Wahlteil B1

Aufgabe B1.1

Gegeben sind die Punkte $A(5\mid-5\mid0)$ , $B(5\mid5\mid0)$ , $C(-5\mid5\mid0)$ und $D(-5\mid-5\mid0)$ .
Das Quadrat $ABCD$ ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze $S(0\mid0\mid12)$ .

Die Seitenfläche $BCS$ liegt in der Ebene $E$ .

Bestimme eine Koordinatengleichung von $E$ .

Berechne den Winkel, der von der Seitenfläche $BCS$ und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $BCS$ .

(4 VP)

Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben.
Einer dieser Quader hat den Eckpunkt $Q(2,5\mid2,5\mid0)$ .

Berechne sein Volumen.

Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel.

Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante $BS$ ?

(4 VP)

Aufgabe B1.2

In einem Gefäß $G1$ sind $6$ schwarze und $4$ weiße Kugeln.
In einem Gefäß $G2$ sind $3$ schwarze und $7$ weiße Kugeln.

Aus Gefäß $G1$ wird $20$ Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $12$ Mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

Aus Gefäß $G2$ wird $8$ Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau $2$ schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen.

(4 VP)

Nun werden aus $G1$ zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß $G2$ gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus $G2$ gezogen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?

(3 VP)

Lösung B1.1

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen einer Koordinatengleichung für Ebene

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass das Quadrat $ABCD$ die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze $S(0 \mid 0 \mid 12)$ ist. Weiterhin weißt du, dass die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E$ liegt. Deine Aufgabe ist es dabei, eine Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ zu bestimmen. Die Koordinatengleichung einer Ebene baut sich dabei wie folgt auf:

$E:\quad n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d$ mit:

$n_1,n_2$ und $n_3$ : Einträge des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Ebene
$d$ : Über Punktprobe zu bestimmende Konstante

Willst du also eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ bestimmen, so bestimmst du zunächst den Normalenvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ über das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt. Verwende dazu die Information, dass die Seitenfläche $BCS$ der Pyramide in der Ebene $E$ liegt.

Hast du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ der Ebene $E$ bestimmt, so bestimmst du über eine Punktprobe die Konstante $d$ . Verwende dazu die Koordinaten von Punkt $B$ , $C$ oder $S$ .

1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ über das Vektorprodukt

Willst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ bestimmen, so benötigst du zunächst 2 Vektoren, welche die Ebene $E$ aufspannen. Da die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E$ liegt, kannst du hier die Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{BS}$ verwenden:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{BC} &=& \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\ &=& \begin{pmatrix}-5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-5 & - & 5 \\ 5 & - & 5 \\ 0 & - & 0\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-10 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{array}$

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{BS} &=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OB} \\ &=& \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}0 & - & 5 \\ 0 & - & 5 \\ 12 & - & 0\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-5 \\ -5 \\ 12\end{pmatrix} \end{array}$

Berechne nun wie folgt das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{BS}$ , um den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ zu bestimmen:

$\overrightarrow{n_E}= \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix}0\\120 \\ 50\end{pmatrix}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Da beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ nicht die Länge, sondern nur die Richtung entscheidend ist, ist hier folgende Umformung zulässig:

$\overrightarrow{n_E} = \begin{pmatrix}0\\120 \\ 50\end{pmatrix} \mathrel{\widehat{=}} \begin{pmatrix}0 \\ 12 \\ 5\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen der Koordinatengleichung über eine Punktprobe

Setzt du nun den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ in die allgemeine Koordinatengleichung von oben ein, so ergibt sich diese hier zu:

$\begin{array}{rll} E:& 0 \cdot x_1 + 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 = d \\ \Leftrightarrow& 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 = d \end{array}$

Die Konstante $d$ bestimmst du hier nun, indem du beispielsweise die Koordinaten von $B$ mit $B(5 \mid 5\mid 0)$ für $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ einsetzt und die Gleichung nach $d$ löst:

$\begin{array}{rll} 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3&=&d&\scriptsize\text{mit}\quad B(5 \mid 5\mid 0)\\ 12 \cdot 5 + 5 \cdot 0&=&d\\ 60&=&d\\ \end{array}$

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ lautet also:

$E:\quad 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 = 60$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen den Flächen $\boldsymbol{BCS}$ und $\boldsymbol{ABCD}$

Nun ist es deine Aufgabe, den Winkel $\alpha$ zwischen Seitenfläche $BCS$ und Grundfläche $ABCD$ der Pyramide zu berechnen. Hier gilt es also einen Winkel zwischen zwei Ebenen zu berechnen. Einen Winkel zwischen zwei gegebenen Ebenen berechnest du dabei über folgende Formel:

$\cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$ mit:

$\alpha$ : Winkel zwischen den Ebenen
$\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ : Normalenvektoren der Ebenen

Willst du also den Winkel $\alpha$ zwischen der Seitenfläche $BCS$ und der Grundfläche $ABCD$ berechnen, so benötigst du hier die Normalenvektoren dieser Ebenen. Den Normalenvektor der Ebene $E$ , in welcher die Seitenfläche $BCS$ liegt, hast du oben schon bestimmt. Der Normalenvektor der Ebene, in welcher die Grundfläche $ABCD$ liegt, gilt es noch zu berechnen.

1. Schritt: Bestimmen des gesuchten Normalenvektors

Den Normalenvektor $\overrightarrow{n_{ABCD}}$ der Ebene, in welcher die Grundfläche $ABCD$ liegt, könntest du wie oben über das Kreuzprodukt bestimmen. Vergleichst du jedoch die Variablen der Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ , mit

$A(5 \mid -5 \mid 0)$
$B(5 \mid 5 \mid 0)$
$C( -5 \mid 5 \mid 0)$
$D(-5 \mid -5\mid 0)$

so kannst du erkennen, dass diese alle in der $x_1x_2$ -Ebene liegen ( $x_3$ -Koordinate ist überall Null). Ein Vektor, welcher senkrecht auf der Ebene steht, in welcher sich auch die Grundfläche $ABCD$ befindet, zeigt also in Richtung der $\boldsymbol{x_3}$ -Achse. Für den Normalenvektor $\overrightarrow{n_{ABCD}}$ gilt hier also:

$\overrightarrow{n_{ABCD}} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$

Den Winkel $\alpha$ bestimmst du nun, in dem du $\overrightarrow{n_{E}}$ und $\overrightarrow{n_{ABCD}}$ in den oben gezeigten Zusammenhang einsetzt und wie folgt berechnest:

$\scriptsize\begin{array}{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{n_E} \cdot \overrightarrow{n_{ABCD}}}{|\overrightarrow{n_E}| \cdot |\overrightarrow{n_{ABCD}}|} \\ &=&\dfrac{\begin{pmatrix}0 \\ 12 \\ 5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}0 \\ 12 \\ 5\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] \end{array}$

$\scriptsize\begin{array}{rll} \cos(\alpha) &=&\dfrac{0 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 5 \cdot 1}{\sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}\; \\ &=&\;\dfrac{5}{\sqrt{169} \cdot \sqrt{1}} \\[5pt] \end{array}$

$\scriptsize\begin{array}{rll} \cos{\alpha}&=&\dfrac{5}{13}&\scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}(\frac{5}{13})\;=\;67,38\,\text{°} \end{array}$

Der Winkel zwischen der Seitenfläche $BCS$ und der Grundfläche $ABCD$ beträgt also 67,38°.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $\boldsymbol{BCS}$

Zuletzt sollst den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $BCS$ berechnen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich dabei über folgenden Zusammenhang:

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ mit:

$g$ : Grundseite
$h$ : Höhe des Dreiecks

Fertige dir eine Skizze des Dreiecks $\boldsymbol{BCS}$ an, um dir das Lösen dieser Aufgabe einfacher zu gestalten:

Grafische Darstellung eines schmalen, spitzen Objekts auf schwarzem Hintergrund.

Willst du hier den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $BCS$ bestimmen, so musst du die Länge der Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen. Diese Länge ermittelst du, in dem du zunächst die Länge der Strecke $\overline{SL}$ berechnest. Zeichnest du die Seitenansicht der Pyramide $ABCDS$ , so kannst du erkennen, dass die Strecke $\overline{SL}$ eine der Seitenlängen der Pyramiden entspricht:

Grafische Darstellung eines geometrischen Musters mit Linien und Formen auf schwarzem Hintergrund.

Betrachtest du die Skizze oben näher, so kannst du weiterhin erkennen, dass die Strecke $\overline{SL}$ mit der Höhe $h_P$ der Pyramide und der Hälfte der Grundseitenlänge $a$ in einem rechtwinkligen Dreieck liegt. Diese lässt sich also über den Satz des Pythagoras in diesem Dreieck bestimmen.

Gehe beim Berechnen des Flächeninhalts $A$ also so vor:

Bestimme die Höhe $\boldsymbol{h_P}$ der Pyramide
Bestimme die Grundseitenlänge $\boldsymbol{a}$
Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{SL}}$
Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$

1. Schritt: Bestimmen von $\boldsymbol{h_P}$ und $\boldsymbol{a}$

Die Höhe der Pyramide $ABCDS$ ergibt sich aus der $x_3$ -Koordinaten der Spitze $S$ der Pyramide:

$S(0 \mid 0 \mid 12)\quad \Longrightarrow h_P = 12\,\text{LE}$

Die Grundseiten Länge entspricht beispielsweise der Länge des Vektors $\overrightarrow{BC}$ , da dieser Vektor eine der Quadratseiten des Quadrates $ABCD$ beschreibt:

$\begin{array}{rll} a &=& |\overrightarrow{BC}| = \left|\begin{pmatrix}-10\\0\\0\end{pmatrix}\right| \\ &=& \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + 0^2} \\ &=& 10\,\text{LE} \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen der Länge der Strecke $\boldsymbol{SL}$

Betrachtest du die Skizze oben näher, so kannst du erkennen, dass $\frac{a}{2}$ und $h_P$ die Katheten des betrachteten rechtwinkligen Dreiecks sind. Willst du die Länge der Strecke $\overline{SL}$ über den Satz des Pythagroas bestimmen, so gehst du hier also so vor:

$\begin{array}{rll} \overline{SL}^2&=&\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(h_P\right)^2&\\ \overline{SL}^2&=&5^2+12^2&\\ \overline{SL}^2&=&169&\scriptsize \mid \sqrt{\,}\\ \overline{SL}&=&13\,\text{LE}\\ \end{array}$

Setzt du nun $h = \overline{SL} = 13\,\text{LE}$ sowie $\overline{BC} = 10\,\text{LE}$ in die oben gezeigte Formel für den Flächeninhalt des Dreicks $BCS$ ein, so ergibt sich dieser wie folgt:

$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = \frac{1}{2} \cdot 130 = 65\,\text{FE}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $BCS$ ist 65 FE.

b) $\blacktriangleright$ Berechnen des Quadervolumens

Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass nun Quader betrachtet werden, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat nun den Eckpunkt $Q(2,5 \mid 2,5 \mid 0)$ .
Deine Aufgabe ist es nun, das Volumen dieses Quaders zu berechnen. Das Volumen $V$ eines Quaders ergibt sich dabei über folgende Formel:

$V = l \cdot b \cdot h$ mit:

$l$ : Länge des Quaders
$b$ : Breite des Quaders
$h$ : Höhe des Quaders

Bevor du also das Volumen des Quaders bestimmen kannst, musst du dessen Länge, Breite und Höhe bestimmen. Fertige dir dazu eine Skizze des Sachverhalts an, in welche du zunächst die Pyramide $ABCDS$ und den Punkt $Q$ einzeichnest:

3D-Diagramm mit Punkten A, B, C, S und Q in einem Koordinatensystem. Linien verbinden die Punkte.

Vergleichst du die Koordinaten von $Q$ und dem Punkt $B$ , so kannst du erkennen, dass der Punkt $Q$ auf dem Ortsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{OB}}$ liegt. Folglich liegt der darüberliegende Punkt $R$ des Quaders auf der Strecke $\overline{BS}$ . Willst du also die Höhe des Quaders berechnen, so bestimmst du die Länge des Vektors $\overrightarrow{QR}$ . Berechne dazu die Koordinaten von $R$ über die Gerade, auf welcher die Strecke $\overline{BS}$ liegt.
Die Länge und die Breite des Quaders ermittelst du, indem du die relative Lage des Punktes $\boldsymbol{Q}$ zu den Koordinatenachsen näher betrachtest.

1. Schritt: Berechnen der Quaderhöhe

Die Quaderhöhe $h$ berechnest du hier, indem du zunächst die Gerade $g$ definierst, auf welcher die Strecke $\overline{BS}$ liegt. Verwende dazu den Ortsvektor $\overrightarrow{OB}$ von Punkt $B$ als Stütz- und den Vektor $\overrightarrow{BS}$ als Richtungsvektor:

$\begin{array}{rll} g: \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OB} + t \cdot \overrightarrow{BS} \\ &=& \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-5 \\ -5 \\ 12\end{pmatrix} \end{array}$

Da der Punkt $R$ senkrecht oberhalb des Punkte $Q$ liegt, weißt du, dass für dessen Koordinaten folgendes gelten muss: $R(2,5\mid 2,5\mid z)$ .

Setzt du nun den Ortsvektor $\overrightarrow{OR}$ von $R$ mit der Geradengleichung von $g$ gleich, so kannst du wie folgt die vollständigen Koordinaten von $R$ bestimmen:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{OR}&=& \overrightarrow{x_g}\\[5pt] \begin{pmatrix}2,5\\2,5\\z\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-5 \\ -5 \\ 12\end{pmatrix}\\ \end{array}$

Übertrage diese Gleichung wie folgt in ein Gleichungssystem, um die vollständigen Koordinaten von $R$ zu bestimmen:

Gleichungssystem anzeigen

Die vollständigen Koordinaten von Punkt $R$ sind also: $R(2,5 \mid 2,5 \mid 6)$ . Vergleichst du nun die Koordinaten von $Q$ und $R$ , so kannst du erkennen, dass die Höhe des Quaders offensichtlich $h = 6$ sein muss.

2. Schritt: Berechnen der Länge und der Breite des Quaders

Willst du die Länge und die Breite des Quaders bestimmen, so betrachtest du die Koordinaten von $Q$ . $Q$ hat eine $x_1$ -Koordinate von $x_1 = 2,5$ . Das heißt der Abstand von $Q$ zur $x_1$ -Achse beträgt 2,5. Da es sich um einen Quader handelt, dessen Grundfläche in der Fläche $ABCD$ liegt, muss für dessen Länge gelten:

$l = 5\,\text{LE}$ .

Gleiches gilt für die Breite des Quaders:

$b = 5\,\text{LE}$ .

Überträgst du nun den Quader in die Skizze von oben, so sollte dieser so aussehen:

Diagramm mit geometrischen Linien und Punkten, beschriftet mit Buchstaben und Zahlen.

3. Schritt: Berechnen des Quadervolumens $\boldsymbol{V}$

Das Quadervolumen $V$ ergibt sich nun über den obigen Ansatz wie folgt:

$V = l \cdot b \cdot h = 5 \cdot 5 \cdot 6 = 150 VE$ .

Der Quader besitzt ein Volumen von 150 VE.

$\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten des Eckpunktes

Nun soll ein weiterer Quader betrachtet werden, bei dem es sich um einen Würfel handelt. Dabei sollte dir bekannt sein, dass bei einem Würfel Länge, Breite und Höhe übereinstimmen. Deine Aufgabe ist es nun die Koordinaten von dessen Eckpunkt auf der Kante $\overline{BS}$ zu bestimmen.
Wie oben schon beschrieben, bestimmte der Punkt $Q$ unter anderem Breite und Länge des Würfels. Dabei entsprach gerade das Doppelte der $x_1$ -Koordinate der Länge und das Doppelte der $x_2$ -Koordinate der Breite des Würfels.
Da der hier zu bestimmende Punkt $R_t$ auf der Kante $\overline{BS}$ liegt, werden dessen Koordinaten von Gerade $\boldsymbol{g}$ bestimmt. Von oben weißt du, dass dessen $x_1$ - und $x_2$ -Koordinate mit denen von Punkt $Q$ , der unterhalb von $R_t$ liegt, übereinstimmt.
Daraus folgt, dass die $x_3$ -Koordinate dem Doppelten der $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten von $R_t$ entsprechen muss, damit es sich beim betrachteten Quader um einen Würfel handelt.

1. Schritt: Bestimmen der allgemeinen Koordinaten von $\boldsymbol{R_t}$

Die allgemeinen Koordinaten von $R_t$ ergeben sich wie folgt aus der Gleichung von Gerade $g$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR_t}&=& \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-5 \\ -5 \\ 12\end{pmatrix}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 - 5 \cdot t \\ 5 - 5 \cdot t \\ 12 \cdot t\end{pmatrix} \end{array}$

$\;\Longrightarrow\;R_t(5 - 5 \cdot t \mid 5 -5 \cdot t \mid 12 \cdot t)$

2. Schritt: Bestimmen der gesuchten Koordinaten von $\boldsymbol{R_t}$

Wie oben erwähnt, handelt es sich dann um einen Würfel, wenn die $x_3$ -Koordinate von $R_t$ dem Doppelten der $x_1$ - und der $x_2$ -Koordinaten dieses Punktes entspricht. Berechne demnach mit $x_1=x_2$ die gesuchten Koordinaten von $R_t$ über folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot x_1 &=& x_3 & \\[5pt] 2 \cdot (5 - 5 \cdot t)&=& 12 \cdot t &\\[5pt] 10 - 10 \cdot t &=& 12\cdot t& \quad \scriptsize \mid +10\cdot t\\[5pt] 10 &=& 22t& \quad \scriptsize \mid :22\\[5pt] \dfrac{5}{11}&=& t \end{array}$

Für $t$ muss also $t = \frac{5}{11}$ gelten. Für die gesuchten Koordinaten gilt also:

Koordinaten anzeigen

Die gesuchten Koordinaten des Eckpunktes auf der Kante $\overline{BS}$ sind also $R_{\frac{5}{11}}( \frac{30}{11} \mid\frac{30}{11} \mid \frac{60}{11})$ .

Lösung B1.2

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass mind. 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 20 Mal eine Kugel aus dem Gefäß $G1$ gezogen wird. Die Kugeln werden dabei jeweils wieder ins Gefäß zurückgelegt, weswegen es sich hier um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt. Im Gefäß $G1$ befinden sich 6 schwarze und 4 weiße Kugel. Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass bei 20 Zügen mindestens 12 Mal eine schwarze Kugeln gezogen wird.
Willst du hier diese Wahrscheinlichkeit bestimmen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $X$ . Zufallsvariable $X$ beschreibt dabei die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln. Da bei diesem Zufallsversuch nur die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln relevant ist und es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, ist Zufallsvariable $X$ binomialverteilt. Da insgesamt $20$ Mal gezogen wird ist $n = 20$ .
Wahrscheinlichkeit $p$ ergibt sich aus der Gesamtanzahl der schwarzen Kugeln unter allen Kugeln. Da hier die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht wird, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugeln gezogen wird, muss für die Zufallsvariable $X$ hier folgendes gelten:

$P(X \geq 12)$ .

Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem GTR berechnen. Dazu musst du den binomCdf-Befehl verwenden. Da dieser aber nur Ausdrücke wie $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du hier zunächst wie folgt das Gegenereignis zu $P(X \geq 12)$ bilden:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 12)&=& 1 - P(X \lt 12)& \\[5pt] &=& 1 - P(X \leq 11) \end{array}$

Insgesamt befinden sich 10 Kugel im Gefäß, weswegen die Wahrscheinlichkeit $p$ eine schwarze Kugel zu ziehen, die folgende ist:

$p = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 0,6$

Nun weißt du, dass $n = 20$ , $p = 0,6$ gilt. Wende den binomCdf-Befehl wie in den Schaubildern unten an, um hier die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Greife dazu aber zunächst über 2nd DISTR B:binomcdf( auf diesen zu.

Bildschirmansicht eines Taschenrechners mit Berechnungen zur Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 12 schwarze Kugeln aus Gefäß $G1$ zu ziehen beträgt also etwa 59,6 %.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass 2 schwarze Kugeln hintereinander gezogen werden

Nun betrachtest du Gefäß $G2$ , indem sich 3 schwarze und 7 weiße Kugeln befinden und aus dem mit Zurücklegen gezogen wird. Deine Aufgabe ist es dabei, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass aus diesem Gefäß genau 2 schwarze Kugeln hintereinander gezogen werden.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du dir zunächst überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei schwarze Kugeln bei insgesamt 8 Zügen aus dem Gefäß zu ziehen. Hast du dies ermittelt, so musst du dir klar machen, mit welcher Wahrscheinlichkeit überhaupt zwei schwarze Kugeln hintereinander aus dem Gefäß entnommen werden.
Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus dem Gefäß $G2$ zu ziehen ermittelst du hier wie oben:

$p_s = \dfrac{3}{10} = 0,3$

Wird insgesamt 8 Mal aus dem Gefäß eine Kugel mit Zurücklegen gezogen, so gibt es insgesamt 7 Mal die Möglichkeit 2 schwarze Kugeln aus diesem Gefäß zu entnehmen. Die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ im Allgemeinen genau 2 schwarze Kugeln aus dem Gefäß zu ziehen, ergibt sich hier über die Pfadmultiplikation (mit $p_w$ : Wahrscheinlichkeit für weiße Kugel):

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& p_s \cdot p_s \cdot p_w \cdot ... \cdot p_w&\\[5pt] &=& p_s^2 \cdot p_w^6&\\[5pt] &=& 0,3^2 \cdot 0,7^6 \end{array}$

Multiplizierst du dieses Ergebnis nun noch mit 7 so hast du die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ dafür berechnet, genau 2 schwarze Kugeln hintereinander aus dem Gefäß zu ziehen:

$P(B) = 7 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^6 = 0,0741$ .

Die Wahrscheinlichkeit genau zwei schwarze Kugeln hintereinander aus dem Gefäß zu ziehen beträgt also 0,0741 bzw. 7,41%.

b) $\blacktriangleright$ Berechnen der Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel

Der Aufgabenstellung kannst du hier nun entnehmen, dass insgesamt 2 Kugeln aus Gefäß $G1$ ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß $G2$ gelegt werden. Anschließend wird dann eine Kugel aus Gefäß $G2$ gezogen. Deine Aufgabe ist es nun, zu ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Kugel schwarz ist.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du hier folgende drei Fälle betrachten:

Es werden 2 schwarze Kugeln in $G2$ gelegt;
es wird eine schwarze Kugel in $G2$ gelegt und
es wird keine schwarze Kugel in $G2$ gelegt.

Je nachdem, welcher dieser drei Fälle eintritt verändert sich die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus Gefäß $G2$ zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine schwarze Kugel aus $G2$ zu ziehen, wird also maßgeblich von diesen Wahrscheinlichkeiten beeinflusst.
Hast du die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Fälle ermittelt, so kannst du ausgehend von diesen die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel aus dem Gefäß $G2$ ermitteln. Auch hier ergeben sich drei verschiedene Fälle:

Die Anzahl der schwarzen Kugeln hat sich um 2 erhöht;
die Anzahl der schwarzen Kugeln hat sich um 1 erhöht und
die Anzahl der schwarzen Kugeln hat sich nicht erhöht.

Beachte dabei, dass sich in jedem dieser drei Fälle die Gesamtanzahl der Kugeln um 2 erhöht hat. Vereine zuletzt die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Fälle über die Pfadregeln und berechne so die Wahrscheinlichkeit.

1. Schritt: Wahrscheinlichkeiten, für die drei Fälle

Zwei schwarze Kugeln:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 schwarze Kugeln in Gefäß $G2$ gelegt werden, ergibt sich hier über die Pfadmultiplikation. Denke dabei daran, dass es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt.

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{2 schwarze Kugeln}) &=& \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}& \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \end{array}$

Eine schwarze Kugel:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel in Gefäß $G2$ gelegt wird, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze und eine weiße Kugel in Gefäß $G2$ gelegt wird. Achte hierbei auf die Reihenfolge.

Rechenweg anzeigen

$P(\text{1 schwarze Kugeln})= \frac{8}{15}$

Keine schwarze Kugel:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine schwarze Kugel ins Gefäß $G2$ gelegt wird, ergibt sich hier aus der Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei weiße Kugeln ins Gefäß gelegt werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{keine schwarze Kugeln}) &=& \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}& \\[5pt] &=& \frac{2}{15} \end{array}$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel

Willst du hier nun die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel aus Gefäß $G2$ berechnen, so musst du auch hier wieder die drei Fälle von oben beachten. Denke dabei daran, dass sich die Anzahl der Kugeln in Gefäß $G2$ auf 12 erhöht ist und dass die Anzahl der schwarzen Kugel abhängig von dem eingetretenen Fall ist.

Fall 1: Zwei schwarze Kugeln
Wurden 2 schwarze Kugeln ins Gefäß gelegt, so befinden sich nun insgesamt 5 schwarze Kugeln in diesem Gefäß. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall eintritt und dass dann eine schwarze Kugel gezogen wird, ergibt sich wie folgt über die Pfadmultiplikation:

$P(\text{Fall 1}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{36}$

Fall 2: Eine schwarze Kugel
Wurde 1 schwarze Kugel ins Gefäß gelegt, so befinden sich nun insgesamt 4 schwarze Kugeln in diesem Gefäß.

$P(\text{Fall 2}) = \frac{8}{15} \cdot \frac{4}{12} = \frac{32}{180} = \frac{8}{45}$

Fall 3: Keine schwarze Kugel
Wurde keine schwarze Kugel ins Gefäß gelegt, so befinden sich nun insgesamt 3 schwarze Kugeln in diesem Gefäß.

$P(\text{Fall 3}) = \frac{2}{15} \cdot \frac{3}{12} = \frac{6}{180} = \frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit nun eine schwarze Kugel aus dem Gefäß $G2$ zu ziehen ergibt sich über die Pfadaddition. Bilde also die Summe der berechneten Wahrscheinlichkeiten:

$P(\text{schwarze Kugel})=0,35$

Rechenweg anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit, unter den neuen Umständen, eine schwarze Kugel aus Gefäß $G2$ zu ziehen liegt also bei $\frac{7}{20}$ bzw. 35 %.

Aufgabe B1.1

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen einer Koordinatengleichung für Ebene

$E:\quad n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d$ mit:

$n_1,n_2$ und $n_3$ : Einträge des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Ebene
$d$ : Über Punktprobe zu bestimmende Konstante

Hast du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ der Ebene $E$ bestimmt, so bestimmst du über eine Punktprobe die Konstante $d$ . Verwende dazu die Koordinaten von Punkt $B$ , $C$ oder $S$ .

1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ über das Vektorprodukt

Berechne nun wie folgt das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{BS}$ , um den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ zu bestimmen:

$\overrightarrow{n_E}=\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}0\\120 \\ 50\end{pmatrix}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Da beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ nicht die Länge, sondern nur die Richtung entscheidend ist, ist hier folgende Umformung zulässig:

$\overrightarrow{n_E} = \begin{pmatrix}0\\120 \\ 50\end{pmatrix} \mathrel{\widehat{=}} \begin{pmatrix}0 \\ 12 \\ 5\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen der Koordinatengleichung über eine Punktprobe

Setzt du nun den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ in die allgemeine Koordinatengleichung von oben ein, so ergibt sich diese hier zu:

$\begin{array}{rll} E:& 0 \cdot x_1 + 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 = d \\ \Leftrightarrow& 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 = d \end{array}$

Die Konstante $d$ bestimmst du hier nun, indem du beispielsweise die Koordinaten von $B$ mit $B(5 \mid 5\mid 0)$ für $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ einsetzt und die Gleichung nach $d$ löst:

$\begin{array}{rll} 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3&=&d&\scriptsize\text{mit}\quad B(5 \mid 5\mid 0)\\ 12 \cdot 5 + 5 \cdot 0&=&d\\ 60&=&d\\ \end{array}$

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ lautet also:

$E:\quad 12 \cdot x_2 + 5 \cdot x_3 = 60$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen den Flächen $\boldsymbol{BCS}$ und $\boldsymbol{ABCD}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$ mit:

$\alpha$ : Winkel zwischen den Ebenen
$\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ : Normalenvektoren der Ebenen

1. Schritt: Bestimmen des gesuchten Normalenvektors

$A(5 \mid -5 \mid 0)$
$B(5 \mid 5 \mid 0)$
$C( -5 \mid 5 \mid 0)$
$D(-5 \mid -5\mid 0)$

$\overrightarrow{n_{ABCD}} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$

Den Winkel $\alpha$ bestimmst du nun, in dem du $\overrightarrow{n_{E}}$ und $\overrightarrow{n_{ABCD}}$ in den oben gezeigten Zusammenhang einsetzt und wie folgt berechnest:

$\scriptsize\begin{array}{rll} \cos{\alpha}&=&\dfrac{5}{13}&\scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}(\frac{5}{13})\;=\;67,38\,\text{°} \end{array}$

Der Winkel zwischen der Seitenfläche $BCS$ und der Grundfläche $ABCD$ beträgt also 67,38°.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $\boldsymbol{BCS}$

Zuletzt sollst den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $BCS$ berechnen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich dabei über folgenden Zusammenhang:

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ mit:

$g$ : Grundseite
$h$ : Höhe des Dreiecks

Fertige dir eine Skizze des Dreiecks $\boldsymbol{BCS}$ an, um dir das Lösen dieser Aufgabe einfacher zu gestalten:

Gehe beim Berechnen des Flächeninhalts $A$ also so vor:

Bestimme die Höhe $\boldsymbol{h_P}$ der Pyramide
Bestimme die Grundseitenlänge $\boldsymbol{a}$
Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{SL}}$
Berechne den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$

1. Schritt: Bestimmen von $\boldsymbol{h_P}$ und $\boldsymbol{a}$

Die Höhe der Pyramide $ABCDS$ ergibt sich aus der $x_3$ -Koordinaten der Spitze $S$ der Pyramide:

$S(0 \mid 0 \mid 12)\quad \Longrightarrow h_P = 12\,\text{LE}$

Die Grundseiten Länge entspricht beispielsweise der Länge des Vektors $\overrightarrow{BC}$ , da dieser Vektor eine der Quadratseiten des Quadrates $ABCD$ beschreibt:

$\begin{array}{rll} a &=& |\overrightarrow{BC}| = \left|\begin{pmatrix}-10\\0\\0\end{pmatrix}\right| \\ &=& \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + 0^2} \\ &=& 10\,\text{LE} \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen der Länge der Strecke $\boldsymbol{SL}$

Setzt du nun $h = \overline{SL} = 13\,\text{LE}$ sowie $\overline{BC} = 10\,\text{LE}$ in die oben gezeigte Formel für den Flächeninhalt des Dreicks $BCS$ ein, so ergibt sich dieser wie folgt:

$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = \frac{1}{2} \cdot 130 = 65\,\text{FE}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $BCS$ ist 65\,\text{FE}.

b) $\blacktriangleright$ Berechnen des Quadervolumens

$V = l \cdot b \cdot h$ mit:

$l$ : Länge des Quaders
$b$ : Breite des Quaders
$h$ : Höhe des Quaders

1. Schritt: Berechnen der Quaderhöhe

Da der Punkt $R$ senkrecht oberhalb des Punkte $Q$ liegt, weißt du, dass für dessen Koordinaten folgendes gelten muss: $R(2,5\mid 2,5\mid z)$ .

Setzt du nun den Ortsvektor $\overrightarrow{OR}$ von $R$ mit der Geradengleichung von $g$ gleich, so kannst du wie folgt die vollständigen Koordinaten von $R$ bestimmen:

Übertrage diese Gleichung wie folgt in ein Gleichungssystem, um die vollständigen Koordinaten von $R$ zu bestimmen:

Gleichungssystem anzeigen

2. Schritt: Berechnen der Länge und der Breite des Quaders

$l = 5\,\text{LE}$ .

Gleiches gilt für die Breite des Quaders:

$b = 5\,\text{LE}$ .

Überträgst du nun den Quader in die Skizze von oben, so sollte dieser so aussehen:

3. Schritt: Berechnen des Quadervolumens $\boldsymbol{V}$

Das Quadervolumen $V$ ergibt sich nun über den obigen Ansatz wie folgt:

$V = l \cdot b \cdot h = 5 \cdot 5 \cdot 6 = 150 VE$ .

Der Quader besitzt ein Volumen von 150 VE.

$\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten des Eckpunktes

1. Schritt: Bestimmen der allgemeinen Koordinaten von $\boldsymbol{R_t}$

Die allgemeinen Koordinaten von $R_t$ ergeben sich wie folgt aus der Gleichung von Gerade $g$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR_t} &=& \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-5 \\ -5 \\ 12\end{pmatrix}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 - 5 \cdot t \\ 5 - 5 \cdot t \\ 12 \cdot t\end{pmatrix}& \\[5pt] \end{array}$

$\;\Longrightarrow\;R_t(5 - 5 \cdot t \mid 5 -5 \cdot t \mid 12 \cdot t)$

2. Schritt: Bestimmen der gesuchten Koordinaten von $\boldsymbol{R_t}$

Wie oben erwähnt, handelt es sich dann um einen Würfel, wenn die $x_3$ -Koordinate von $R_t$ dem Doppelten der $x_1$ - und der $x_2$ -Koordinaten dieses Punktes entspricht. Berechne mit $x_1=x_2$ die gesuchten Koordinaten von $R_t$ über folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot x_1&=& x_3& \\[5pt] 2 \cdot (5 - 5 \cdot t)&=& 12 \cdot t& \\[5pt] 10 - 10 \cdot t&=& 12 \cdot t&\quad \scriptsize \mid\;+10 \cdot t \\[5pt] 10&=& 22t&\quad \scriptsize \mid\; :22 \\[5pt] \frac{5}{11}&=& t&\\[5pt] \end{array}$

Für $t$ muss also $t = \frac{5}{11}$ gelten. Für die gesuchten Koordinaten gilt also:

Koordinaten anzeigen

Die gesuchten Koordinaten des Eckpunktes auf der Kante $\overline{BS}$ sind also $R_{\frac{5}{11}}( \frac{30}{11} \mid\frac{30}{11} \mid \frac{60}{11})$ .

Aufgabe 1.2

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass mind. 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird

$P(X \geq 12)$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 12)&=& 1 - P(X \lt 12)& \\[5pt] &=& 1 - P(X \leq 11) \end{array}$

Insgesamt befinden sich 10 Kugel im Gefäß, weswegen die Wahrscheinlichkeit $p$ eine schwarze Kugel zu ziehen, die folgende ist:

$p = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 0,6$

Bildschirmansicht einer binomialen Berechnung mit Daten und Ergebnissen.

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 12 schwarze Kugeln aus Gefäß $G1$ zu ziehen beträgt also etwa 59,6 %.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass 2 schwarze Kugeln hintereinander gezogen werden

$p_s = \dfrac{3}{10} = 0,3$

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& p_s \cdot p_s \cdot p_w \cdot ... \cdot p_w& \\[5pt] &=& p_s^2 \cdot p_w^6& \\[5pt] &=& 0,3^2 \cdot 0,7^6 \end{array}$

Multiplizierst du dieses Ergebnis nun noch mit 7 so hast du die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ dafür berechnet, genau 2 schwarze Kugeln hintereinander aus dem Gefäß zu ziehen:

$P(B) = 7 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^6 = 0,0741$

Die Wahrscheinlichkeit genau zwei schwarze Kugeln hintereinander aus dem Gefäß zu ziehen beträgt also 0,0741 bzw. 7,41%.

b) $\blacktriangleright$ Berechnen der Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel

Es werden 2 schwarze Kugeln in $G2$ gelegt;
es wird eine schwarze Kugel in $G2$ gelegt und
es wird keine schwarze Kugel in $G2$ gelegt.

Die Anzahl der schwarzen Kugeln hat sich um 2 erhöht;
die Anzahl der schwarzen Kugeln hat sich um 1 erhöht und
die Anzahl der schwarzen Kugeln hat sich nicht erhöht.

1. Schritt: Wahrscheinlichkeiten, für die drei Fälle

$P(\text{2 schwarze Kugeln}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$

$P(\text{1 schwarze Kugeln})=\frac{8}{15}$

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{keine schwarze Kugeln})&=& \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}& \\[5pt] &=&\frac{2}{15} \end{array}$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel

$P(\text{Fall 1}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{36}$

Fall 2: Eine schwarze Kugel
Wurde 1 schwarze Kugel ins Gefäß gelegt, so befinden sich nun insgesamt 4 schwarze Kugeln in diesem Gefäß.

$P(\text{Fall 2}) = \frac{8}{15} \cdot \frac{4}{12} = \frac{32}{180} = \frac{8}{45}$

Fall 3: Keine schwarze Kugel
Wurde keine schwarze Kugel ins Gefäß gelegt, so befinden sich nun insgesamt 3 schwarze Kugeln in diesem Gefäß.

$P(\text{Fall 3}) = \frac{2}{15} \cdot \frac{3}{12} = \frac{6}{180} = \frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit nun eine schwarze Kugel aus dem Gefäß $G2$ zu ziehen ergibt sich über die Pfadaddition. Bilde also die Summe der berechneten Wahrscheinlichkeiten:

Rechenweg anzeigen

$P(\text{schwarze Kugel}) = 0,35$

Die Wahrscheinlichkeit, unter den neuen Umständen, eine schwarze Kugel aus Gefäß $G2$ zu ziehen liegt also bei $\frac{7}{20}$ bzw. 35 %.