Exponentialfunktionen
Die Ableitung der 
-Funktion entspricht grundsätzlich der Ausgangsfunktion.
Hier wird die Kettenregel angewendet und mit der inneren Ableitung multipliziert.
Beispiel
Die innere Ableitung von 
lautet 
Für 
gilt: 
Besteht der Exponent aus einer weiteren Funktion, so handelt es sich um eine verkettete Funktion.
Hier wird die Kettenregel angewendet und mit der inneren Ableitung multipliziert.
Für 
gilt: 
Beispiel
1.
Leite folgende Funktionen zweimal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2.
Leite folgende Funktionen zweimal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
Leite folgende Funktionen einmal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
Leite folgende Funktionen einmal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5.
Bilde die Ableitung der Funktion 
und vereinfache 
so weit wie möglich.
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1.
Die Funktionen zweimal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&\mathrm e^x\\
f‘\left(x\right)=&\mathrm e^x\\
f‘‘\left(x\right)=&\mathrm e^x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f9240c7e7dbd7affc2e976c234e29c8d87ff26544ba8395c03351851f10c1381?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&\mathrm e^{2x}\\[4pt]
f‘\left(x\right)=&\mathrm e^{2x}\cdot2\\
=&2\mathrm e^{2x}\\[4pt]
f‘‘\left(x\right)=&2\cdot\mathrm e^{2x}\cdot2\\
=&4\mathrm e^{2x}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/64595a92d511faf95cf993d586b2e367e184c1134a19f55973ef62d27f0262bd?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&-2\mathrm e^x\\
f‘\left(x\right)=&-2\mathrm e^x\\
f‘‘\left(x\right)=&-2\mathrm e^x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a29e987a530a5da631286313dc4a286807606799640b2a95a925e8efc67eeb41?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&-2\mathrm e^x+\mathrm e^{2x+1}\\[4pt]
f‘\left(x\right)=&-2\mathrm e^x+\mathrm e^{2x+1}\cdot2\\
=&-2\mathrm e^x+2\mathrm e^{2x+1}\\[4pt]
f‘‘\left(x\right)=&-2\mathrm e^x+2\mathrm e^{2x+1}\cdot2\\
=&-2\mathrm e^x+4\mathrm e^{2x+1}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d6abf19ddfa5d3d8d89516897198f4fd89fb86053e5c899ce062a6bea9658f84?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&-\mathrm e^{-x}\\[4pt]
f‘\left(x\right)=&-\mathrm e^{-x}\cdot\left(-1\right)\\
=&\mathrm e^{-x}\\[4pt]
f‘‘\left(x\right)=&\mathrm e^{-x}\cdot\left(-1\right)\\
=&-\mathrm e^{-x}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0b9731716b834a479d9683bce60662d4edd97d3988d1428b0c68fa571fc97343?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
Vollständige Lösung anzeigen
e)
f)
g)
h)
2.
Die Funktionen zweimal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&\mathrm e^{ax}\\[4pt]
f‘\left(x\right)=&\mathrm e^{ax}\cdot a\\
=&a\mathrm e^{ax}\\[4pt]
f‘‘\left(x\right)=&a\mathrm e^{ax}\cdot a\\
=&a^2\mathrm e^{ax}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0239a1b758ab6650bb2bdb8e1a691a394f1b78a7d33c6a2c1ba134eb84982731?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f\left(x\right)=&a\mathrm e^{ax+1}\\[4pt]
f‘\left(x\right)=&a\mathrm e^{ax+1}\cdot a\\
=&a^2\mathrm e^{ax+1}\\[4pt]
f‘‘\left(x\right)=&a^2\mathrm e^{ax+1}\cdot a\\
=&a^3\mathrm e^{ax+1}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3797e68c32b1423def76e51eed5ad0285e3f1c3c6e59af4bff5c5067109944ec?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Hier muss die Kettenregel zweimal angewendet werden. Um die Übersicht zu bewahren, verzichtet man bei solchen Aufgaben auf die Wurzelschreibweise.
3.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{llll}
f(x)&=&3x\cdot\mathrm{e}^{x}&\\[4pt]
f‘(x)&=&3\cdot\mathrm{e}^{x}+3x\cdot\mathrm{e}^{x} \\
&=&3\mathrm{e}^{x}(1+x) \\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6bfcc77adc45757670b4a9d4c6085cce7325b49ba698091077cb5aa9ae8c935c?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
Die Funktionen einmal ableiten
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5.
Für die erste Ableitung ergibt sich