Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, also Funktionen der Form:

$f(x) = a_n\cdot x^n + ...$

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Wenn du die Kurve einer ganzrationalen Funktion gegeben hast, kannst du so vorgehen:

1. Schritt: Grad der Funktion bestimmen

Folgende Funktionsgraphen sind typisch für ganzrationale Funktionen:

Funktionen 1. Grades (Gerade)

Graf eines Koordinatensystems mit Achsen x und y und einer durchgehenden Linie.

Funktionen 2. Grades (Parabel)

Diagramm einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Funktionen 3. Grades

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Kurvenverlauf im Koordinatensystem.

Funktionen 4. Grades Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

2. Schritt: Funktionsgleichungen aufstellen

Durch ablesen von geeigneten Eigenschaften aus dem Schaubild, kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dieses nach den unbekannten Parametern $a_0$ bis $a_n$ lösen.

Mögliche nützliche Eigenschaften sind:

Achsensymmetrie

Punktsymmetrie

Extrempunkte

Wendepunkte

Gut ablesbare Koordinaten bestimmter Punkte

Beachte, das du immer eine Gleichung mehr brauchst als der Grad der Funktion (zum Beispiel Funktion dritten Grades: 4 Gleichungen).

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform

Die Abbildung zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(0\mid-1\right)$ . Als Ansatz kannst du die Scheitelpunktform der Parabel benutzen:
$f(x)=a\cdot(x-x_S)^2+y_S$ , wobei $S\left(x_S\mid y_S\right)$ die Koordinaten des Scheitepunkts sind.
Setze die Koordinaten von $S\left(0\mid-1\right)$ ein und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot x^2-1$ .
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(1\mid0)$ . Setze seine Koordinaten ein in $f(x)$ und löse nach $a$ auf:

$\begin{array}{rlll} f(1)&=0&\\ a\cdot1^2-1&=a-1&\scriptsize\mid\;+1 \\ a&=1 \end{array}$

Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^2-1$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, der achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+b$ .
Lies aus der Abbildung die Koordinaten zweier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(0\mid-1)$ und $(-1\mid0)$ . Es folgen die Bedingungen $f(0)=-1$ und $f(-1)=0$ .
Einsetzen in $f(x)=ax^2+b$ ergibt das lineare Gleichungssystem:

$\quad 0=a+b$

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Setze $b=-1$ ein in (2): $\quad$ $0=a-1\;\Leftrightarrow\;a=1$ .
Die Funktionsgleichung lautet damit $f(x)=x^2-1$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(0\mid4\right)$ . Setze die Koordinaten von $S\left(0\mid4\right)$ ein in die Scheitelpunktform der Parabel und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot x^2+4$ .
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(1\mid2)$ . Setze seine Koordinaten in $f(x)$ ein und löse nach $a$ auf:

$\begin{array}{rll} f(1)&=2\\ a\cdot1^2+4&=a+4&\scriptsize\mid\;-4 \\ a&=-2 \end{array}$

Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-2\cdot x^2+4$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, der achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+b$ .
Lies aus der Abbildung die Koordinaten zweier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(0\mid4)$ und $(1\mid2)$ . Es folgen die Bedingungen $f(0)=4$ und $f(1)=2$ .
Einsetzen in $f(x)=ax^2+b$ ergibt das lineare Gleichungssystem:

$2=a+b$

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Setze $b=4$ ein in (2): $\quad$ $2=a+4\;\Leftrightarrow\;a=-2$ .
Die Funktionsgleichung lautet damit $f(x)=-2\cdot x^2+4$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform

Die Abbildung zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(1\mid-1\right)$ . Setze die Koordinaten von $S\left(1\mid-1\right)$ ein in die Scheitelpunktform der Parabel und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot (x-1)^2-1$ .
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(2\mid1)$ . Setze seine Koordinaten ein in $f(x)$ und löse nach $a$ auf:

$\begin{array}{rll} f(2)&=1\\ a\cdot(2-1)^2-1&=a-1&\scriptsize\mid\;+1 \\ a&=2 \end{array}$

Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=2\cdot(x-1)^2-1$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+bx+b$ .
Lies aus der Abbildung die Koordinaten dreier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(0\mid1)$ , $(1\mid-1)$ und $(2\mid1)$ . Es folgen die Bedingungen $f(0)=1$ , $f(1)=-1$ und $f(2)=1$ .
Einsetzen in $f(x)=ax^2+bx+c$ ergibt das lineare Gleichungssystem:

$0=4a+2b$

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Aus (3) folgt:

$\quad$ $4a+2b=0\;$ $\Leftrightarrow\;2b=-4a\;\Leftrightarrow\;b=-2a$ .

Einsetzen in (2) liefert:

$\quad$ $a-2a+2=0\;$ $\Leftrightarrow\;-a=-2\;$ $\Leftrightarrow\;a=2$ .

Also ist $b=-2\cdot2=-4$ .
Es folgt damit die Funktionsgleichung $f(x)=2x^2-4x+1$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(-2\mid3\right)$ . Setze die Koordinaten von $S\left(-2\mid3\right)$ ein in die Scheitelpunktform der Parabel und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot (x+2)^2+3$ .
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(0\mid1)$ . Setze seine Koordinaten ein in $f(x)$ und löse nach $a$ auf:

$a=-\frac{1}{2}$

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Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{1}{2}\cdot(x+2)^2+3$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+bx+b$ .
Lies aus der Abbildung die Koordinaten dreier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(-4\mid1)$ , $(-2\mid3)$ und $(0\mid1)$ . Es folgen die Bedingungen $f(-4)=1$ , $f(-2)=3$ und $f(0)=1$ .
Einsetzen in $f(x)=ax^2+bx+c$ ergibt das lineare Gleichungssystem:

$0=8a+4\scriptsize\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$

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Setze

$a=-\frac{1}{2}$ ein in (2):

$\quad$ $16\cdot(-\frac{1}{2})-4b=0\;$
$\Leftrightarrow\;-8=4b\;$ $\Leftrightarrow\;b=-2$ .

Es folgt damit die Funktionsgleichung
$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=3a\cdot x^2+b$ .

Es sind zwei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also zwei Bedingungen. Zum einen kannst du die Koordinaten von $(1\mid1)$ ablesen. Daraus folgt die Bedingung $f(1)=1$ . Zum anderen besitzt der Graph im Ursprung einen Sattelpunkt: $f‘(0)=0$ .

Hinweis:

Da die Punktsymmetrie zum Ursprung bereits verwendet wurde, ist die Bedingung $f(0)=0$ hinfällig.

Aus den beiden Bedingungen folgt ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrrr} (1)&1&=&a\cdot1+b\cdot1\\ (2)&0&=&3\cdot a\cdot0+b\\ &&\Rightarrow & b=0 \end{array}$

Setze $b=0$ ein in (1) und erhalte:

$1=a+0\;\Leftrightarrow\;a=1$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^3$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=3a\cdot x^2+b$ .

Es sind zwei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also zwei Bedingungen. Der Graph besitzt den Hochpunkt $H(-1\mid2)$ . Daraus folgen die Bedingungen $f(-1)=2$ und $f‘(-1)=0$ . Aus den beiden Bedingungen folgt ein lineares Gleichungssystem:

$0 = 3\cdot a+b$

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Aus (2) folgt $b=-3a$ . Setze dies ein in (1):

$-a-(-3a)=2\;$
$\Leftrightarrow\;-a+3a=2\;$
$\Leftrightarrow\;2a=2\;$
$\Leftrightarrow\;a=1$

Also ist $b=-3\cdot 1=-3$ . Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^3-3x$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+cx+d$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=3a\cdot x^2+2b\cdot x+c$

und der zweiten Ableitung

$f‘‘(x)=6a\cdot x+2b$ .

Es sind vier Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also vier Bedingungen. Der Graph besitzt den Hochpunkt $(1\mid1)$ und den Wendepunkt $0\mid-1$ . Daraus folgen vier Bedingungen

$f(1)=1$ $\quad$ und $\quad$ $f‘(1)=0$

$f(0)=-1$ $\quad$ und $\quad$ $f‘‘(0)=0$

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

$0=-2a-2$

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Aus (2)a folgt $a=-1$ .
Setze dies ein in (1):

$0=-1+c-2\;$

$\Leftrightarrow\;0=-3+c\;$

$\Leftrightarrow\;c=3$

Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-x^3+3x-1$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösung über Linearfaktordarstellung

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades. Die allgemeine Gleichung dieser Funktion kann als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden und lautet allgemein

$a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot(x-x_3)$

Dabei sind $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ die Nullstellen von $f$ .
Aus der Abbildung folgt sofort:

$f$ besitzt eine einfache Nullstelle bei $x=0$ (Schnittpunkt mit der $x$ -Achse)
$f$ besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x=3$ (Berührpunkt mit der $x$ -Achse)

Damit folgt zunächst die Gleichung $f(x)=a\cdot x\cdot(x-3)^2$ .
Lies nun einen weiteren Punkt ab, der auf dem Graphen liegt, z.B: $(1\mid\frac{4}{3})$ . Einsetzen in $f(x)$ ergibt:

$\dfrac{4}{3}=a\cdot1\cdot(1-3)^2\;$

$\Leftrightarrow\;\dfrac{4}{3}=a\cdot4\;$

$\Leftrightarrow\;a=\dfrac{1}{3}$
Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot x\cdot (x-3)^2$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung über Normalform

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+cx+d$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=3a\cdot x^2+2b\cdot x+c$ .

Es sind vier Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also vier Bedingungen. Der Graph verläuft durch den Ursprung und durch den Punkt $(1\mid\frac{4}{3})$ und besitzt den Tiefpunkt $(3\mid0)$ . Daraus folgen vier Bedingungen

$f(0)=0$ $\quad$ und $\quad$ $f(1)=\frac{4}{3}$
$f(3)=0$ $\quad$ und $\quad$ $f‘(3)=0$

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

$12=36a$

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Aus (4)b folgt: $a=\frac{1}{3}$ . Setze dies ein in (3)a:

$4=-24\cdot\frac{1}{3}-6b\;$

$\Leftrightarrow\;4=-8-6b\;$

$\Leftrightarrow\;12=-6b\;$

$\Leftrightarrow\;b=-2$
Setze $a=\frac{1}{3}$ und $b=-2$ ein in (2):
$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}-2+c\;$

$\Leftrightarrow\;\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}+c\;$

$\Leftrightarrow\;c=3$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades, der achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=4a\cdot x^3+2b\cdot x$ .

Es sind drei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also drei Bedingungen. Der Graph verläuft durch den Ursprung und besitzt den Tiefpunkt $(1\mid-1)$ . Daraus folgen drei Bedingungen

$f(0)=0$
$f(1)=-1$ $\quad$ und $\quad$ $f‘(1)=0$

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

$0=4a+2b$

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Aus (3) folgt:

$4a+2b=0\;$

$\Leftrightarrow\;2b=-4a\;$

$\Leftrightarrow\;b=-2a$ .

Setze dies ein in (2):

$-1=a-2a\;$

$\Leftrightarrow\;-1=-a\;$

$\Leftrightarrow\;a=1$ .
Also ist $b=-2\cdot1=-2$ .
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^4-2x^2$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades, der achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=4a\cdot x^3+2b\cdot x$ .

Es sind drei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also drei Bedingungen. Der Graph verläuft durch den Punkt $(0\mid4)$ und besitzt den Tiefpunkt $(2\mid-4)$ . Daraus folgen drei Bedingungen

$f(0)=4$
$f(2)=-4$ $\quad$ und $\quad$ $f‘(2)=0$

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

$0=-16a + 8$

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Aus (3)a folgt:

$0=-16a+8\;$

$\Leftrightarrow\;16a=8\;$

$\Leftrightarrow\;a=\frac{1}{2}$ .

Setze dies ein in (2):

$0=16\cdot\frac{1}{2}+4b+8\;$

$\Leftrightarrow\;0=16+4b\;$

$\Leftrightarrow\;b=-4$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4-4x^2+4$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades, der achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$

mit der ersten Ableitung

$f‘(x)=4a\cdot x^3+2b\cdot x$ .

Es sind drei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also drei Bedingungen. Der Graph verläuft durch die Punkte $(2\mid0)$ und $(0\mid2)$ und besitzt einen Hochpunkt bei $x=1$ . Daraus folgen drei Bedingungen

$f(2)=0$
$f(0)=2$
$f‘(1)=0$

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

$0=8a+2$

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Aus (3)a folgt: $0=8a+2\;$

$\Leftrightarrow\;-8a=2\;$

$\Leftrightarrow\;a=-\frac{1}{4}$ .

Setze dies ein in (1):

$0=16\cdot(-\frac{1}{4})+4b+2\;$

$\Leftrightarrow\;0=-2+4b\;$

$\Leftrightarrow\;b=\frac{1}{2}$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+2$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit

$\begin{array}{lll} f(x)&=&a\cdot x^4+b\cdot x^3 \\ & &+c\cdot x^2+d\cdot x+e \\ \end{array}$

mit der ersten Ableitung

$\begin{array}{lll} f‘(x)&=&4a\cdot x^3+3b\cdot x^2 \\ & &+2c\cdot x+d \\ \end{array}$

Es sind fünf Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also fünf Bedingungen. Der Graph besitzt den Hochpunkt $(1\mid0)$ und die Tiefpunkte $(0\mid-1)$ und $(2\mid-1)$ . Daraus folgen fünf Bedingungen