Wahlteil A2

Aufgabe A 2.1

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(t)=\left(2t-t^2 \right)\cdot \mathrm e^{2-t}$ , die für $0\leq t\leq 10$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens in einem Becken beschreibt ( $t$ in Stunden nach Beobachtungsbeginn, $f(t)$ in Kubikmeter pro Stunde).

Gib die momentane Änderungsrate des Wasservolumens eine Stunde nach Beobachtungsbeginn an.

(0,5 VP)

Begründe, dass das Wasservolumen in den ersten beiden Stunden nach Beobachtungsbeginn niemals abnimmt.

(1,5 VP)

Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens besitzt ein Minimum.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem dieses Minimum angenommen wird.

(2,5 VP)

$\bigg($ Teilergebnis: $t_{\,\text{min}}=2+\sqrt{2}$ $\bigg)$

Die Funktion $F$ mit $F(t)=t^2\cdot \mathrm e^{2-t}$ ist eine Stammfunktion von $f$ . Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn enthält das Becken $6\,\text{m}^3$ Wasser.

Ermittle das Wasservolumen, das sich zu Beobachtungsbeginn im Becken befand.

(1,5 VP)

Es gibt einen 45-Minuten-Zeitraum, in welchem das Wasservolumen um genau einen Kubikmeter zunimmt. Gib eine Gleichung an, deren Lösung den Beginn dieses Zeitraums darstellt.

(1 VP)

Über eine Schaltuhr kann ein Zeitpunkt $t_0$ gewählt werden, so dass die momentane Änderungsrate des Wasservolumens nur bis $t_0$ durch die Funktion $f$ beschrieben wird und danach konstant auf dem Wert $f(t_0)$ bleibt. Zeige, dass $t_0$ nicht so gewählt werden kann, dass das Becken sieben Stunden nach Beobachtungsbeginn leer ist.

(2 VP)

Für ein anderes Becken beschreiben die Funktion $g$ die momentane Zuflussrate und die Funktion $h$ die momentane Abflusrate des Wassers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ ( $0\leq t\leq 17, t$ in Stunden nach Beobachtungsbeginn, $g(t)$ und $h(t)$ in Kubikmeter pro Stunde). Die Abbildung zeigt die Graphen der beiden Funktionen $g$ und $h.$

Graph Abi22 BaWü Wahlteil Analysis Aufgabe 2.1 Wassertank

Gib den Zeitraum an, in dem das Wasservolumen in diesem Becken abnimmt.

(0,5 VP)

Das abfließende Wasser wird in einem quaderförmigen Tank mit der Grundfläche $12\,\text{m}^2$ gesammelt. Dieser ist zu Beobachtungsbeginn leer. Untersuche, ob das Wasser im Tank höher als $5\,\text{m}$ steigt.

(2 VP)

Entscheide, ob das Becken zu Beobachtungsbeginn leer war, und begründe deine Entscheidung.

(1,5 VP)

Aufgabe A 2.2

Für jede reelle Zahl $a\neq 0$ ist eine Funktion $k_a$ gegeben durch $k_a(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a}{x^2}$ . $G_a$ ist der Graph von $k_a$ .

Gib Gleichungen der Asymptoten des Graphen $G_a$ an.

(1 VP)

Weise nach, dass für die Ableitung $\(k_a{$ von $k_a$ gilt: $\(k_a{$

(1,5 VP)

Zeige, dass jeder Graph $G_a$ genau einen Extrempunkt besitzt, und untersuche, für welche Werte
von $a$ ein Hochpunkt vorliegt.

(2,5 VP)

Jeder Graph $G_a$ besitzt einen Punkt $P_a$ mit der folgenden Eigenschaft: Die Tangente im Punkt $P_a$ an $G_a$ verläuft durch den Ursprung. Bestimme die $x$ -Koordinate von $P_a.$

(2 VP)

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Lösung A 2.1

Momentane Änderungsrate eine Stunde nach Beobachtungsbeginn:

$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&\left(2\cdot1-1^2\right)\cdot \mathrm e^{2-1} &\ \\[5pt] &=&1\cdot \mathrm e^1 &\ \\[5pt] &=&\mathrm e &\ \\[5pt] &\approx & 2,7 \end{array}$

Eine Stunde nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate also $2,7$ Kubikmeter pro Stunde.

Begründung

Bestimmen der Nullstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 0 & \\[5pt] \left(2t-t^2\right)\cdot \mathrm e^{2-t}&=&0 & \\[5pt] \end{array}$

Es gilt $\mathrm e^{2-t}\gt0$ und somit folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $2t-t^2=0.$ Daraus ergeben sich die Nullstellen $t_1=0$ ud $t_2=2.$

Der Abbildung wird entnommen, dass $f(t)\geq 0$ für $t_1\leq t \leq t_2,$ also nimmt das Wasservolumen in den ersten beiden Stunden nie ab.

Zeitpunkt des Minimums bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Es gilt stets $\mathrm e^{2-t}\gt 0.$ Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $2-4t+t^2=0.$

$pq$ -Formel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} t_{1;2}&=&-\dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-2}& \\[5pt] t_{1;2}&=&2 \pm \sqrt{2}& \\[5pt] t_1&=&2 + \sqrt{2}& \\[5pt] t_2&=&2 - \sqrt{2} \end{array}$

Mit der Abbildung ergibt sich, dass $t_1$ die Stelle ist, an der das Minimum angenommen wird. Auf die hinreichende Bedingung für Extremstellen kann somit verzichtet werden. Etwa 3,4 Stunden nach Beobachtungsbeginn nimmt die Änderungsrate des Wasservolumens ihr Minimum an.

Wasservolumen zu Beobachtungsbeginn

Rechenweg anzeigen

$V(0)=2 \;\text{[m]}^3$

Gleichung angeben

45 Minuten entsprechen 0,75 Stunden.

Als Zeitraum ergibt sich $[t;t+0,75]$

Rechenweg anzeigen

$F(t+0,75)=1+ F(t)$

Da sich das Becken leeren soll, muss $t_0>2$ gewählt werden, da nur in diesem Bereich die Änderungsrate negativ ist. Wenn das Becken 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn leer sein soll, kann höchstens 5 Stunden lang Wasser abfließen. Da sich bis zu $t=2$ genau $6\,\text{m}^3$ Wasser im Becken gesammelt haben, müsste das Wasser in diesen 5 Stunden mit einer konstanten Geschwindigkeit von $1,2 \dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}$ abfließen.

Maximale Abflussrate bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\mid f (t_{min})\mid \approx 1,17 \dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}$

Da die Abflussrate zu keinem Zeitpunkt $1,2 \dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}$ erreicht und $5\,\text{h}\cdot1,17\,\dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}\lt6\,\text{m}^3$ , fließen für kein $t_0$ innerhalb von $5$ Stunden $6\,\text{m}^3$ Wasser ab.

Zeitraum bestimmen

An den Schnittstellen der Graphen von $h$ und $g$ ist ablesbar, zu welchem Zeitpunkt sich Zufluss und Abfluss ausgleichen. Da zwischen $t=4$ und $t=11$ der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $g$ verläuft, nimmt in diesem Zeitraum das Wasservolumen ab.

Füllhöhe untersuchen

Da die Grundfläche des Tanks $12\,\text{m}^2$ groß ist, würde dieser bei einer Füllhöhe von $5\,\text{m}$ insgesamt $60\,\text{m}^3$ Wasser fassen.

Die Fläche unter dem Graph von $h$ gibt die Menge des abgeflossenen Wassers an, wobei ein Kästchen einem Kubikmeter entspricht. Durch Abzählen lässt sich feststellen, dass der Flächeninhalt $A$ kleiner als $60$ ist. Somit steigt das Wasser nicht bis zu einer Höhe von $5\,\text{m}$ an.

Graph Abi22 BaWü Wahlteil Analysis Aufgabe 2.1 Lösung Entscheidung

Füllhöhe des Beckens zu Beobachtungsbeginn

Da der Flächeninhalt der Fläche $A_1$ kleiner als der Inhalt der Fläche $A_2$ ist, fließt in den ersten 11 Stunden mehr Wasser ab als hinzu. Deshalb kann das Becken zu Beobachtungsbeginn nicht leer gewesen sein.

Graph Abi22 BaWü Wahlteil A2 Aufgabe1 Wasservolumen

Lösung A 2.2

Gleichungen der Asymptoten von $G_a$ bestimmen

Aus der Definitionslücke von $k_a(x)$ folgt die senkrechte Asymptote $y=0.$ Durch das Betrachten des Grenzwerts von $k_a(x)$ folgt: Für $x\rightarrow\infty$ gilt $k_a(x)\rightarrow0$ . Somit ist die waagereche Asymptote durch $x=0$ festgelegt.

Ableitung von $k_a(x)$ nachweisen