Wahlteil B1

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $A(0\mid 0 \mid 0)$ und $G (5\mid 5\mid 5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem.
Die Ebene $T$ schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten $K(5\mid 0 \mid 1)$ , $L(2\mid 5 \mid 0)$ , $M (0\mid 5 \mid 2)$ und $N (1 \mid 0 \mid 5)$ .

3D-Grafik eines Würfels mit Achsenbeschriftungen x1, x2 und x3 sowie Markierungen innerhalb des Würfels.

Zeichne das Viereck $KLMN$ in die Abbildung ein.
Zeige, dass das Viereck $KLMN$ ein Trapez ist und zwei gleich lange Seiten hat.
Ermittle eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform.
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $T$ mit der $x_1$ -Achse an.
[Teilergebnis: $T:5x_1+4x_2+5x_3=30$ ]

(5 VP)

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche $KLMN$ liegt auf der Strecke $FG$ . Untersuche, ob die Höhe dieser Pyramide $\frac{18}{\sqrt{66}}$ betragen kann.

(2 VP)

Betrachtet wird die Schar der Geraden

$g_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2,5\\0\\3,5}+r\cdot \pmatrix{0\\-10a\\\frac{2}{a}}$ mit $a\gt0$ .

Begründe, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung $x_3=3,5$ liegt.
Gegeben ist die Ebene $U:-5x_1+4x_2+5x_3=5$ .
Untersuche, ob die Schnittgerade von $T$ und $U$ zur betrachteten Schar gehört.

(3 VP)

Viereck einzeichnen

Grafische Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit einem Würfel und grünen Linien.

Trapezform mit zwei gleich langen Seiten zeigen

Der Abbildung kann entnommen werden, dass die beiden parallelen Seiten des Trapezes vermutlich die beiden Seiten $[NK]$ und $[ML]$ sind. Für die zugehörigen Verbindungsvektoren folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{NK} &=& \pmatrix{4\\0\\-4} \\[5pt] \overrightarrow{ML} &=& \pmatrix{2\\0\\-2} \end{array}$

Es gilt $\overrightarrow{NK} = 2\cdot \overrightarrow{ML}.$ Die beiden Vektoren $\overrightarrow{NK}$ und $\overrightarrow{ML}$ sind also linear abhängig und damit parallel zueinander. Daher sind auch die zugehörigen Vierecksseiten $[NK]$ und $[ML]$ parallel zueinander. Es handelt sich bei dem Viereck $KLMN$ daher um ein Trapez.

Gefordert ist nun noch zu zeigen, dass die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Die Länge der Seiten $[NM]$ und $[KL]$ kannst du mithilfe des Vektorbetrags berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{NM}&=& \left|\overrightarrow{NM} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-1\\5\\-3} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-3)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{35} \\[10pt] \overline{KL}&=& \left|\overrightarrow{KL} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-3\\5\\-1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-1)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{35} \\[10pt] \end{array}$

Es ist also $\overline{NM} = \overline{KL}.$ Die beiden gegenüberliegenden Seiten $[NM]$ und $[KL]$ sind also gleich lang. Das Viereck $KLMN$ ist also ein Trapez, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln

Ein Normalenvektor von $T$ kann über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren beispielsweise der drei Punkte $K,$ $L$ und $M$ bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{KL}\times \overrightarrow{KM} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\5\\-1}\times \pmatrix{-5\\5\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 5\cdot 1 - (-1)\cdot 5 \\ (-1)\cdot (-5) - (-3) \cdot 1 \\ (-3)\cdot 5 - 5\cdot (-5) } \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 8 \\ 10 } \\[5pt] &=& 2\cdot \pmatrix{5\\4\\5} \\[5pt] \end{array}$

Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte (z.B. $N(1\mid 0\mid 5)$ ) folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot x_1 +4\cdot x_2 +5\cdot x_3 &=& d \\[5pt] 5\cdot 1 +4\cdot 0 +5 \cdot 5 &=& d \\[5pt] 30&=& d \end{array}$

Eine Gleichung von $T$ in Koordinatenform lautet:

$T: 5x_1 + 4x_2+5x_3=30$

Koordinaten des Schnittpunkts angeben

Für die Punkte auf der $x_1$ -Achse gilt $x_2=x_3=0.$

$\begin{array}[t]{rll} 5x_1+4x_2+5x_3 &=& 30 \\[5pt] 5x_1 +4\cdot 0 +5\cdot 0 &=& 30 \\[5pt] 5x_1 &=& 30 \\[5pt] x_1 &=& 6 \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $T$ mit der $x_1$ -Achse lauten $S_1(6\mid 0\mid 0).$

Mögliche Höhe der Pyramide untersuchen

Die Grundfläche $KLMN$ der Pyramide liegt vollständig in der Ebene $T.$ Die Höhe der Pyramide entspricht daher dem Abstand der Spitze zur Ebene $T.$
Die Spitze liegt auf der Strecke $\overline{FG}.$ Diese ist Teil der Geraden durch die beiden Punkte $F$ und $G.$ Die Koordinaten von $F$ kannst du anhand der Koordinaten von $A$ und $G$ zu $F(5\mid 0\mid 5)$ bestimmen. Die Gerade durch $F$ und $G$ kann daher durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} FG:\overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\0\\5} + t\cdot \pmatrix{0\\5\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\5t\\5} \\[5pt] \end{array}$

Überprüfe, ob es einen Punkt auf dieser Gerade gibt, der zur Ebene $T$ den Abstand $\frac{18}{\sqrt{66}}$ hat und ob dieser auf der Kante $\overline{FG}$ liegt.

1. Schritt: Punkt mit dem Abstand berechnen

Den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform darstellen. Für die Hessesche Normalenform von $T$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} & \dfrac{5x_1+4x_2+5x_3-30 }{ \left|\pmatrix{5\\4\\5} \right| } &=& 0 \\[5pt] & \dfrac{5x_1+4x_2+5x_3-30 }{ \sqrt{5^2 +4^2 +5^2}} &=& 0 \\[5pt] & \dfrac{5x_1+4x_2+5x_3-30 }{ \sqrt{66}} &=& 0 \end{array}$

Der Abstand eines Punkts $P(x_1\mid x_2\mid x_3)$ zu $T$ beträgt also:

$d(P,T) = \frac{\left|5x_1+4x_2+5x_3 -30\right|}{ \sqrt{66}}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte von $FG$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|5x_1+4x_2+5x_3 -30 \right| }{ \sqrt{66}} &=& \dfrac{18}{\sqrt{66}} \\[5pt] \dfrac{\left|5\cdot 5 +4\cdot 5t +5\cdot 5 -30 \right| }{ \sqrt{66}} &=&\dfrac{18}{\sqrt{66}} \\[5pt] \dfrac{\left|20+20t \right| }{ \sqrt{66}} &=& \dfrac{18}{\sqrt{66}} \\[5pt] \left|20+20t \right| &=& 18 \end{array}$

Aufgrund des Betrags kann nun $20+20t=18$ und $20+20t = -18$ möglich sein:

$\begin{array}[t]{rll} 20 + 20t_1 &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] 20t_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] t_1 &=& -0,1 \\[5pt] 20 + 20t_2 &=& -18 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] 20t_2 &=& -38 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] t_2 &=& -1,9 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Lage auf der Kante überprüfen

Die Punkte auf der Geraden durch $F$ und $G$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG}$ liegen für $0\leq t \leq 1$ zwischen den Punkten $F$ und $G,$ also auf der Strecke $\overline{FG}.$ Für andere Werte von $t$ liegen die Punkte nicht auf der Strecke $\overline{FG}.$ Beide Werte von $t,$ die oben berechnet wurden, sind negativ. Die zugehörigen Punkte mit dem Abstand $\frac{18}{\sqrt{66}}$ zu $T$ liegen nicht auf der Strecke $\overline{FG}.$
Die Pyramide kann also nicht die Höhe $\frac{18}{\sqrt{66}}$ besitzen.

Lage der Geraden begründen

Damit eine Gerade in der Ebene mit der Gleichung $x_3=3,5$ liegt, muss die $x_3$ -Koordinate jedes Punktes auf dieser Geraden $3,5$ sein. Dazu muss die $x_3$ -Koordinate des Richtungsvektors Null sein.

Bei der Geradenschar $g_a$ ist die $x_3$ -Koordinate des Richtungsvektors $\frac{2}{a}.$ Diese kann also in keinem Fall Null werden. Daher liegt keine der Geraden $g_a$ in der Ebene mit der Gleichung $x_3=3,5.$

Zugehörigkeit zur Schar überprüfen

Damit die Schnittgerade von $T$ und $U$ zur Schar $g_a$ gehört, muss es einen Wert von $a$ geben, für den $g_a$ in $T$ und in $U$ liegt.
Überprüfe also zunächst, ob der Stützpunkt von $g_a$ in $T$ und in $U$ liegt:

$\begin{array}[t]{rll} 5x_1 +4x_2 +5x_3 &=& 30 \\[5pt] 5\cdot 2,5 + 4\cdot 0 +5\cdot 3,5 &=& 30 \\[5pt] 30 &=& 30 \end{array}$

Der Stützpunkt $(2,5\mid 0\mid 3,5)$ von $g_a$ liegt also in der Ebene $T.$

$\begin{array}[t]{rll} U:\, -5x_1 +4x_2 +5x_3 &=& 5 \\[5pt] -5\cdot 2,5 + 4\cdot 0 +5\cdot 3,5 &=& 5 \\[5pt] 5 &=& 5 \end{array}$

Der Stützpunkt $(2,5\mid 0\mid 3,5)$ von $g_a$ liegt also ebenfalls in der Ebene $U.$

Damit eine Gerade $g_a$ in der Ebene $T$ bzw. $U$ liegt, muss sie zusätzlich parallel zu diesen Ebenen verlaufen. Dazu muss ihr Richtungsvektor senkrecht zu den Normalenvektoren von $T$ und $U$ verlaufen. Überprüfe also das Skalarprodukt:

Ebene $T:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r}_{g_a}\circ \overrightarrow{n}_T &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{0\\-10a \\\frac{2}{a}} \circ \pmatrix{5\\4\\5} &=& 0 \\[5pt] 0\cdot 5 -10a\cdot 4 +\frac{2}{a}\cdot 5 &=& 0 \\[5pt] -40a +\frac{10}{a} &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -40a^2 +10 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] 10 &=& 40a^2 \quad \scriptsize \mid\;:40 \\[5pt] 0,25 &=& a^2 \\[5pt] a^2 &=& 0,25 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: $a_1 = 0,5$ und $a_2 = -0,5$

Ebene $U:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r}_{g_a}\circ \overrightarrow{n}_U &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{0\\-10a \\\frac{2}{a}} \circ \pmatrix{-5\\4\\5} &=& 0 \\[5pt] 0\cdot (-5) -10a\cdot 4 +\frac{2}{a}\cdot 5 &=& 0 \\[5pt] -40a +\frac{10}{a} &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -40a^2 +10 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\;+40a^2 \\[5pt] 10 &=& 40a^2 \quad \scriptsize \mid\;:40 \\[5pt] 0,25 &=& a^2\\[5pt] a^2 &=& 0,25 \\[5pt] a_1 &=& 0,5 \\[5pt] a_2 &=& -0,5 \\[5pt] \end{array}$

Da $a\gt 0$ vorgegeben ist, bleibt nur $a_1 = 0,5$ als mögliche Lösung.

Die Gerade $g_a$ mit $a=0,5$ liegt also in $T$ und in $U.$ Sie beschreibt damit die Schnittgerade dieser beiden Ebenen. Die Schnittgerade von $T$ und $U$ ist also Teil der Geradenschar $g_a.$