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Wahlteil B1

Ein Künstler teilt einen quaderförmigen Container durch einen ebenen Schnitt in einen großen und einen kleinen Teilkörper. Der Container wird in einem Koordinatensystem als Quader mit den Eckpunkten $A(2 \mid 0 \mid 3)$ , $B(2 \mid 10 \mid 3)$ , $C(0 \mid 10 \mid 3)$ , $D$ , $F$ , $G(2 \mid 10 \mid 0)$ , $H$ und $O(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt (Koordinatenangaben in Meter).

3D-Darstellung eines Quaders mit benannten Punkten und Koordinatensystem.

Abb. 1: Quader

Die Ebene $E$ schneidet die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$ , $S(2 \mid 10 \mid 2)$ , $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ . Der kleine Teilkörper hat also die Eckpunkte $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $B$ , $C$ .

a)

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ .
Begründe, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$ .
(Teilergebnis: $E:-x_1+2x_2+2x_3=22$ )

(6 P)

b)

Der kleine Teilkörper wird mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt.
Bestimme die Höhe des zusammengesetzten Körpers.

(1,5 P)

c)

Der Container besitzt eine Tür, die im geschlossenen Zustand durch das Viereck $ODAF$ dargestellt wird. Die Tür ist drehbar um die Kante, die durch die Strecke $OD$ beschreiben wird.
Jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0; a\geq 0$ beschreibt eine mögliche Stellung dieser Tür.
Bestimme den Wert für $a$ , für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt.

(2,5 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

© 2017 - SchulLV.

a)

$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinatengleichung der Ebene $E$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Ebene $E$ die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$ , $S(2 \mid 10 \mid 2)$ , $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ schneidet. Somit hast du gegeben, dass diese Punkte auf der Ebenen $E$ liegen.

Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:

$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$

Aus den vier gegebenen Punkten kannst du nun die Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ bestimmen. Für jeden Punkt kannst du die Koordinaten in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen und anschließend das Gleichungssystem nach den Parametern auflösen.

Mit den gegebenen Punkten folgt durch Einsetzen folgendes Gleichungssystem:

$\text{I}: a \cdot \dotsc$

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$c$ kannst du nun in $\text{IV}$ einsetzen:

$b=\frac{1}{11}d$

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Das lässt sich wiederum in $c$ einsetzen:

$c= \frac{1}{11}d$

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$b$ und $c$ lassen sich nun in $\text{I}$ einsetzen:

$a= -\frac{1}{22}d$

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Einsetzen in $\text{II}$ liefert:

$d=d$

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Alle Variablen hängen also weiterhin von $d$ ab. Da hierbei gefordert ist, dass du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ angeben sollst kannst du $d$ beliebig wählen. Mit $d=22$ folgen für die Parameter die folgenden Werte:

$a=-1$ , $b=2$ , $c=2$ und $d=22$

Somit folgt für die Ebenengleichung in Koordinatenform die Gleichung $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$ .

$\blacktriangleright$ Trapez begründen

Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt. Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, falls zwei Seiten des Vierecks parallel zueinander liegen.

Zwei Seiten liegen hierbei parallel zueinander, falls die Verbindungsvektoren der Seiten linear abhängig voneinander sind. Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind linear abhängig, falls es ein $k \in \mathbb{R}$ gibt, sodass die folgende Gleichung gilt:

$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$

Bestimme somit die Verbindungsvektoren der Seiten und prüfe sie anschließend auf lineare Abhängigkeit.

An der dargestellten Skizze kannst du erahnen, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander stehen könnten. Somit kannst du mit deiner Überprüfung bei diesen zwei Seiten beginnen.

Für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{RS}$ gilt mit den Ortsvektoren der Punkte $R(2 \mid 9 \mid 3)$ und $S(2 \mid 10 \mid 2)$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=&\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR}\\[5pt] &=&\pmatrix{2\\10 \\2}-\pmatrix{2\\9 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\1 \\-1} \end{array}$

Entsprechend gilt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}$ mit den Ortsvektoren der Punkte $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und $T(0 \mid 10 \mid 1)$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QT}&=&\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OQ}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\10 \\1}-\pmatrix{0\\8 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2 \\-2} \end{array}$

Daraus folgt die folgende Gleichung zur Betrachtung der linearen Abhängigkeit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=& k \cdot \overrightarrow{QT}\\[5pt] \pmatrix{0\\1 \\-1}&=& k \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}\\[5pt] \end{array}$

Somit folgt, dass für $k=2$ die Gleichung erfüllt ist und somit die Verbindungsvektoren linear abhängig sind. Damit hast du gezeigt, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander sind.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Du sollst den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$ bestimmen. Die allgemeine Gleichung für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$

Hierbei geben $a$ und $c$ die Längen der Seiten an, welche parallel zueinander stehen und $h$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf den Seiten steht. Die zugehörigen Vektoren der beiden parallelen Seiten hast du bereits in der vorherigen Teilaufgabe bestimmt. Dazu musst du noch die entsprechende Länge des Vektors bestimmen. Außerdem benötigst du noch die Höhe, welche senkrecht auf den parallelen Seiten steht.

Die Länge der Höhe des Trapezes kannst du durch den Abstand des Punktes $R$ zur Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft bestimmen.

Bestimme somit die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft in Koordinatenform und bestimme die Koordinaten eines Punktes $M$ , welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters.

Du weißt, dass der Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ senkrecht zur Seite $\overrightarrow{QT}$ verlaufen muss. Somit kannst du durch die Bedingung des Skalarprodukts $\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}=0$ den Wert des Parameters und dadurch die Koordinaten des Punktes $M$ bestimmen und die Länge der Höhe durch die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MR}$ bestimmen.

In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ bestimmt. Somit folgt mit dem Ortsvektor des Punktes $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und mit dem Parameter $t$ die folgende Geradengleichung in Koordinatenform:

$\overrightarrow{x}= \dotsc$

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Somit gelten für einen allgemeinen Punkt $M$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ die Koordinaten $M(0 \mid 8 +2t \mid 3 - 2t)$ . Damit folgt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ mit dem Punkt $R(2 \mid 9 \mid 3)$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OM} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\9 \\3} - \pmatrix{0\\ 8+2t \\3-2t}\\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2t \\2t}\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Skalarprodukt folgt entsprechend:

$t=\dfrac{1}{4}$

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Dadurch folgt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{MR}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\pmatrix{2\\1-2t \\2t} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2 \cdot \dfrac{1}{4} \\2 \cdot \dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=& \pmatrix{2 \\\dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{2}}\\[5pt] \end{array}$

Hierbei gilt $\overrightarrow{RS}=\pmatrix{0\\1 \\-1}$ , $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ und $\overrightarrow{MR}=\pmatrix{2 \\ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}}$ .

Mit dem Vektorbetrag folgt folgende Lösung für den Flächeninhalt des Trapezes:

$A=\dfrac{9}{2}$

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Somit beträgt der Flächeninhalt des Trapezes $\dfrac{9}{2} \, \text{m}^2$ .

b)

$\blacktriangleright$ Höhe bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe des zusammengesetzten Körpers bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird.

Da die Schnittkanten in der Ebene $E$ liegen, kannst du die Höhe des kleinen Teilkörpers bestimmen, indem du den Abstand der Ebene $E$ zu dem Punkt $C$ bestimmst. Anschließend musst du noch die Höhe des großen Teilkörpers zu der Höhe des kleinen Teilkörpers addieren, umso die gesamte Höhe des zusammengesetzten Teilkörpers zu bestimmen.

Eine Ebene mit der Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ besitzt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ . Für den Abstand $d$ einer Ebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ und Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ zu einem Punkt $P(x \mid y \mid z)$ gilt die folgende Formel:

$d=\dotsc$

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In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinatengleichung der Ebene $E$ mit $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$ bestimmt. Somit gilt für den Normalenvektor der Ebene $E$ $\overrightarrow{n}=\pmatrix{-1\\2 \\2}.$

Außerdem gilt $C(0 \mid 10 \mid 3)$ . Daraus folgt für den Abstand der Ebene $E$ zum Punkt $C$ mit der Norm deines GTR:

$d=\dfrac{4}{3}$

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An der $x_3$ -Koordinate der gegebenen Punkte $A$ , $B$ und $C$ kannst du erkennen, dass die Höhe des großen Teilkörpers $3$ Meter beträgt. Somit gilt für die Höhe des zusammengesetzten Körpers $h_{ges}$ :

$\begin{array}[t]{rll} h_{ges}&=& 3 \text{ m} +\dfrac{4}{3} \text{ m} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{3} \text{ m} \\[5pt] &\approx& 4,33 \text{ m} \\[5pt] \end{array}$

Damit beträgt die Höhe des zusammengesetzten Körpers etwa $4,33 \text{ m}$ .

c)

$\blacktriangleright$ Wert bestimmen

Du sollst den Wert für $a$ bestimmen, für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt. Du hast hierfür gegeben, dass jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0 ;a\geq 0$ eine mögliche Stellung dieser Tür beschreibt. Die Tür ist hierbei drehbar um die Kante, welche durch die Strecke $OD$ beschrieben wird. Im geschlossenen Zustand wird die Tür durch das Viereck $ODAF$ dargestellt.

Hierbei liegt das Viereck $ODAF$ in der $x_1x_3$ -Ebene. Somit weißt du, dass der Winkel, welcher die Ebene $T_a$ und die $x_1x_3$ -Ebene einschließt, gleich $30^°$ sein soll.

Für zwei Ebenen in Koordinatengleichung mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt für den Winkel $\alpha$ , welche die beiden Ebenen einschließen:

$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$

Der Normalenvektor für die Ebene $T_a$ lautet $\overrightarrow{n_1}=\pmatrix{a\\1\\0}$ . Die Koordinatengleichung der $x_1x_3$ -Ebene lautet $x_2=0$ , da alle Punkte, welche in der $x_1x_3$ -Ebene liegen als $x_2$ -Koordinate den Wert $0$ besitzen. Somit lautet ein Normalenvektor der $x_1x_3$ -Ebene $\overrightarrow{n_2}=\pmatrix{0\\1 \\0}$ .

Damit folgt:

$a\approx\pm 0,58$

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In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass $a \geq 0$ gelten soll. Somit ist die gesuchte Lösung $a\approx 0,58.$

a)

$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinatengleichung der Ebene $E$ bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass die Ebene $E$ die Kanten des Quaders in den Punkten $R(2 \mid 9 \mid 3)$ , $S(2 \mid 10 \mid 2)$ , $T(0 \mid 10 \mid 1)$ und $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ schneidet. Somit hast du gegeben, dass diese Punkte auf der Ebenen $E$ liegen.

Die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet:

$E: ax_1+bx_2+cx_3=d$

Aus den vier gegebenen Punkten kannst du nun die Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ bestimmen. Für jeden Punkt kannst du die Koordinaten in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen und anschließend das Gleichungssystem nach den Parametern auflösen.

Mit den gegebenen Punkten folgt durch Einsetzen folgendes Gleichungssystem:

$\text{I}: a \cdot \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Du kannst das Gleichungssystem mit deinem GTR lösen. Gehe dazu in das Menü Gleichungen.

Den Befehl für das Lösen eines Gleichungssystems mit $4$ Unbekannten findest du unter:

F1: Lin Gleichungssyst $\to$ F3: $4$

Achte darauf, dass du die Gleichungen in der entsprechenden Form angibst. Damit folgt folgende Lösung für das Gleichungssystem in Abhängigkeit einer Variablen $T$ :

$a=\dfrac{-T}{22}$ , $b=\dfrac{T}{11}$ , $c=\dfrac{T}{11}$ und $d=T$

Mathematische Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen und Variablen X und Y auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 1: Gleichungssystem lösen

Da hierbei gefordert ist, dass du eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ angeben sollst kannst du $T$ beliebig wählen. Mit $T=22$ folgen für die Parameter die folgenden Werte:

$a=-1$ , $b=2$ , $c=2$ und $d=22$

Somit folgt für die Ebenengleichung in Koordinatenform die Gleichung $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$ .

$\blacktriangleright$ Trapez begründen

Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $QRST$ um ein Trapez handelt. Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, falls zwei Seiten des Vierecks parallel zueinander liegen.

Zwei Seiten liegen hierbei parallel zueinander, falls die Verbindungsvektoren der Seiten linear abhängig voneinander sind. Zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind linear abhängig, falls es ein $k \in \mathbb{R}$ gibt, sodass die folgende Gleichung gilt:

$\overrightarrow{u}= k \cdot \overrightarrow{v}$

Bestimme somit die Verbindungsvektoren der Seiten und prüfe sie anschließend auf lineare Abhängigkeit.

An der dargestellten Skizze kannst du erahnen, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander stehen könnten. Somit kannst du mit deiner Überprüfung bei diesen zwei Seiten beginnen.

Für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{RS}$ gilt mit den Ortsvektoren der Punkte $R(2 \mid 9 \mid 3)$ und $S(2 \mid 10 \mid 2)$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=&\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR}\\[5pt] &=&\pmatrix{2\\10 \\2}-\pmatrix{2\\9 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\1 \\-1} \end{array}$

Entsprechend gilt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}$ mit den Ortsvektoren der Punkte $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und $T(0 \mid 10 \mid 1)$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QT}&=&\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OQ}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\10 \\1}-\pmatrix{0\\8 \\3}\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2 \\-2} \end{array}$

Daraus folgt die folgende Gleichung zur Betrachtung der linearen Abhängigkeit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RS}&=& k \cdot \overrightarrow{QT}\\[5pt] \pmatrix{0\\1 \\-1}&=& k \cdot \pmatrix{0\\2 \\-2}\\[5pt] \end{array}$

Somit folgt, dass für $k=2$ die Gleichung erfüllt ist und somit die Verbindungsvektoren linear abhängig sind. Damit hast du gezeigt, dass die Seiten $\overrightarrow{RS}$ und $\overrightarrow{QT}$ parallel zueinander sind.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Du sollst den Flächeninhalt des Trapezes $QRST$ bestimmen. Die allgemeine Gleichung für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

$A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c)\cdot h$

Hierbei geben $a$ und $c$ die Längen der Seiten an, welche parallel zueinander stehen und $h$ die Länge der Höhe, welche senkrecht auf den Seiten steht. Die zugehörigen Vektoren der beiden parallelen Seiten hast du bereits in der vorherigen Teilaufgabe bestimmt. Dazu musst du noch die entsprechende Länge des Vektors bestimmen. Außerdem benötigst du noch die Höhe, welche senkrecht auf den parallelen Seiten steht.

Die Länge der Höhe des Trapezes kannst du durch den Abstand des Punktes $R$ zur Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft bestimmen.

Bestimme somit die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $Q$ und $T$ verläuft in Koordinatenform und bestimme die Koordinaten eines Punktes $M$ , welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters.

Du weißt, dass der Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ senkrecht zur Seite $\overrightarrow{QT}$ verlaufen muss. Somit kannst du durch die Bedingung des Skalarprodukts $\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{QT}=0$ den Wert des Parameters und dadurch die Koordinaten des Punktes $M$ bestimmen und die Länge der Höhe durch die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{MR}$ bestimmen.

In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits den Verbindungsvektor $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ bestimmt. Somit folgt mit dem Ortsvektor des Punktes $Q(0 \mid 8 \mid 3)$ und mit dem Parameter $t$ die folgende Geradengleichung in Koordinatenform:

$\overrightarrow{x}= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit gelten für einen allgemeinen Punkt $M$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ die Koordinaten $M(0 \mid 8 +2t \mid 3 - 2t)$ . Damit folgt für den Verbindungsvektor $\overrightarrow{MR}$ mit dem Punkt $R(2 \mid 9 \mid 3)$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OM} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\9 \\3} - \pmatrix{0\\ 8+2t \\3-2t}\\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2t \\2t}\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Skalarprodukt folgt entsprechend:

$t=\dfrac{1}{4}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Dadurch folgt für den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{MR}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MR}&=&\pmatrix{2\\1-2t \\2t} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1-2 \cdot \dfrac{1}{4} \\2 \cdot \dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=& \pmatrix{2 \\\dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{2}}\\[5pt] \end{array}$

Hierbei gilt $\overrightarrow{RS}=\pmatrix{0\\1 \\-1}$ , $\overrightarrow{QT}=\pmatrix{0\\2 \\-2}$ und $\overrightarrow{MR}=\pmatrix{2 \\ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}}$ .

Mit dem Befehl für die Norm deines GTR kannst du die Länge eines Vektors bestimmen. Die Norm wird hierbei durch Betragsstriche für den entsprechenden Vektor gekennzeichnet.

Den Befehl für die Norm findest du unter:

OPTN $\to$ F2: MAT/VCT $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F1: Norm $($

Damit folgt folgende Lösung für den Flächeninhalt des Trapezes:

$A=\dfrac{9}{2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Mathematische Berechnungen auf einem Grafikrechner mit Norm-Funktionen und Ergebnissen.

Abb. 2: Flächeninhalt berechnen

Somit beträgt der Flächeninhalt des Trapezes $\dfrac{9}{2} \, \text{m}^2$ .

b)

$\blacktriangleright$ Höhe bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Höhe des zusammengesetzten Körpers bestimmen. Hierzu hast du gegeben, dass der kleine Teilkörper mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt wird.

Da die Schnittkanten in der Ebene $E$ liegen, kannst du die Höhe des kleinen Teilkörpers bestimmen, indem du den Abstand der Ebene $E$ zu dem Punkt $C$ bestimmst. Anschließend musst du noch die Höhe des großen Teilkörpers zu der Höhe des kleinen Teilkörpers addieren, umso die gesamte Höhe des zusammengesetzten Teilkörpers zu bestimmen.

Eine Ebene mit der Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ besitzt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ . Für den Abstand $d$ einer Ebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2 \\n_3}$ und Koordinatengleichung $n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 +n_3 \cdot x_3=c$ zu einem Punkt $P(x \mid y \mid z)$ gilt die folgende Formel:

$d=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinatengleichung der Ebene $E$ mit $E: -x_1+2x_2+2x_3=22$ bestimmt. Somit gilt für den Normalenvektor der Ebene $E$ $\overrightarrow{n}=\pmatrix{-1\\2 \\2}.$

Außerdem gilt $C(0 \mid 10 \mid 3)$ . Daraus folgt für den Abstand der Ebene $E$ zum Punkt $C$ mit der Norm deines GTR:

$d=\dfrac{4}{3}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

An der $x_3$ -Koordinate der gegebenen Punkte $A$ , $B$ und $C$ kannst du erkennen, dass die Höhe des großen Teilkörpers $3$ Meter beträgt. Somit gilt für die Höhe des zusammengesetzten Körpers $h_{ges}$ :

$\begin{array}[t]{rll} h_{ges}&=& 3 \text{ m} +\dfrac{4}{3} \text{ m} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{3} \text{ m} \\[5pt] &\approx& 4,33 \text{ m} \\[5pt] \end{array}$

Damit beträgt die Höhe des zusammengesetzten Körpers etwa $4,33 \text{ m}$ .

c)

$\blacktriangleright$ Wert bestimmen

Du sollst den Wert für $a$ bestimmen, für den der Öffnungswinkel der Tür $30^°$ beträgt. Du hast hierfür gegeben, dass jede Ebene $T_a: ax_1+x_2=0 ;a\geq 0$ eine mögliche Stellung dieser Tür beschreibt. Die Tür ist hierbei drehbar um die Kante, welche durch die Strecke $OD$ beschrieben wird. Im geschlossenen Zustand wird die Tür durch das Viereck $ODAF$ dargestellt.

Hierbei liegt das Viereck $ODAF$ in der $x_1x_3$ -Ebene. Somit weißt du, dass der Winkel, welcher die Ebene $T_a$ und die $x_1x_3$ -Ebene einschließt, gleich $30^°$ sein soll.

Für zwei Ebenen in Koordinatengleichung mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt für den Winkel $\alpha$ , welche die beiden Ebenen einschließen:

$\cos \alpha= \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}$

Der Normalenvektor für die Ebene $T_a$ lautet $\overrightarrow{n_1}=\pmatrix{a\\1\\0}$ . Die Koordinatengleichung der $x_1x_3$ -Ebene lautet $x_2=0$ , da alle Punkte, welche in der $x_1x_3$ -Ebene liegen als $x_2$ -Koordinate den Wert $0$ besitzen. Somit lautet ein Normalenvektor der $x_1x_3$ -Ebene $\overrightarrow{n_2}=\pmatrix{0\\1 \\0}$ .

Damit folgt:

$\cos 30^°=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für diese Gleichung kannst du mit der Norm, dem Skalarprodukt und dem Solve-Befehl deines GTR den Wert für $a$ bestimmen.

Das Skalarprodukt deines GTR findest du unter:

OPTN $\to$ F2: MAT/VCT $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: DotP $($

Den Solve-Befehl deines GTR findest du unter:

OPTN $\to$ F4: CALC $\to$ F5: SolveN

Achte darauf, dass das Winkelmaß in deinem GTR auf Gradmaß eingestellt ist. Damit folgt für $a$ :

$a_1=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}$ und $a_2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Mathematische Berechnung auf einem Taschenrechner mit Trigonometrie und Normen.

Abb. 3: Gleichung lösen

In der Aufgabenstellung hast du hierfür gegeben, dass $a \geq 0$ gelten soll. Somit ist die gesuchte Lösung $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

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