Wahlteil A1

Aufgabe A 1.1

Für jedes $t \in \mathbb{R}_0^{+}\;$ ist $G_t$ der Graph der Funktion $f_t$ mit $f_t(x)=\left(1-t x^2\right) \cdot \mathrm e^{-2 x}, x \in \mathbb{R}.$

Zeige, dass der Schnittpunkt von $G_t$ mit der $y$ -Achse unabhängig von $t$ ist.

(0,5 VP)

Entscheide, welcher der abgebildeten Graphen $G_{10}$ darstellt, und begründe deine Entscheidung.

(1 VP)

BW Mathe Abi 2023 Wahlteil Analysis Funktionenschar

Begründe, dass $f_0$ umkehrbar ist.

(1 VP)

Ermittle einen Term der Umkehrfunktion von $f_0$ und gib die Definitionsmenge dieser Umkehrfunktion an.

(1,5 VP)

Betrachtet wird die Tangente an $G_0$ im Punkt $B\left(0,5 \mid f_0(0,5)\right).$

Bestimme die Größe des Schnittwinkels dieser Tangente mit der $x$ -Achse.

(1 VP)

Diese Tangente begrenzt mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Längen der Katheten dieses Dreiecks exakt.

(1,5 VP)

Bei Rotation dieses Dreiecks um die $x$ - bzw. $y$ -Achse entsteht jeweils ein Körper. Interpretiere in diesem Zusammenhang folgende Ungleichung geometrisch: $\frac{2 \pi}{3 \mathrm{e}} \gt \frac{4 \pi}{3 \mathrm{e}^2}$

(1,5 VP)

Für einen bestimmten Wert von $t$ besitzt der Graph $G_t$ zwei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, die voneinander den Abstand 8 haben. Berechne diesen Wert von $t.$

(2 VP)

Die Funktion $H$ mit $H(x)=-\left(x^2+x+\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2 x}$ ist eine Stammfunktion von $h$ mit $h(x)=f_t(x)-f_{t+2}(x).$

Die Graphen $G_t$ und $G_{t+2}$ besitzen für $x\gt 0$ keine gemeinsamen Punkte und schließen mit der $y$ -Achse eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein.

Bestimme den Inhalt dieser Fläche.

(2,5 VP)

Für jedes $t\gt0$ hat der Graph $G_t$ zwei Extrempunkte $P_t$ und $Q_t.$

Begründe, dass der Mittelpunkt der Strecke $P_t Q_t$ auf der Geraden mit der Gleichung $x=\dfrac{1}{2}$ liegt.

(2,5 VP)

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist eine Schar von Funktionen $f_k$ mit $k\gt0,$ deren Ableitungsfunktionen $\(f_k$ folgende Gleichung besitzen:

$\(f_k$

Jeder Graph der Schar besitzt einen Wendepunkt. Betrachtet werden die Tangenten in diesen Wendepunkten.

Zeige, dass alle diese Wendetangenten parallel zueinander sind.

(2 VP)

Jeder Graph der Schar hat einen Extrempunkt im ersten Quadranten. Alle diese Extrempunkte liegen auf der ersten Winkelhalbierenden.

Bestimme eine Funktionsgleichung von $f_k.$

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Lösung A 1.1

Unabhängigkeit zeigen

$\begin{array}[t]{rll} f_t(0)&=& (1-t \cdot 0^2) \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0} & \\[5pt] &=& (1-0) \cdot \mathrm{e}^{0}&\\[5pt] &=& 1 &\\[5pt] \end{array}$

Somit folgt, dass der Schnittpunkt von $G_t$ mit der $y$ -Achse unabhängig von $t$ ist.

Begründete Entscheidung

Durch Einsetzen beliebiger $x$ -Werte in $G_{10}$ kann der Verlauf des Graphen untersucht werden:

Rechenweg anzeigen

$G_{10}(1) \approx -1,22$

Graph $\text{II}$ stellt somit $G_{10}$ dar.

Umkehrbarkeit begründen

Für $f_0$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& (1-0\cdot x^2)\cdot \mathrm e^{-2 x}& \\[5pt] &=& \mathrm e^{-2 x} \end{array}$

Da die Funktion $f_0(x)=\mathrm e^{-2 x}$ streng monoton fallend ist, ist sie folglich auch umkehrbar.

Term ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \mathrm e^{-2 x} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln (y)&=& -2x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right) \\[5pt] -\dfrac{1}{2}\cdot \ln(y)&=& x \end{array}$

Ein Term der Umkehrfunktion ist somit gegeben durch $\overline{f_0}(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot \ln(x).$

Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion folgt also mit: $D_{\overline{f_0}}=\mathbb{R}^+$

Schnittwinkel bestimmen

Steigung der Tangente an $G_0$ ermitteln:

$\(f_0$

Somit folgt die Steigung an der Stelle $x=0,5$ mit:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f_0$

Der Schnittwinkel der Tangente mit der $x$ -Achse folgt nun mit:

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& \,\bigg \vert \, -\dfrac{2}{\mathrm e}\,\bigg \vert \, &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\arctan \left(\dfrac{2}{\mathrm e}\right) \\[5pt] \alpha&\approx & -36,34^{\circ} & \\[5pt] \end{array}$

Längen berechnen

Allgemeine Tangentengleichung:

$\(\begin{array}[t]{rll} t:y& = & f$

Aus dem $y$ -Achsenabschnitt folgen die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse zu $S_y \left(0 \mid \dfrac{2}{\mathrm e} \right).$

Schnittstellen mit der $x$ -Achse bestimmen:

$y=0$

Rechnung anzeigen

Die Katheten des Dreiecks haben somit die Längen $1$ und $\dfrac{2}{\mathrm e}.$

Ungleichung interpretieren

Bei Rotation um die $x$ -Achse entsteht ein Kegel mit folgendem Volumen:

$\begin{array}[t]{rll} V_x&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{2}{\mathrm e}\right)^2\cdot 1&\\[5pt] &=& \dfrac{4\pi}{3\mathrm e^2} \end{array}$

Bei Rotation um die $y$ -Achse entsteht ein Kegel mit folgendem Volumen:

$\begin{array}[t]{rll} V_y&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 1^2\cdot \dfrac{2}{\mathrm e}& \\[5pt] &=&\dfrac{2\pi}{3\mathrm e} \end{array}$

Die Ungleichung zeigt folglich, dass das Volumen des Körpers, der bei Rotation um die $y$ -Achse entsteht, größer als das Volumen des Körpers, der bei Rotation um die $x$ -Achse entsteht, ist.

$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& 0& \\[5pt] \left(1-t x^2\right) \cdot \mathrm e^{-2 x}&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt wegen $\mathrm e^{-2 x}\gt 0:$

$\begin{array}[t]{rll} 1-t x^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +tx^2\\[5pt] 1&=& tx^2 &\quad \scriptsize \mid\;:t \\[5pt] \dfrac{1}{t}&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{t}}&=& x_1 &\\[5pt] -\dfrac{1}{\sqrt{t}}&=& x_2 \end{array}$

Es soll nun gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x_1-x_2&=& 8&\\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{t}}-\left(-\dfrac{1}{\sqrt{t}}\right)&=& 8& \\[5pt] \dfrac{2}{\sqrt{t}}&=& 8&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{t} \quad \scriptsize \mid\;:8\\[5pt] \dfrac{2}{8}&=& \sqrt{t}&\quad \scriptsize \mid\; (\;)^2\\[5pt] \dfrac{1}{16}&=& t \end{array}$

Für $t=\dfrac{1}{16}$ besitzt der Graph $G_t$ somit zwei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, die voneinander den Abstand 8 haben.

$\displaystyle\int_{0}^{b}h(x)\;\mathrm dx=...$

Rechnung anzeigen

Der Flächeninhalt folgt also mit:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \lim\limits_{b\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{b}h(x)\;\mathrm dx& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Ableitung bestimmen:

Mit der Produktregel ergibt sich:

$\( f_t$

Rechenweg anzeigen

Notwendige Bedingung:

$\( f_t$

Rechnung anzeigen

Mit der $abc$ -Formel folgt:

Rechenweg anzeigen

$x_{1/2}= \dfrac{t\pm\sqrt{t^2+4t}}{2t}$

Es folgen also $x_1=\dfrac{t+\sqrt{t^2+4t}}{2t}$ und $x_2=\dfrac{t-\sqrt{t^2+4t}}{2t}.$

Da in der Aufgabenstellung bereits vorausgesetzt ist, dass zwei Extrempunkte existieren, ist das Überprüfen der hinreichenden Bedingung nicht notwendig.

3. Schritt: Mittelpunkt bestimmen

$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Rechenweg anzeigen

Somit liegt der Mittelpunkt der Strecke $P_tQ_t$ auf der Geraden mit der Gleichung $x=\dfrac{1}{2}.$

Lösung A 1.2

1. Schritt: Wendepunkte bestimmen

$-\dfrac{1}{k^2}(x-k)(x+3 k)=0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=k$ und $x_2= -3k.$

Aufgrund der Symmetrie folgt, dass die Wendestelle in der Mitte der beiden Extremstellen liegen muss. Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=& \dfrac{x_1+x_2}{2}& \\[5pt] &=& \dfrac{k-3k}{2}& \\[5pt] &=& -k & \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x_3=-k$ besitzen die Graphen von $f_k$ folglich eine Wendestelle.

2. Schritt: Wendetangenten untersuchen

Die Steigung $m_k$ der Wendetangenten ergibt sich durch:

$\(\begin{array}[t]{rll} m_k&=& f_k$

Da die Steigung aller Wendetangenten unabhängig von $k$ immer 4 beträgt, sind alle Wendetangenten parallel zueinander.

1. Schritt: Stammfunktionen ermitteln

$\( f_k$

Umformungen anzeigen

$f_k (x)=...$

Gleichung anzeigen

2. Schritt: Wert von $c$ bestimmen

Die Extremstellen von $\(f_k$ wurden im Aufgabenteil a) bereits durch $x_1=k$ und $x_2=-3k$ bestimmt. Da $k \gt 0$ gilt, besitzen die Extrempunkte im ersten Quadranten folglich die $x$ -Koordinate $k.$

Es soll gelten:

$f_k(k)=k$

Rechnung anzeigen

Die Gleichung der gesuchten Stammfunktion ist somit gegeben durch:

Gleichung anzeigen

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