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Rotationskörper

Rotationskörper entstehen durch Rotation einer Fläche, die vom Graphen einer Funktion \(f\) und einer der Koordinatenachsen begrenzt wird, um eben diese Koordinatenachse. Das Volumen eines solchen Körpers kannst du mit Hilfe eines Integrals berechnen:

Rotation um die \(x\)-Achse: \( V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx\)

Rotation um die \(y\)-Achse: \( V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f^{-1}(y))^2\mathrm dy\)
Bei der Rotation um die \(y\)-Achse muss also zunächst die Umkehrfunktion gebildet werden. Allgemein müssen meistens erst die Grenzen berechnet werden, die sich dann aus den Schnittstellen von \(f\) mit der jeweiligen Koordinatenachse ergeben.

Beispiel

Wir berechnen das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse des Graphen von \(f\) mit \(f(x) = -x^2+4\) begrenzt wird.
Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus \(f(x) = 0\) zu \(a = -2\) und \(b =2\). Das Volumen ergibt sich dann zu:
\(\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2}(f(x))^2\mathrm dx &\quad \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(16 - 8x^2+x^4\right)\mathrm dx &\quad \\[5pt] &\approx& \pi\cdot34,13 \approx 107,22 [VE] &\quad \\[5pt] \end{array}\)
Nun berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen von \(f\) um die \(y\)-Achse entsteht und nach unten durch die \(x\)-Achse begrenzt ist.
Die untere Grenze ergibt sich demnach mit \(a = 0\). Die obere Grenze ergibt sich aus dem Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse \(\Rightarrow b = 4\). Wir benötigen noch die Umkehrfunktion von \(f\): \(f^{-1}(y) = \sqrt{4-y}\).
\(\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} (\sqrt{4-y})^2\mathrm dy &\quad \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} (4-y)\mathrm dy &\quad \\[5pt] &=& \pi \cdot 8 &\quad \\[5pt] &\approx& 25,13 [VE] &\quad \\[5pt] \end{array}\)