Analysis

Aufgabe I 1

Die folgende Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Grafik einer Brücke mit Höhe und Bauteilen, beschriftet mit

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)= \frac{1}{20}x^4 -\frac{2}{5}x^2 +1$ beschrieben werden.
Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Zeige rechnerisch, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch ist.

(2 BE)

Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.
(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die x-Koordinate 2.)

(5 BE)

Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet.
Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt.

(3 BE)

Gib die Bedeutung des Terms $\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang an und berechne seinen Wert.

(2 BE)

Berechne die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist.

(5 BE)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q$ mit $q(x)= 0,8 -a\cdot x^2;$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0$ beschrieben werden.

In der Abbildung ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ bezeichnet.
Bestimme alle Werte von $a,$ die für diese Länge mindestens 0,1 dm liefern.

(4 BE)

Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen.

(2 BE)

Für die Brücke gilt $a = 1,25 .$ Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1 \,\text{dm}^3$ des Holzes hat eine Masse von 800 Gramm. Die Brücke ist 0,4 dm breit.
Ermittle die Masse des mittleren Bauteils.

(7 BE)

Aufgabe I 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= (-ax^2 +2x)\cdot \mathrm e^{-ax};$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0.$

Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Berechne die Nullstellen der Funktion $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$

(3 BE)

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \rightarrow + \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ an.

(2 BE)

Weise nach, dass $\(f_a$ die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_a$ ist.

(2 BE)

Die Funktion $f_a$ besitzt genau zwei lokale Extremstellen. Ermittle diese.

Hinweis: Auf die hinreichende Bedingung zur Ermittlung der Extrema kann verzichtet werden.

(zur Kontrolle: $x_{1;2} =\frac{2}{a}\pm \sqrt{\frac{2}{a^2}}$ )

(4 BE)

Bestimme den Parameter $a$ so, dass der horizontale Abstand der beiden lokalen Extrempunkte des Graphen $G_a$ $\sqrt{800}\,\text{LE}$ beträgt.

(3 BE)

Für die Stelle $x_0 = 30-10\sqrt{3}$ der Funktion $f_{0,1}$ gelten folgende Bedingungen:

$\(f_{0,1}$
$\(f_{0,1}$

Gib die Bedeutung der Stelle $x_0$ an.

(1 BE)

Weiterhin wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)= -\frac{3}{4}x\cdot \mathrm e^{-0,1x}$ betrachtet. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Die Graphen $G_{0,1}$ und $H$ schneiden sich in den Punkten $S_1(0\mid 0)$ und $S_2\left(\frac{55}{2}\mid -\frac{165}{8}\cdot \mathrm e^{-2,75} \right).$
Entscheide, welcher dieser Punkte Schnittpunkt aller Graphen $G_a$ mit $H$ ist.
Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Die Funktion $h$ besitzt folgende Eigenschaften:

$\lim\limits_{x\to+\infty} h(x)=0;$ $\lim\limits_{x\to-\infty} h(x)=+ \infty$
$\(h$

Begründe mithilfe einer Skizze, dass der Graph $H$ einen Wendepunkt besitzt.

(3 BE)

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Lösung I 1

Die obere Randlinie wird durch den Graphen der Funktion $f$ dargestellt. Für $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&\frac{1}{20}\cdot (-x)^4 -\frac{2}{5} \cdot (-x)^2 +1 \\[5pt] &=&\frac{1}{20}\cdot x^4 -\frac{2}{5} \cdot x^2 +1\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$

Damit ist die obere Randlinie achsensymmetrisch.

Höhe der Brücke rechnerisch bestimmen
Da die Brücke achsensymmetrisch ist und die äußeren Endpunkte durch die Tiefpunkte des Graphen von $f$ markiert werden, muss der höchste Punkte der Brücke in der Mitte liegen.

Es gilt $f(0)$ $=\frac{1}{20}\cdot 0^4 -\frac{2}{5} \cdot 0^2 +1$ $= 1.$

Also beträgt die Höhe $1\text{ dm}.$

Länge der Brücke rechnerisch bestimmen
Die Länge der Brücke wird durch die Lage der beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ definiert.

Für die erste Ableitung von $f$ gilt:

$\(f$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt ist dies für $x_1 =0$ oder $x^2-4 =0$ erfüllt.

$\begin{array}[t]{rll} x^2 -4 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] x_{2,3} &=& \pm 2 \end{array}$

Aufgrund der Aufgabenbeschreibung und der Symmetrie des Graphen von $f$ müssen die Tiefpunkte bei $x_{2,3}=\pm2$ liegen.

Die Brücke ist also $4\,\text{dm}$ lang.

Die Höhe des höchsten Punkts der oberen Randlinie beträgt $f(0) =1\,\text{[dm]},$ die Höhe des rechten Endpunkts beträgt:

$f(2) = \frac{1}{20}\cdot 2^4 -\frac{2}{5}\cdot 2^2 +1 =\frac{1}{5} \,\text{[dm]}$

Die halbe Höhe zwischen diesen beiden Punkten ergibt sich wie folgt:

$\dfrac{f(0)+f(2)}{2}=\dfrac{1+\frac{1}{5}}{2}=\dfrac{3}{5}\,\text{[dm]}$

Der Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet sich auf einer Höhe von:

$f(1)=\frac{1}{20}\cdot 1^4-\frac{2}{5}\cdot 1^2+1=\frac{13}{20}\,\text{[dm]}$

Da $\frac{3}{5}\neq\frac{13}{20}$ , liegt der Übergangspunkt nicht auf halber Höhe zwischen dem Endpunkt und dem höchsten Punkt der Brücke.

Der Term gibt die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[1;2]$ und damit die mittlere Steigung der oberen Randlinie des rechten Bauteils an.

$\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{\frac{1}{5}-\frac{13}{20}}{1}$ $=-\dfrac{9}{20}=-0,45$

Die mittlere Steigung beträgt $-0,45$ .

Gesucht ist die Stelle der oberen Randlinie mit der steilsten Steigung, also eine Extremstelle von $\(f$

Für die erste Ableitung von $\(f$ gilt:

$\(f$

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen von $\(f$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Aufgrund der Symmetrie des Graphen von $f$ muss der Betrag der Steigung an beiden Stellen gleich groß sein, sodass es reicht, eine Stelle zu betrachten:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 32^{\circ}$

Der größte Steigungswinkel der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist, ist ca. $32^{\circ}$ groß.

Die Bodenfläche $s$ liegt zwischen $x=-1$ und der negativen Nullstelle von $q.$ Damit $s$ mindestens $0,1\text{ dm}$ lang ist, muss die negative Nullstelle von $q$ $-0,9$ oder größer sein. Also darf der Graph von $q$ an der Stelle $x=-0,9$ nicht oberhalb der $x$ -Achse verlaufen. Es muss also gelten:

$a\geq \frac{80}{81}$

Vollständige Lösung anzeigen

Alle Werte $a\geq\frac{80}{81}$ liefern für die Länge $s\geq0,1\text{ dm}.$

Der Wert $a$ streckt den Graphen von $q$ in $y$ -Richtung und macht ihn somit auch schmaler. Er bestimmt also die Breite der Durchfahrt unter der Brücke. Je größer $a$ wird, desto schmaler wird die Durchfahrt. Ab einem bestimmten Wert von $a$ können also keine Züge mehr durch die Durchfahrt fahren, da diese zu schmal wird. Daher kommen keine beliebig großen Werte für $a$ infrage.

Für die Masse $m$ des Bauteils gilt:

$\begin{array}[t]{rll} m &=& V\cdot 800\,\frac{\text{g }}{\text{dm}^3} \\[5pt] &=& A\cdot 0,4\,\text{dm}\cdot 800\,\frac{\text{g }}{\text{dm}^3} \end{array}$

Dabei ist $A$ die Größe der Querschnittsfläche des Bauteils und $V$ das Volumen.

1. Begrenzung der Querschnittsfläche bestimmen
Für die Begrenzungen der Querschnittfläche des mittleren Bauteils werden die Nullstellen von $q$ benötigt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x_{1,2}= \pm\frac{4}{5}$

2. Inhalt der Querschnittsfläche berechnen
Aufgrund der Symmetrie ergibt sich für die Querschnittsfläche des mittleren Bauteils:

$A=0,9 \,[\text{dm}^2]$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

3. Volumen und Masse berechnen

Für das Volumen folgt:

$V=A\cdot0,4\text{ dm}=0,9\text{ dm}^2\cdot0,4\text{ dm}$ $=0,36\text{ dm}^3$

Für die Masse folgt:

$m=0,36\text{ dm}^3\cdot 800\frac{\text{g}}{\text{dm}^3}$ $=288\text{ g}$

Die Masse des mittleren Bauteils beträgt $288\text{ g}.$

Lösung I 2

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] \left(-ax^2+2x\right)\cdot \mathrm e^{-ax} &=& 0 \\[5pt] \left(-ax+2\right)\cdot x\cdot \mathrm e^{-ax} &=& 0 \end{array}$

Es gilt $\mathrm e^{-ax}\neq 0$ für alle $x\in\mathbb{R}.$ Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die Gleichung daher für $x_1=0$ und $-ax+2 =0$ erfüllt:

$\begin{array}[t]{rll} -ax+2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+ax\\[5pt] 2 &=& ax &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] \frac{2}{a} &=& x\\[5pt] x_2 &=& \frac{2}{a} \end{array}$

Die Nullstellen von $f_a$ sind $x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}.$

Für die einzelnen Faktoren des Funktionsterms gilt:

$\lim \limits_{x \to \infty}\left(-ax^2+2x\right)= -\infty$

$\lim \limits_{x \to -\infty}\left(-ax^2+2x\right)= -\infty$

$\lim \limits_{x \to \infty} \mathrm e^{-ax}=0$

$\lim \limits_{x \to -\infty} \mathrm e^{-ax}=+\infty$

Insgesamt ergibt sich daraus:

$\lim \limits_{x \to +\infty}f_a(x) = 0$

$\lim \limits_{x \to -\infty}f_a(x) = -\infty$

Anwendung der Produktregel:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\(f_a$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Wegen $\mathrm e^{-ax}\neq 0$ ist dies nach dem Satz vom Nullprodukt genau dann erfüllt, wenn $a^2 x^2-4ax+2=0$ gilt. Mit der $pq$ -Formel folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x_{1,2}= \frac{2}{a}\pm\sqrt{\frac{2}{a^2}}$

$f_a$ besitzt zwei lokale Extremstellen bei $x_1=\frac{2}{a}+\sqrt{\frac{2}{a^2}}$ und $x_2=\frac{2}{a}-\sqrt{\frac{2}{a^2}}.$

Der horizontale Abstand der beiden lokalen Extrempunkte soll $\sqrt{800\text{ LE}}$ betragen:

$a = \pm 0,1$

Vollständige Lösung anzeigen

Wegen $a\gt0$ ist $a=0,1$ der Parameterwert, für den der horizontale Abstand der beiden lokalen Extrempunkte von $G_a$ $\sqrt{800}\,\text{LE}$ beträgt.

An der Stelle $x_0$ besitzt der Graph $G_{0,1}$ einen Wendepunkt.

Es gilt: $f_a(0)= (-a\cdot 0^2 +2\cdot 0)\cdot \mathrm e^{-a\cdot 0} = 0.$

Der Schnittpunkt $S_1(0\mid 0)$ liegt also auf allen Graphen $G_a$ und ist damit Schnittpunkt aller Graphen $G_a$ mit $H.$

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen x und y.

Für $x\lt 0$ verläuft der Graph $H$ im II. Quadranten. Er schneidet die $x$ -Achse im Koordinatenursprung und hat einen Tiefpunkt, der im IV. Quadranten liegt. Wegen $\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0$ muss der Graph $H$ sein Krümmungsverhalten von der Linkskrümmung zur Rechtskrümmung ändern und somit einen Wendepunkt haben.

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