellung aber $0 < t$ gelten soll, ist $t_1$ das gesuchte Ergebnis.
Es muss $t=2,1$ gelten, damit der Abstand der beiden Extrempunkte 13 beträgt.

Lösung A1.1

a) $\blacktriangleright$ Koordinate des Extrempunktes $E$ angeben

Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:

$f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$

$K$ ist ihr Schaubild. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten des Extrempunktes $E$ zu bestimmen.

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E) \neq 0$

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \end{array}$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ \end{array}$

An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 10 - 5 \cdot x& \\ -10=& - 5 \cdot x& \\ 10=& 5 \cdot x& \\ 2=& x&\\ \end{array}$

Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.

Symbol eines Buches mit einem Stift, das Lernen oder Schreiben darstellt.

G-Solve F1: ROOT

den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle aus und bestätige mit Enter.

Der GTR liefert dir eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Überprüfe nun, ob $f‘‘(x_E=2)\neq 0$ erfüllt wird:

3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben

$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_E=2)=&10 \cdot 2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2}& \\ =& 20 \cdot \mathrm{e}^{-1}& \\ =& \frac{20}{\mathrm{e}} & \\ \approx & 7,3576 & \\ \end{array}$

Symbol einer Glühbirne, das Kreativität und Ideen repräsentiert.

Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_E=2$ auch mit Hilfe des GTR bestimmen.

Gib dazu die Funktion $f$ im Graph-Modus an und lass deren Graph anzeigen. Den Funktionswert an der besagten Stelle $x_E=2$ erhältst du über folgende Befehlsfolge:

G-Solve F6: F1: Y-Cal

Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(2 \mid 7,3576 )$ .

$\blacktriangleright$ Koordinate des Wendepunktes $W$ angeben

Notwendige Bedingung: $f‘‘(x_W)=0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘‘(x_W)\neq 0$

Hast du anschließend $x_W$ bestimmt, so kannst du die Wendestelle in den Term der Funktion $f$ einsetzen und so die $y$ -Koordinate des Wendepunktes bestimmen.

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Um die notwendige Bedingung einer Wendestelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitungsfunktion der Funktion $f$ . Diese hast du zuvor mit Hilfe der Produktregel bestimmt:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘‘(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$

Für die hinreichende Bedingung muss $f‘‘(x_W)=0$ gelten:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$

An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 2,5 \cdot x - 10& \mid\; +10\\ 10=& 2,5 \cdot x & \mid\; :2,5\\ 4=& x & \\ \end{array}$

Damit hast du eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$ ermittelt.

Schwarz-weißes Symbol einer offenen Hand.

G-Solve F1: ROOT

den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle aus und bestätige mit Enter.

Der GTR liefert dir eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Überprüfe nun, ob $f‘‘‘(x_W=4)\neq 0$ erfüllt wird:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_W=4$ eine Wendestelle liegt.

3. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes angeben

$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_W=4)=&10 \cdot 4 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 4}& \\ =& 40 \cdot \mathrm{e}^{-2}& \\ =& \frac{40}{\mathrm{e}^2} & \\ \approx& 5,413 & \\ \end{array}$

Symbol eines Buches, das Wissen und Lernen repräsentiert.

G-Solve F6: F1: Y-Cal

Die Koordinaten des des Wendepunktes $W$ lauten $W(4 \mid 5,413 )$ .

$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptote von $K$ angeben

Schwarzes Symbol, das ein Buch darstellt, möglicherweise für Bildung oder Lernen.

Untersuchen für $x \to + \infty$ :

Der Funktionsterm von $f$ ist gegeben durch $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ .
Betrachtest du $x \to + \infty$ , so kannst du festhalten, dass gilt:

$10 \cdot x \to + \infty$ und $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to 0$

Da der $\mathrm{e}$ -Term den dominanten Term darstellt, konvergiert die Funktion $f$ für $x \to + \infty$ gegen 0.
Die Gleichung der Asymptote lautet also $y=0$ .

Untersuchen für $x \to - \infty$ :

Betrachtest du noch $x \to - \infty$ , so kannst du festhalten, dass gilt:

$10 \cdot x \to - \infty$ und $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to + \infty$

Da auch hier der $\mathrm{e}$ -Term den dominanten Term darstellt, der Term durch den Teil $10\cdot x$ für $x \lt 0$ aber immer ein negatives Vorzeichen besitzt, strebt die Funktion $f$ für $x \to - \infty$ gegen $- \infty$ . Damit liegt keine weitere Asymptote vor.

$\blacktriangleright$ Skizzieren des Schaubildes $K$

Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, das Schaubild $K$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgende Angaben verwenden:

Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
Verwende, dass sich der Hochpunkt an $E(2 \mid 7,3576 )$ und der Wendepunkt an $W(4 \mid 5,413 )$ befindet.
Für $x \to + \infty$ konvergiert die Funktion gegen 0, für $x \to - \infty$ strebt sie gegen $- \infty$ .

Zusätzlich kannst du dir noch die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden lassen. Diese findest du im TABLE-Modus unter F6: TABL:

Ein einfaches, schwarzes Symbol auf weißem Hintergrund.

Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:

b) $\blacktriangleright$ Wert für $u$ bestimmen, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt

Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks berechnet sich allgemein über folgenden Zusammenhang:

$A_{D}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Dabei stellt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der Höhe dar.
Um einen passenden Wert für $u$ zu ermitteln, kannst du wie folgt vorgehen:

Stelle die Flächenfunktion in Abhängigkeit vom Parameter $u$ auf.
Setze den resultierenden Term mit 8 gleich und löse nach $u$ auf, um den gesuchten Wert zu erhalten.

Den zweiten Schritt kannst du mit Hilfe deines GTR durchführen.

1. Schritt: Flächenfunktion aufstellen

Anhand der Abbildung kannst du erkennen, dass die Grundseite dem Wert $u$ und die Höhe dem Funktionswert $f(u)$ entspricht. Dadurch erhältst du folgende von $u$ abhängige Flächenfunktion $A(u)$ :

$A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u)$

Setze den Funktionsterm von $f$ ein, um den vollständigen Term er Flächenfunktion $A(u)$ zu erhalten:

$\begin{array}[t]{rll} A(u)&=& \frac{1}{2} \cdot u \cdot 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}& \\[5pt] &=& 5 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \end{array}$

2. Schritt: Wert für Parameter $u$ ermitteln

Gib den Funktionsterm $A(u)$ im GTR ein.
Gib weiterhin eine Gerade mit der Gleichung y = 8 an und lass beide im Graph-Modus anzeigen.
Bestimme die Schnittstelle der beiden Schaubilder. Diese entspricht gerade dem gesuchten Wert für $u$ .

Symbol eines Buches mit einem Stift, das Lernen und Schreiben darstellt.

Symbol eines offenen Buches mit einem Lichtstrahl, der von oben kommt.

Damit hast du zwei passende Werte für $u$ ermittelt mit

$u_1 \approx 2,183$ ,
$u_2 \approx 6,621$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $u$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist

Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss einer der folgenden Fälle eintreten:

$a=b$ oder
$a=c$ oder
$b=c$ .

Gib dazu zunächst die Länge der Seiten $a$ , $b$ und $c$ in Abhängigkeit von $u$ an und setze diese gleich, um so einen passenden Parameterwert für $u$ zu ermitteln.

1. Schritt: Länge der Seiten in Abhängigkeit von $u$ angeben

Die Seitenlänge $a$ entspricht dem Abstand vom Ursprung $O(0 \mid 0)$ zum Punkt $P(u\mid 0)$ . Dieser Abstand ist gerade gleich $u$ .
Die Seitenlänge $b$ stellt den Abstand zwischen den Punkten $P(u\mid0)$ und $Q(u\mid f(u))$ dar. Da diese die gleiche $x$ -Koordinate haben, besitzen sie einen Abstand von
$f(u)=10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}$ .
$c$ berechnet sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} c &=& \sqrt{a^2 +b^2}& \\[5pt] &=& \sqrt{u^2 + f(u)^2}& \\[5pt] &=& \sqrt{u^2+ 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}} \end{array}$

2. Schritt: Seitenlängen gleichsetzen, um $u$ zu bestimmen

Damit das Dreieck gleichschenklig ist, können die oben genannten drei Fälle $a=b$ , $b=c$ oder $a=c$ eintreten. Wir überprüfen zunächst, ob für den Fall $a=c$ ein $u$ existiert:

1. Fall: $a=c$

2. Fall: $b=c$

Als nächstes überprüfen wir, ob ein $u$ für den Fall $b=c$ existiert.

$\begin{array}[t]{rll} b&=& c & \\[5pt] 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}&=& \sqrt{u^2+ \left(10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}\right)^2}&\quad \scriptsize \mid\; (\,)^2 \\[5pt] 100 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-u}&=& u^2+ 100 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-u}&\quad \scriptsize \mid\; -100 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-u} \\[5pt] 0&=& u^2 \end{array}$

Auch diese Gleichung hat nur die Lösung $u=0$ , was wiederum heißt, dass die Seiten $b$ und $c$ niemals gleich lang werden.

3. Fall: $a=b$

Überprüfe noch den letzten Fall $a=b$ :

c) $\blacktriangleright$ Grenzen des Intervalls bestimme, sodass der Mittelwert 2,2 beträgt

$m= \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, kannst du diese Angaben verwenden:

Der Mittelwert beträgt laut Aufgabentext $m=2,2$ .
Die Länge des Intervalls soll 3 betragen, das heißt, es muss $b-a=3$ bzw. $b=a+3$ gelten.

Setze alle bekannten Informationen in die oben angeführte Formel ein und bestimme so das gesuchte Intervall.
Einsetzen aller Angaben liefert dir:

Um an dieser Stelle die Stammfunktion von $f$ zu erhalten, kannst du partielle Integration verwenden:

$\displaystyle\int_{a}^{b}h‘(x) \cdot g(x)\mathrm{d}x=...$

Vollständige Gleichung anzeigen

Wähle in diesem Fall:

$h‘(x)=\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ $\to h(x)=-2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$
$g(x)=10 \cdot x$ $\to g‘(x)=10$

Einsetzen in die oben angeführte Formel liefert dir das gesuchte Integral von $f$ :

$6,6= \displaystyle\int_{a}^{b}10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \mathrm{d}x$

Vollständige Rechnung anzeigen

Setze anschließend noch $a$ und $b=a+3$ ein:

Rechenweg anzeigen

$6,6= \displaystyle\int_{a}^{a+3}10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \mathrm{d}$

G-Solve F5: ISCT

Ein einfaches, stilisiertes Symbol in Schwarz auf weißem Hintergrund.

Lösung A1.2

$\blacktriangleright$ Parameter $t$ bestimmen

Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:

$f_{t}(x)=\dfrac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x$

Deine Aufgabe ist es, den Parameter $t$ so zu bestimmen, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_t$ einen Abstand von 13 besitzen.
Dazu kannst du wie folgt vorgehen:

Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von $t$ .
Berechne den Abstand $d$ der Extrempunkte.
Bestimme $t$ so, dass der Abstand gerade 13 beträgt.

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E) \neq 0$

1. Schritt: Extrempunkte bestimmen (Notwendige Bedingung)

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f_t(x) =&\frac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x& \\ f‘_t(x) =&\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2}-t^{2}\cdot 1& \\ & =x^{2}-t^{2}& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0 =&x^{2}-t^{2}& \mid\; +t^2\\ t^2 =&x^{2}& \mid\; \sqrt{\;}\\ \pm t =&x&\\ \end{array}$

Damit hast du zwei potentielle Extremstellen an $x_{E1}=t$ und $x_{E2}=-t$ ermittelt und kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.

2. Schritt: Extrempunkte bestimmen (Hinreichende Bedingung)

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘_t(x) =& x^{2}-t^{2}& \\ f‘‘_t(x) =& 2 \cdot x& \\ \end{array}$

Überprüfe nun, ob $f‘‘(x_E=\pm t)\neq 0$ erfüllt wird:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f‘‘_t(x_E=\pm t) =& 2 \cdot x& \\ =& 2 \cdot \pm t \neq 0& \\ \end{array}$

Da in der Aufgabenstellung $t>0$ vorausgesetzt wird, kann die zweite Ableitungsfunktion nicht gleich Null werden.

Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_E=\pm t$ Extremstellen vorliegen.

3. Schritt: Koordinaten der Extrempunkte angeben

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_{E1}=t) =&\frac{1}{3} \cdot t^{3}-t^{2}\cdot t& \\ =&\frac{1}{3} \cdot t^{3}-t^{3}& \\ =&-\frac{2}{3} \cdot t^{3}& \\ \end{array}$

Das liefert dir, dass der Tiefpunkt die Koordinaten $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ besitzt.

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_{E2}=-t) =&\frac{1}{3} \cdot (-t)^{3}-t^{2}\cdot (-t)& \\ =&- \frac{1}{3} \cdot t^{3}+t^{3}& \\ =&\frac{2}{3} \cdot t^{3}& \\ \end{array}$

Das liefert dir, dass der Hochpunkt die Koordinaten $H\left( -t \mid \frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ besitzt.

4. Schritt: Abstand der Extrempunkte bestimmen

Den Abstand $d$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2)$ und $B(b_1 \mid b_2)$ kannst du über folgenden Zusammenhang bestimmen:

$d= \sqrt{(a_1-b_1)^2 +(a_2-b_2)^2}$

Einsetzen der Koordinaten der Extrempunkte $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ und $H\left(-t \mid \frac{2}{3} \cdot t^{3} \right)$ liefert dir den Abstand mit:

$d= \sqrt{4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}}$

Rechenweg anzeigen

Der Abstand der Extrempunkte $T$ und $H$ beträgt also $\sqrt{4 \cdot t^2 +\frac{16}{9} \cdot t^{6}}$ .

5. Schritt: Parameterwert für $t$ bestimmen

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem markierten Schnittpunkt.

$t_1=2,1$
$t_2=-2,1$

Da laut Aufgabenstellung aber $0 < t$ gelten soll, ist $t_1$ das gesuchte Ergebnis.
Es muss $t=2,1$ gelten, damit der Abstand der beiden Extrempunkte 13 beträgt.