Wahlteil A2

Aufgabe A2.1

Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sich durch zwei Funktionen modellhaft beschreiben.
Die Funktion $g$ mit $g(t)=400+20\cdot (t+1)^2\cdot\mathrm{e}^{-0,1t}$ beschreibt die Geburtenrate und die Funktion $s$ mit $s(t)=600+10\cdot(t-6)^2\cdot$ $\mathrm{e}^{-0,09t}$ beschreibt die Sterberate der Population $(t$ in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, $g(t)$ und $s(t)$ in Individuen pro Jahr).

Bestimme die geringste Sterberate.
In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten?
Bestimme den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat.

(4 VP)

Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen.
Berechne den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017.
In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960?

(3 VP)

Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraumdurch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand $0,8\; \text{m}$ groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe $0,5\; \text{m}$ und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit $0,15\; \text{m}$ pro Jahr.

Bestimme eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen?

(4 VP)

Aufgabe A2.2

Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt $O(0\mid 0)$ und die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{4}{x^2+1}$ .

Bestimme die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von $f$ in Abhängigkeit vom Kreisradius.

(4 VP)

Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Bestimmen der geringsten Sterberate

Die Sterberate der Population wird durch $s$ mit

$s(t)=600+10\cdot (t-6)^2 \cdot \mathrm e^{-0,09\cdot t}$

beschrieben. Du sollst die geringste Sterberate bestimmen.
Da $s$ die Sterberate der Population in Abhängigkeit vom Zeitpunkt $t$ beschreibt, liegt die geringste Sterberate beim Minimum von $s$ vor. Bestimme also das Minimum von $s$ . Verwende dazu deinen GTR.

Übertrage zunächst den Funktionsterm von $s$ in den Graph-Editor und berechne wie unten das Minimum von $f$ :

2nd $\to$ CALC $\to$ 3: minimum

Screenshot eines wissenschaftlichen Taschenrechners mit Graphen und Funktionen in der Anzeige.

Die geringste Sterberate beträgt 600 Individuen pro Jahr.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der größten Differenz zwischen Geburten- und Sterberate

Die Geburtenrate wird durch die Funktion $g$ mit:

$g(t)=400+20\cdot (t+1)^2 \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$

beschrieben. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten war, so bestimmst du die Stelle, an welcher die Funktionswerte von $g$ und $s$ sich maximal unterscheiden.
Bilde dazu eine Differenzfunktion und bestimme mit deinem GTR die Maximalstelle dieser Funktion.

Da die gegenseitge Lage der Graphen von $g$ und $s$ nicht bekannt ist, lautet die Differenzfunktion $d$ :

$d(t)=\left|s(t)-g(t)\right|$

Übertrage den Funktionsterm wie oben in deinen GTR und berechne so die gesuchte Stelle:

2nd $\to$ CALC $\to$ 4: maximum

Mathematik-Grafik mit mehreren Funktionen und Gleichungen auf einem Taschenrechner-Display.

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit Maximum bei X=15,12 und Y=732,49.

Es ergibt sich: $t = 15,12$ .
Im Jahr 1975 war die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten.

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Zeitraums in dem die Population zugenommen hat

Die Population nimmt dann zu, wenn die Differenz zwischen Geburten und Sterberate positiv ist. Definiere also eine Funktion $d_2$ , die diesen Sachverhalt beschreibt:

$d_2(t)=g(t)-s(t)$

Der Zeitraum indem die Population zugenommen hat kannst du bestimmen, indem du den Bereich bestimmst, indem der Graph von $d_2$ oberhalb der $x$ -Achse verläuft. Betrachte dazu den Graphen von $d_2$ im GTR und bestimme die Nullstellen.

Übertrage den Funktionsterm wie oben in deinen GTR und berechne den gesuchten Zeitraum wie folgt:

2nd $\to$ CALC $\to$ 2: zero

Graph einer mathematischen Funktion mit einem Nullpunkt bei X=3,218089 und Y=0.

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit Koordinatenachsen und Berechnungsansicht.

Es ergibt sich also: $t_1 \approx 3,22$ und $t_2 \approx 45,32$
Die Bevölkerung hat im Zeitraum zwischen 1963 und 2005 zugenommen.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Bestands der Population zu Beginn des Jahres 2017

Sowohl Funktion $g$ also auch Funktion $s$ beschreiben Änderungsraten. Der Bestand berechnet folglich über ein Integral.
Beachte hier, dass die Anzahl an Individuen wie oben durch die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate definiert wird. Integriere also über $d_2$ und denke an den Anfangsbestand von 20.000.
Verwende beim Berechnen deinen GTR.

Integriere über $d_2$ im Bereich $t_1 = 0$ und $t_2 = 57$ , da 1960 den Zeitpunkt $t_1 = 0$ beschreibt. Verwende dazu wie im folgenden Schaubild den Graphs-Modus deines GTR:

2nd $\to$ CALC $\to$ $7: \displaystyle\int$ f(x)dx

Graph einer Funktion mit Integralberechnung auf einem Taschenrechner-Display.

Es ergibt sich $I \approx 15.636$ . Mit einem Anfangsbestand von 20.000 Individuen ergibt sich der der Bestand der Population im Jahre 2017 zu:
Population 2017 $= 15.636 + 20.000 = 35.636$ Individuen.

$\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Jahres

Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Population erstmal wieder den Bestand von 1960 erreichte, so gehe wie oben vor.
Oben haben wir mit dem Anfangsbestand und einem Integral über $d_2$ die Population im Jahr 2017 berechnet. Hier sollst du nun zum Bestand von 20.000 das entsprechende Jahr berechnen.
Für das Integral bedeutet dies, dass die obere Integrationsgrenze unbekannt ist:

$20.000 = 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;\mathrm d(t) \;dt$

Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Mit $x$ hast du dann das gesuchte Jahr ermittelt. Verwende zum Lösen auch hier wieder deinen GTR.

Willst du die Gleichung mit deinem GTR lösen, so stellst du diese so um, dass auf der linken Seite lediglich eine Null steht:

$20.000 = 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;d(t)\;\mathrm dt \quad$

Vollständige Lösung anzeigen

Übertrage diese Gleichung in den Graph-Editor deines GTR.

Mathematische Gleichungen und Funktionen auf einem Grafikrechner-Display.

Wechsle in den Graphs-Modus und bestimme die Nullstelle des Graphen.

2nd CALC 2: zero

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner.

Für $x$ ergibt sich: $x \approx 6,87$ .
Daraus folgt, dass die Population erstmals im Jahr 1966 wieder einen Bestand von 20.000 erreichte.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der gesuchten Gleichung

Deine Aufgabe ist es nun, das Größenwachstum eines einzelnen Individuum mit einer Formel zu beschreiben.
Folgende Angaben kannst du dazu der Aufgabenstellung entnehmen:

Es liegt ein beschränktes Wachstum vor
Ausgewachsen ist das Individuum 0,8 $\,$ m groß
Zum Zeitpunkt $t=0$ ist das Individuum 0,5 $\,$ m groß
Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 0,15 $\,$ m pro Jahr

Da beschränktes Wachstum vorliegt, verwendest du hier die zugehörige Differenzialgleichung:

$f‘(t)=k\cdot(S-f(t))$

$S$ beschreibt die maximale Größe des Individuums. Es gilt also $S = 0,8$ .
Mit der Anfangsgröße $f(0) = 0,5$ sowie der Wachstumsgeschwindigkeit $f‘(0) = 0,15$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(0)&=&k \cdot (0,8 - f(0))\\[5pt] 0,15&=&k \cdot (0,8 -0,5)\\[5pt] 0,15&=&k \cdot 0,3\;\Leftrightarrow\; k = 0,5\\[5pt] \end{array}$

Eingesetzt in

$f(t)=S - (S - f(0))\cdot \mathrm e^{-k \cdot t}$

ergibt sich:

$f(t)=0,8 - (0,8 - 0,5) \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der hier gesuchte Funktionsterm ist: $f(t) = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t}$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen der Anzahl der Jahre

Die anfängliche Körpergröße des betrachteten Individuums beträgt 0,5 $\,$ m. Nimmt diese um 50 $\,$ % zu, so wächst das Individuum um $0,5\,\text{m} \cdot 0,5 = 0,25\,\text{m}$ .
Du musst folglich den Zeitpunkt $t$ berechnen, an welchem das Individuum eine Körpergröße von $0,5\,\text{m} + 0,25\,\text{m} = 0,75\,\text{m}$ besitzt. Setze dazu $f(t)$ mit 0,75 gleich und löse nach $t$ .

Es ergibt sich hier:

$f(t) = 0,75$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach ca. 3,6 Jahren nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50 $\,$ % zugenommen.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte

Beim Lösen dieser Aufgabe empfiehlt es sich, eine Skizze zum Sachverhalt zu erstellen:

Graph eines mathematischen Modells mit verschiedenen kreisförmigen Linien in unterschiedlichen Farben.

In der Skizze oben siehst du, dass hier insgesamt 4 Fälle zu unterscheiden sind, wenn du die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit des Radius bestimmen möchtest:

Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt (siehe $r_1$ )
Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte (siehe $r_2$ )
Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte (siehe $r_4$ )
Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte (siehe $r_3$ )

Betrachte nun die Fälle im Einzelnen und bestimme, was für den Radius $r$ gelten muss, damit diese eintreten. Beachte dabei die jeweiligen Abstände des Graphen von $f$ zum Mittelpunkt $O$ . Verwende dazu folgende Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ :

$d = \sqrt{\left(x_A - x_B\right)^2 + \left(y_A - y_B\right)^2}$

1. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte

Da der Graph von $f$ offensichtlich achsensymmetrisch ist, schneiden sich der Graph von $f$ und der Kreis um $O$ in zwei Punkten da, wo der Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Punkt $O$ minimal ist.
Definiere den Abstand $d$ zwischen dem Graphen von $f$ und $O$ als Funktion in Abhängigkeit von $u$ und bestimme mit deinem GTR, den gesuchten minimalen Abstand $d_{min}$ :

$d(u) = \sqrt{\left(u-0\right)^2 + \left(f(u)-0\right)^2}$ $= \sqrt{u^2 + (f(u))^2}$

2nd $\to$ CALC $\to$ 3: minimum

Mathematical functions displayed on a calculator screen with various equations and plots labeled Y1 to Y8.

Graph einer mathematischen Funktion mit Minimum, dargestellt in roter Farbe auf einem Koordinatensystem.

Der minimale Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Mittelpunkt $O$ beträgt also $1,94\,\text{LE}$ . Das heißt für $r = 1,94$ schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ in genau zwei Punkten.
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass der Kreis auch für Radien, die größer sind als der Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse, den Graphen von $f$ in zwei Punkten schneidet. D.h. für Radien, die größer sind als

$f(0) = \dfrac{4}{0^2 + 1} = 4$

schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ ebenfalls in zwei Punkten.

2. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt

Keinen Schnittpunkt besitzen der Graph von $f$ und der Kreis um $O$ , wenn der Radius kleiner als der minimale Abstand zwischen $O$ und dem Graphen von $f$ ist. Es muss in diesem Fall $r \lt 1,94$ gelten.

3. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte

Vier Schnittpunkte besitzt der Graph von $f$ und der Kreis um $O$ , wenn der Radius des Kreises größer als der minimale Abstand und kleiner als der Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt von $f$ mit der $y$ -Achse ist.
Für den Radius muss in diesem Fall gelten: $1,94 \lt r \lt 4$ .

4. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte

Drei Schnittpunkte besitzen beide nur dann, wenn der Radius $r$ genau dem Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse entspricht.
Hier gilt dann: $r = 4$

Zusammengefasst bedeutet das:

Anz. Schnittpunkte	Radius
0	$r \lt 1,94$
2	$r = 1,94$ und $r \gt 4$
3	$r = 4$
4	$1,94 \lt r \lt 4$

Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Bestimmen der geringsten Sterberate

Die Sterberate der Population wird durch $s$ mit

$s(t)=600+10\cdot (t-6)^2 \cdot \mathrm e^{-0,09\cdot t}$

Übertrage zunächst den Funktionsterm von $s$ in den Graph-Editor und berechne wie unten das Minimum von $f$ :

SHIFT G-Solv MIN

Grafikfunktion auf einem Taschenrechner mit eingegebenen Y-Werten und Optionen zur Bearbeitung.

Die geringste Sterberate beträgt 600 Individuen pro Jahr.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der größten Differenz zwischen Geburten- und Sterberate

Die Geburtenrate wird durch die Funktion $g$ mit:

$g(t)=400+20\cdot (t+1)^2 \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$

Da die gegenseitge Lage der Graphen von $g$ und $s$ nicht bekannt ist, lautet die Differenzfunktion $d$ :

$d(t)=\left|s(t)-g(t)\right|$

Übertrage den Funktionsterm wie oben in deinen GTR und berechne so die gesuchte Stelle:

SHIFT G-Solv MAX

Mathematische Funktionen auf einem Grafikrechner angezeigt, mit verschiedenen Gleichungen in verschiedenen Farben.

Graphische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und einem hervorgehobenen Punkt.

Es ergibt sich: $t = 15,12$ .
Im Jahr 1975 war die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten.

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Zeitraums in dem die Population zugenommen hat

Die Population nimmt dann zu, wenn die Differenz zwischen Geburten und Sterberate positiv ist. Definiere also eine Funktion $d_2$ , die diesen Sachverhalt beschreibt:

$d_2(t)=g(t)-s(t)$

Übertrage den Funktionsterm wie oben in deinen GTR und berechne den gesuchten Zeitraum wie folgt:

SHIFT G-Solv ROOT

Graph einer Funktion mit Koordinaten und einem markierten Wurzelpunkt.

Graph mit Koordinaten und einer Kurve, die einen Wurzelpunkt anzeigt.

Es ergibt sich also: $t_1 \approx 3,22$ und $t_2 \approx 45,32$
Die Bevölkerung hat im Zeitraum zwischen 1963 und 2005 zugenommen.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Bestands der Population zu Beginn des Jahres 2017

Integriere über $d_2$ im Bereich $t_1 = 0$ und $t_2 = 57$ , da 1960 den Zeitpunkt $t_1 = 0$ beschreibt. Verwende dazu wie im folgenden Schaubild den Graphs-Modus deines GTR:

SHIFT G-Solv dx

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Achsen und Integrationsgrenzen.

$\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Jahres

$20.000 = 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;\mathrm d(t) \;dt$

Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Mit $x$ hast du dann das gesuchte Jahr ermittelt. Verwende zum Lösen auch hier wieder deinen GTR.

Willst du die Gleichung mit deinem GTR lösen, so stellst du diese so um, dass auf der linken Seite lediglich eine Null steht:

$\begin{array}[t]{rll} 20.000&=& 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;d(t)\;\mathrm dt \quad \scriptsize \mid\;-20.000 \\[5pt] 0&=& \displaystyle\int_{0}^{x}\;\mathrm d(t)\;\,\mathrm dt \end{array}$

Übertrage diese Gleichung in den Graph-Editor deines GTR.

Grafikfunktionen auf einem Bildschirm mit mehreren mathematischen Gleichungen in verschiedenen Farben.

Wechsle in den Graphs-Modus und bestimme die Nullstelle des Graphen.

SHIFT G-Solv ROOT

Grafische Darstellung von Koordinaten mit Achsenbeschriftung und einer Funktion.

Für $x$ ergibt sich: $x \approx 6,87$ .
Daraus folgt, dass die Population erstmals im Jahr 1966 wieder einen Bestand von 20.000 erreichte.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der gesuchten Gleichung

Deine Aufgabe ist es nun, das Größenwachstum eines einzelnen Individuum mit einer Formel zu beschreiben.
Folgende Angaben kannst du dazu der Aufgabenstellung entnehmen:

Es liegt ein beschränktes Wachstum vor
Ausgewachsen ist das Individuum 0,8 $\,$ m groß
Zum Zeitpunkt $t=0$ ist das Individuum 0,5 $\,$ m groß
Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 0,15 $\,$ m pro Jahr

Da beschränktes Wachstum vorliegt, verwendest du hier die zugehörige Differenzialgleichung:

$f‘(t)=k\cdot(S-f(t))$

$\begin{array}[t]{rll} f‘(0)&=&k \cdot (0,8 - f(0))\\[5pt] 0,15&=&k \cdot (0,8 -0,5)\\[5pt] 0,15&=&k \cdot 0,3\;\Leftrightarrow\; k = 0,5\\[5pt] \end{array}$

Eingesetzt in

$f(t)=S - (S - f(0))\cdot \mathrm e^{-k \cdot t}$

ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&0,8 - (0,8 - 0,5) \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} \end{array}$

Der hier gesuchte Funktionsterm ist: $f(t) = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t}$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen der Anzahl der Jahre

Es ergibt sich hier:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&0,75\\[5pt] 0,75&=&0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad \scriptsize\mid -0,8\;\\[5pt] -0,05&=&- 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid:(-0,3)\;\\[5pt] 0,167&=&\mathrm e^{-0,5 \cdot t} &\quad \scriptsize\mid \ln(...)\;\\[5pt] \ln(0,167)&=&-0,5 \cdot t &\quad \scriptsize \mid:(-0,5)\;\\[5pt] 3,58&=&t\\[5pt] \end{array}$

Nach ca. 3,6 Jahren nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50 $\,$ % zugenommen.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte

Beim Lösen dieser Aufgabe empfiehlt es sich, eine Skizze zum Sachverhalt zu erstellen:

In der Skizze oben siehst du, dass hier insgesamt 4 Fälle zu unterscheiden sind, wenn du die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit des Radius bestimmen möchtest:

Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt (siehe $r_1$ )
Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte (siehe $r_2$ )
Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte (siehe $r_4$ )
Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte (siehe $r_3$ )

$d = \sqrt{\left(x_A - x_B\right)^2 + \left(y_A - y_B\right)^2}$

1. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte

$d(u) = \sqrt{\left(u-0\right)^2 + \left(f(u)-0\right)^2} = \sqrt{u^2 + (f(u))^2}$

SHIFT G-Solv MIN

Mathematische Software-Oberfläche mit Graphenfunktionen und Gleichungen.

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinatenachsen und einer Kurve.

$f(0) = \dfrac{4}{0^2 + 1} = 4$

schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ ebenfalls in zwei Punkten.

2. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt

3. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte

4. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte

Drei Schnittpunkte besitzen beide nur dann, wenn der Radius $r$ genau dem Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse entspricht.
Hier gilt dann: $r = 4$

Zusammengefasst bedeutet das:

Anz. Schnittpunkte	Radius
0	$r \lt 1,94$
2	$r = 1,94$ und $r \gt 4$
3	$r = 4$
4	$1,94 \lt r \lt 4$