Stochastik

Aufgabe III 1

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an.

Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70 \,\%$ höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben $80 \,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich $50 \,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

(3 BE)

Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 \;\%$ mehr als fünf Personen älter als 40 Jahre sind.

(4 BE)

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60 \;\%$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb.

Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60 \;\%.$ “ mit Hilfe einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5 \;\%$ getestet werden.

Gib an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nulllhypothese geführt haben könnte.

(2 BE)

Für den beschriebenen Test ergibt sich $\{132 ; 133 ; \ldots ; 200\}$ als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

$Y:$ Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe

$P_{0,6}^{200}(Y \geq 132) \approx 0,047$

Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet.

(4 BE)

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 \;\%$ betragen könnte.

(4 BE)

Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie 18 Sonderzeichen.

Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen.

Zeige, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen.

(2 BE)

Niclas beschließt ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.
Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.

Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNicl*as mögliche Kennwörter.

Bestimme die Anzahl aller derartigen Kennwörter.

(3 BE)

Aufgabe III 2

Eine Berghütte wird von Gästen mit Mountainbike und ohne Mountainbike besucht. Es gibt Gäste, die eigene Verpflegung mitbringen.

Erfahrungsgemäß kommen $44 \;\%$ der Gäste mit dem Mountainbike. $73 \;\%$ der Gäste bringen keine eigene Verpflegung mit. $11\; \%$ der Gäste kommen mit dem Mountainbike und bringen eigene Verpflegung mit.

Ein Gast wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$M:$ „Der Gast kommt mit dem Mountainbike.“

$V:$ „Der Gast bringt eigene Verpflegung mit.“

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Untersuche, ob der Anteil der Gäste, die eigene Verpflegung mitbringen, unter den Gästen mit Mountainbike gleich groß ist wie unter den Gästen ohne Mountainbike.

(3 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{M} \cup V.$

(2 BE)

Gib jeweils einen Wert für die Parameter $a$ und $b$ an $(a\gt0, b\gt0),$ sodass mit dem Term $a \cdot 0,44 \cdot 0,56^b+0,56^{10}$ die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden kann.

Beschreibe das zugehörige Zufallsexperiment und das Ereignis.

(4 BE)

Auf der Berghütte werden Bananen, Birnen und Äpfel angeboten.

Die Masse der Bananen wird als normalverteilt mit einem Erwartungswert von $120 \,\text{g}$ und einer Standardabweichung von $10 \,\text{g}$ angenommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Masse einer zufällig ausgewählten Banane um höchstens $10 \;\%$ vom Erwartungswert abweicht.

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Banane eine größere Masse als $m$ hat, beträgt $69 \;\%$ ( $m$ in Gramm).

Ermittle den Wert von $m.$

(3 BE)

Die Masse der Birnen wird ebenfalls als normalverteilt mit einem ganzzahligen Erwartungswert in Gramm und einer Standardabweichung von $25 \,\text{g}$ angenommen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Birne eine Masse von höchstens $121 \,\text{g}$ hat, beträgt $10 \;\%.$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Birne mindestens $180 \,\text{g}$ wiegt.

(4 BE)

Die Masse eines Apfels wird als normalverteilt mit $\mu_A$ und $\sigma_A$ angenommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von vier zufällig ausgewählten Äpfeln zwei eine kleinere Masse als $\mu_A$ und zwei eine größere Masse als $\mu_A$ haben.

(3 BE)

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Lösung III 1

$A:$

„Ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt.“

$B:$

„Ein Abonnent hat das Komplettpaket.“

Baumdiagramm Videostreaming Komplettpaket Mathe Abi 2024

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=&\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,5} \\[5pt] &=&\dfrac{0,56}{0,71} \\[5pt] &\approx&0,79 \\[5pt] &=& 79 \,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Abonnenten an, die älter als 40 Jahre sind und ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,3.$ Es ist nun der minimale Wert von $n$ gesucht, sodass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P(X\gt5) \gt 99\,\%$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

Für $n=39:$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\gt5)&=& 1-P(X\leq4) \\[5pt] &\approx& 0,9891 \\[5pt] &=& 98,91\,\% \end{array}$

Für $n=40:$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\gt5)&=& 1-P(X\leq4) \\[5pt] &\approx& 0,9914 \\[5pt] &=& 99,14\,\% \end{array}$

Es müssen somit mindestens 40 Abonnenten zufällig ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als fünf Personen älter als 40 Jahre sind.

Das Management möchte vermeiden, dass der Algorithmus dauerhaft eingesetzt wird, obwohl der Einsatz des Algorithmus die Zufriedenheit unter den Abonnenten in Wirklichkeit nicht erhöht.

Die beiden angegebenen Lösungsschritte sind nicht ausreichend, da zusätzlich überprüft werden muss, ob es keinen Wert $k$ gibt, der kleiner als 132 ist und für den $P_{0,6}^{200}(Y \geq k) \leq 0,05$ gilt. Mit dem Taschenrechner folgt für $k=131:$

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,6}^{200}(Y \geq 131)&=&1-P_{0,6}^{200}(Y \leq 130) \\[5pt] &\approx&0,064 \end{array}$

Als eine geeignete Ergänzung der angegebenen Lösungsschritte ergibt sich somit:

$Y:\;$ Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
$P_{0,6}^{200}(Y \geq 132) \approx 0,047$
$P_{0,6}^{200}(Y \geq 131) \approx 0,064$

Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Bei einem Anteil von beispielsweise $61\,\%$ zufriedenen Abonnenten folgt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers zweiter Art:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,61}^{200}(Y \leq 131)&\approx& 0,917 \\[5pt] &=& 91,7\,\% \end{array}$

Es gibt $80^8$ mögliche Kennwörter mit 80 verschiedenen Zeichen. Werden ausschließlich Kleinbuchstaben verwendet, stehen 26 Zeichen zur Verfügung und somit ergeben sich genau $26^8$ mögliche Kennwörter.

Es gilt also:

$\dfrac{26^8}{80^8} \approx 0,00012\lt 0,001$

Da der Name Niclas aus sechs unterschiedlichen Buchstaben besteht, bleiben für die restlichen zwei Stellen des Passworts 74 mögliche Zeichen übrig. Diese Zeichen können an zwei beliebige Stellen des Kennworts gesetzt werden.

Die Anzahl aller Möglichkeiten ergibt sich also zu:

$\pmatrix{8\\2} \cdot 74 \cdot 73=151256$

Lösung III 2

	$\color{#fff}{V}$	$\color{#fff}{\overline{V}}$	Gesamt
$\color{#fff}{M}$	0,11	0,33	0,44
$\color{#fff}{\overline{M}}$	0,16	0,40	0,56
Gesamt	0,27	0,73	1

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P_M(V)&=& \dfrac{P(V \cap M)}{P(M)}& \\[5pt] &=& \dfrac{0,11}{0,44}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_\overline{M}(V)&=& \dfrac{P(V \cap \overline{M})}{P(\overline{M})}& \\[5pt] &=& \dfrac{0,16}{0,56}& \\[5pt] &=& \dfrac{2}{7} \end{array}$

Die Anteile der Gäste sind somit nicht gleich.

Mit der Additionsregel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{M}\cup V)&=& P(\overline{M}) +P(V)-P(\overline{M}\cap V)& \\[5pt] &=& 0,56+0,27-0,16& \\[5pt] &=& 0,67 \end{array}$

Wert angeben

$a=10,$ $b=9$

Zufallsexperiment beschreiben

Es werden zehn Gäste zufällig ausgewählt.

Ereignis beschreiben

Mindestens neun Gäste sind nicht mit dem Mountainbike gekommen.

Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Masse einer Banane in Gramm und wird als normalverteilt mit $\mu=120$ und $\sigma=10$ angenommen.

Für eine Abweichung von höchstens 10 Prozent vom Erwartungswert ergibt sich mit dem normalcdf-Befehl:

$P(0,9 \cdot 120 \leq Z \leq 1,1 \cdot 120) \approx 77\,\%$

Rechenweg anzeigen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(Z\gt m)&=& 0,69 & \\[5pt] P(Z\leq m)&=& 1-0,69 & \\[5pt] P(Z\leq m)&=& 0,31 \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem normalcdf-Befehl des WTRs liefert:

für $m=114: \quad P(Z\leq 114)\approx 27,4$

für $m=115: \quad P(Z\leq 115)\approx 30,8$

für $m=116: \quad P(Z\leq 116)\approx 34,5$

Der gesuchte Wert von $m,$ für den $P(Z\gt m)= 0,69$ gilt, ist somit etwa $m \approx 115.$

Die Zufallsvariable $B$ beschreibt die Masse einer Birne in Gramm und wird als normalverteilt mit unbekanntem $\mu$ und $\sigma=25$ angenommen.

1. Schritt: Erwartungswert ermitteln

Es soll gelten:

$P(B\leq 121)=0,1$

Systematisches Ausprobieren verschiedener Werte für $\mu:$

für $\mu=152: \quad P(B\leq 121)\approx 0,107$

für $\mu=153: \quad P(B\leq 121)\approx 0,100$

für $\mu=154: \quad P(B\leq 121)\approx 0,093$

Für $\mu=153$ gilt somit $P(B \leq 121) \approx 0,1.$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit $\mu=153$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(B \geq 180)&=& 1- P(B \leq 180)& \\[5pt] &\approx& 1- 0,860& \\[5pt] &=& 0,140 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Birne mindestens $180\,\text{g}$ wiegt, beträgt somit etwa $14\,\%.$

Die Zufallsvariable $A$ beschreibt die Masse eines Apfels in Gramm und wird als normalverteilt mit unbekanntem $\mu_A$ und $\sigma_A$ angenommen.

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel eine kleinere Masse als $\mu_A$ hat, gilt:

$P\left(A\lt\mu_A\right)=0,5$

Da zwei der vier Äpfel eine kleinere Masse als $\mu_A$ haben sollen, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& \pmatrix{4\\2} \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^2 & \\[5pt] &=& 0,375 \end{array}$

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