Wahlteil A2

Aufgabe A2.1

Die unten stehende Abbildung zeigt eine Station in einem Bikepark, die aus zwei seitlichen Wällen und einer Fahrrinne besteht.

Abstrakte grafische Darstellung eines geschwungenen Linienmusters auf weißem Hintergrund.

Die Abbildung unten zeigt modelhaft ihren Querschnitt. Dabei wird die Fahrrinne durch den Graphen einer Funktion $f$ im Bereich $-8 \leq x \leq8$ modelliert (Angaben in Meter).
Die Querschnitte der Wälle sind grau markiert. Der horizontale Untergrund wird im Querschnitt durch die $x$ -Achse beschrieben. Die Station hat auf ihrer gesamten Länge den in der Abbildung gezeigten Querschnitt.

Grafik eines Funktionsverlaufs mit markierten Punkten A, B und C auf einem Koordinatensystem.

Bearbeite die folgenden Aufgabenstellungen anhand des oben abgebildeten Graphen:

Bestimme die Breite der Fahrrinne in einer Höhe von $1\,\text{m}$ über dem Untergrund.
Ermittle die mittlere Steigung zwischen den im Modell mit $B$ und $C$ bezeichneten Punkten.
Bestimme die maximale Steigung der Fahrrinne.
Begründe, dass $f$ keine ganzrationale Funktion zweiten Grades sein kann.

(4,5 VP)

Es ist $f(x)=-\dfrac{1}{1024}x^4+\dfrac{1}{8}x^2$ .

Berechne die Höhe, in der die Fahrrinne eine Breite von $12\,\text{m}$ hat. Das verbaute Material hat ein Gesamtvolumen von $1168\,\text{m}^3$ .

Ermittle die Länge der Station.

(5 VP)

Die abgebildete Fahrrinne lässt sich auch näherungsweise durch den Graphen einer trigonometrischen Funktion $g$ modellieren, der die Punkte $A$ , $B$ und $C$ als Extrempunkte besitzt.

Bestimme einen möglichen Funktionsterm von $g$ .

(2,5 VP)

Aufgabe A2.2

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=4-\dfrac{4}{x^2}$ ; $\,\, x \neq 0$
Ihr Graph $K$ sowie die Gerade $g : y=4$ sind in der unten stehenden Abbildung dargestellt.

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit grüner Kurve und Rasterlinien.

Der Punkt $P\,(u\mid v)$ mit $u\gt 0$ ist ein Punkt auf $K$ .
Die Punkte $P$ , $Q\,(u\mid 4)$ , $R\,(0\mid 4)$ und $S\,(0\mid v)$ sind die Ecken eines Rechtecks.
Bei Rotation dieses Rechtecks um die $y$ -Achse entsteht ein Zylinder.

Zeige, dass das Volumen dieses Zylinders unabhängig von $u$ ist.

Berechne denjenigen Wert von $u$ , für den der Inhalt der Mantelfläche des Zylinders $4\pi$ beträgt.

(4 VP)

Für jeden Punkt auf $K$ begrenzen die zugehörige Tangente an $K$ , die Gerade $g$ und die $y$ -Achse ein Dreieck. Für einen solchen Punkt $T$ mit positiver $x$ -Koordinate ist dieses Dreieck gleichschenklig.

Berechne die $x$ -Koordinate dieses Punktes $T$ .

(2 VP)

$C$ ist der Graph der Funktion $h$ mit $h(x)=1-\dfrac{9} {x^2}$
$K$ geht durch eine Streckung in $y$ -Richtung und eine Streckung in $x$ -Richtung aus $C$ hervor.

Ermittle die beiden zugehörigen Streckfaktoren.

(2 VP)

Lösung A 2.1

Breite der Fahrrinne bestimmen
Durch Einzeichnen der Gerade $y=1$ kann man die ungefähren Schnittstellen $-3$ und $3$ ablesen.
Die Breite der Fahrrinne in einer Höhe von einem Meter beträgt also ca. $6\,\text{m}.$

Mittlere Steigung zwischen $B$ und $C$ ermitteln
Die mittlere Steigung wird mit $m= \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ berechnet.
Somit ist der Wert der mittleren Steigung $m= \dfrac{4}{8} =0,5$ .

Maximale Steigung der Fahrrinne bestimmen

Die maximale Steigung besitzt der Graph der Funktion im Wendepunkt an der Stelle $x \approx 4,6.$
Die Steigung der Tangente im Wendepunkt entspricht der maximalen Steigung.
Die Tangente verläuft durch die Punkte $(3 \mid 1)$ und $(7 \mid 4)$ .
Mit dem Steigungsdreieck lässt sich die Steigung berechnen:

$\(f$

Graph mit zwei Kurven und Punkten A, B, C sowie einer grünen Fläche zwischen den Kurven.

Begründen
Eine ganzrationalen Funktion zweiten Grades hat keine Wendestelle.

Höhe berechnen
Die Fahrrinne ist achsensymmetrisch. Daher genügt es, $f(6)$ zu berechnen.
$f(6)= -\dfrac{1}{1024} \cdot 6^4 + \dfrac{1}{8} \cdot 6^2 \approx 3,23$

Länge der Station ermitteln
Zuerst wird der Flächeninhalt $A$ der gesamten Querschnittsfläche berechnet. Dieser setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt unter dem Graphen von $f$ im Intervall $-8$ bis $8$ sowie den Flächeninhalten der Trapeze auf beiden Seiten.

$V=A\cdot l$ umgeformt ergibt $l=\dfrac{V}{A}.$

Die Länge entspricht folglich $\dfrac{1168\,\text{m}^3}{77,87\,\text{m}^2}=15\,\text{m}$ .

Die Kosinusfunktion $y=\cos(x)$ ist symmetrisch zur $y$ -Achse. Daher wird von einer Kosinusfunktion ausgegangen.

Die allgemeine Funktionsgleichung der Kosinusfunktion lautet:
$g(x)= a \cdot \cos (b \cdot x+c) +d$ .

Zunächst folgt aus der Achsensymmetrie zur $y$ -Achse, dass $c=0$ ist.
Für die Periode gilt allgemein: $p=\dfrac{2 \cdot \pi }{b}.$ Der Abstand zwischen zwei Hochpunkten beträgt $16\,\text{LE},$ also gilt $p=16.$ Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{2\cdot\pi}{b} \\[5pt] 16&=&\dfrac{2\cdot\pi}{b} \quad \scriptsize \mid\;\cdot b\;\mid\;:16 \\[5pt] b&=&\dfrac{2\cdot\pi}{16}=\dfrac{\pi}{8} \end{array}$

Die Amplitude beträgt $a=2$ und die Verschiebung in $y$ -Richtung $d=2$ .

Dazu kommt, dass der Funktionsgraph an der $x$ -Achse gespiegelt wurde, wodurch die Funktionsgleichung vor dem vertikalen Verschieben um $+2$ mit $-1$ multipliziert wird.

Folglich kann eine mögliche Funktion $g(x)=-2 \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{8}x \right) +2$ lauten.

Lösung A 2.2

Zeigen, dass das Zylindervolumen unabhängig von $u$ ist

Das Volumen eines Zylinders wird berechnet über $V=\pi\cdot r^2\cdot h.$

$u$ entspricht dem Radius $r$ und $(4-f(u))$ entspricht der Höhe $h.$

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot u^2 \cdot (4-f(u))\\[5pt] &=&\pi \cdot u^2 \cdot \left(4-\left(4-\dfrac{4}{u^2}\right)\right) \\[5pt] &=&\pi \cdot u^2 \cdot \dfrac{4}{u^2} \\[5pt] V&=&4 \pi \end{array}$

Damit ist das Zylindervolumen unabhängig von $u$ .

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftung und Markierungen.

Wert von $u$ für Mantelflächeninhalt berechnen
Der Mantelflächeninhalt eines Zylinders wird berechnet über $M=2\pi r\cdot h.$

$u$ entspricht dabei ebenfalls wie oben dem Radius $r$ und $(4-f(u))$ entspricht der Höhe $h.$

Für den Mantelflächeninhalt in Abhängigkeit von $u$ gilt:
$M=2 \pi \cdot u \cdot \left(4-\left(4-\dfrac{4}{u^2}\right)\right)\,$ $=2\pi\cdot u\cdot \dfrac{4}{u^2}\,$ $=\dfrac{8 \pi}{u}$

Es soll gelten: $M=4 \pi$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8 \pi}{u}&=& 4 \pi\quad \scriptsize \mid \;\cdot u \mid\; : 4\pi \\[5pt] 2&=&u \end{array}$

Für $u=2$ beträgt der Mantelflächeninhalt $4\pi.$

Das Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn die Steigung der Tangente im Punkt $T$ gleich $1$ ist.

$f(x)=4-\dfrac{4}{x^2}=4-4\cdot x^{-2}$
$\(f$

Gleichsetzen der Ableitungsfunktion mit der Steigung $1$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8}{x^3}&=&1&\quad \scriptsize \mid\,\cdot x^3\; \\[5pt] 8&=& x^3&\quad \scriptsize \mid 3\sqrt\; \\[5pt] 2&=&x \end{array}$

Die $x$ -Koordinate lautet $x=2.$

Grafik eines Koordinatensystems mit zwei Funktionen und einem markierten Punkt T.

Die Funktion $h$ lässt sich zunächst mit dem Faktor $4$ multiplizieren.

$4\cdot h(x)=4\cdot\left(1-\dfrac{9}{x^2}\right)=4-\dfrac{9\cdot 4}{x^2}$

Damit die Funktionsterme gleich sind, muss der Faktor $9$ noch gekürzt werden. Deshalb wird $x$ mit $3x$ ersetzt.

$4\cdot h(3x)=4-\dfrac{9\cdot 4}{(3x)^2}=4-\dfrac{9\cdot 4}{9x^2}=4-\dfrac{4}{x^2}$

Die Streckfaktoren sind also in $y$ -Richtung der Faktor $4$ und in $x$ -Richtung der Faktor $\dfrac{1}{3}.$