Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen kannst du ableiten, in dem du jeden Summanden einzeln nach der Potenzregel ableitest.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& x^3 + 5x^2 +2 \\
f‘(x)&=& 3\cdot x^{3-1}+5\cdot2\cdot x^{2-1}&\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfachen}\\
&=& 3x^2+10x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fa6ec78e7fd4fa72a351f62e76d918c924a2b706c07c595d2271a06a34f54c2d?color=5a5a5a)
Beispiel
1.
Leite folgende Funktionen einmal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2.
Leite folgende Funktionen zweimal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
Leite folgende Funktionen einmal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
5.
Bilde die ersten beiden Ableitungen.
a)
b)
c)
d)
6.
Leite folgende Funktionen zweimal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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1.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 2x \\
f‘(x)=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a11144fa96f3217b6812ec99e814b18bfc0307d2a7d37ba26fa9fe983f7d5d8f?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& x^2 \\
f‘(x)=& 2\cdot x \\
=& 2x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/91fb6d4be9d8b74834fe29eff994cd8afc328f0f5d86a16709db9ef6a605f4ec?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 3x^2 \\
f‘(x)=& 6x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d9f31b47accab3317eb1514f80e204a6503f4aaff1245c3945a616942aefb804?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 2 \\
f‘(x)=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/46697d8e1a2771d4c9a0410b4fc045daad779063edbcb4ffcda2104f99b15c36?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 2x^3 \\
f‘(x)=& 3\cdot 2x^2 \\
=& 6x^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f40a370545bfc3105af31e33619bcd012c90ef4a74c92a8bbb86212253b646db?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& -3x^2 \\
f‘(x)=& 2\cdot (-3x) \\
=& -6x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1d94998d3b5af0aa6d20a87553a4bee7ea1d1bad169c7c42cdf0bf30f9ead25d?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 5x^2+5x \\
f‘(x)=& 10x+5 \\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6de1c6f3ce34ee60eb1f6771bf1f52cf577d63da7efb417053da6feae6dc422a?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 7x^4+3x^2+9x \\
f‘(x)=& 28x^3+6x+9 \\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/875c3c31cf1c60e2bb311d04704f2de70228e95d99f320901387747c76056496?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& ax^2+c \\
f‘(x)=& 2\cdot ax \\
=& 2ax
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0848d619e5c37060fd7ef5012caf79ada78e00dd567bee6f8ed63901fca7ddb8?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& -bx^2 \\
f‘(x)=& 2\cdot (-bx) \\
=& -2bx
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f1c9213dd42709e928e103242489a51cc549373bff7b1907b6aae38dcb4d9a41?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Beachte, dass die Funktionsvariable hier 
ist und nicht 
Du musst also nach ableiten und 
wie jede andere Zahl behandeln.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)=& x^{-1}+5t^2+3 \\
f‘(t)=& 10t \\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9c9d1b7b06e0ea41fa0e14c1080fea9fea452e929ca80cb061d3c2d0ee723196?color=5a5a5a)
k)
l)
Beachte, dass die Funktionsvariable hier 
ist und nicht Du musst also nach ableiten und wie jede andere Zahl behandeln.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(a)=& ax^{-2} \\
f‘(a)=& x^{-2} \\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7b81101469b87fdb814de3b7d26c2837575642c51b32f7b9aecd3c1eda39274f?color=5a5a5a)
2.
Die Funktionen zweimal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& x^4 \\
f‘(x)=& 4\cdot x^3 \\
=& 4x^3 \\
f‘‘(x)=& 3\cdot 4x^2 \\
=& 12x^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6aa311920b6d05999cccd324d03d23cd138df8a39deb16e4243c8bbf28d2163c?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& \dfrac{1}{6}x^3 \\
f‘(x)=& 3\cdot \dfrac{1}{6}x^2 \\
=& \dfrac{1}{2}x^2 \\
f‘‘(x)=& 2\cdot \dfrac{1}{2}x \\
=& x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/50a0cd6abe7bc7c1f09934335d6fe682f67aececd1ac207bc7fde098ad096676?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& ax \\
f‘(x)=& a \\
f‘‘(x)=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/48115268d0cd93ee1a0a904b3d36b6610b5cc01dec89d88c0b675d5c62690cfe?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(a)=& ax^2 \\
f‘(a)=& x^2 \\
f‘‘(a)=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2e846c15e4854690b4b57ce9a73b83aa888cda809c7bdfa9b812cae1a05f588e?color=5a5a5a)
a)
b)
Vollständige Lösung anzeigen
e)
f)
3.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (x+1)^2 \\[4pt]
f‘(x)=& 2\cdot (x+1) \cdot 1 \\
=& 2x+2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ce78763d93ffaa85a356600d33c1c162105a61271d3995f648a9bfc905d1a34a?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (3x+1)^7 \\[4pt]
f‘(x)=& 7\cdot (3x+1)^6 \cdot 3 \\
=& 21(3x+1)^6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/46afc2b7ddca603121fb61fc387b8d00f85fe3eb93fd3a2da101e67d3754920c?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (2x^2+3)^5 \\[4pt]
f‘(x)=& 5\cdot (2x^2+3)^4 \cdot 4x \\
=&20x(2x^2+3)^4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5b622b8d0f5aa992317632c377fc075e765c7e4974439ca4d9adf3386a86daa2?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(1+x)^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(1+x)\cdot 1 \\
=&2+2x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/603245c47b14b913900367d929619c6c74921318d30a5ac9f65b5231d7b12e15?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(3x+1)^4 \\[4pt]
f‘(x)=&4\cdot(3x+1)^3\cdot 3 \\
=&12(3x+1)^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b84853e96453586c7d797e583d9ca7d56749503d506cdf229aa298997c210714?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(-3x-2)^3 \\[4pt]
f‘(x)=&3\cdot (-3x-2)^2 \cdot (-3)\\
=&-9(-3x-2)^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/47f226821d8440c1f7589c708130ab738073871342bac50dfbfb87e02173898f?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&-2(2x^2+2)^2\\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(-2(2x^2+2))\cdot 4x\\
=&(-16x)\cdot(2x^2+2)\\
=&-32x^3-32x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1524d8b4932405576d739dd21bf145721f63f2e7593cd7975abb87b29af88511?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
5.
6.
Die Funktionen zweimal ableiten
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)