Stetigkeit

Eine Funktion $f(x)$ ist stetig an der Stelle $x_0$ , falls gilt

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)= f(x_0)$ oder für $x \rightarrow x_0$ gilt $f(x) \rightarrow f(x_0)$

Anschaulich bedeutet das, dass eine Funktion in der Regel stetig ist, wenn sie ohne absetzen zu zeichnen ist. Das ist jedoch nur die vereinfachte Definition und mathematisch nicht ganz korrekt.

Stetiger Funktionsgraph

Die Funktion $f$ ist stetig in $[0;9].$

Unstetiger Funktionsgraph

Die Funktion $g$ ist nicht stetig an den Stellen $x_0=2$ und $x_1=6.$

Beispiel 1

Die Funktion $f(x)$ mit $D_f= [-1;4]$ ist gegeben. Es wird überprüft, ob $f$ stetig ist.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} -x+3, &x \leq 1,5\\ x, & x \gt 1,5\end{array}\right.$

Stetiger Funktionsgraph Beispiel 1

Die Definitionsmenge von $f$ ist in zwei Intervalle zerlegt und in diesen beiden Intervallen jeweils durch einen anderen Funktionsterm festgelegt. Es handelt sich um eine abschnittsweise definierte Funktion.

$-x+3$ ist in $[-1;1,5]$ stetig. Ebenso ist auch $x$ in $[1,5; 4]$ stetig.

Untersucht werden muss also die Stelle $x_0=1,5.$

Annäherung von links:

$\lim\limits_{x \to 1,5^-}\ f(x)$ $= \lim\limits_{x \to 1,5^-}(-x+3) = -1,5+3 =1,5$

Annäherung von rechts:

$\lim \limits_{x \to 1,5^+}\ f(x) = \lim\limits_{x \to 1,5^+}(x) = 1,5$

Daraus folgt:

$f(x_0)=\lim\limits_{x \to 1,5^-}\ f(x)=\lim\limits_{x \to 1,5^+}\ f(x) = 1,5$

Die Funktion $f$ ist somit stetig.

Beispiel 2

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $D_h= [-1,5; 3].$

$h(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2+1, & x \leq 1\\ 3x, & x>1 \end{array}\right.$

Stetige Funktion Beispiel 2

$x^2+1$ ist in $[-1,5; 1]$ stetig. Auch $3x$ ist in $[1; 3]$ stetig. Untersucht wird nun die Stelle $x_0=1:$

Annäherung von links:

$\lim\limits_{x \to 1^-}\ h(x) = \lim\limits_{x \to 1^-}(x^2+1) = 1+1 =2$

Annäherung von rechts:

$\lim\limits_{x \to 1^+}\ h(x) = \lim\limits_{x \to 1^+}(3x) = 3$

Daraus folgt:

$2=\lim\limits_{x \to 1^-}\ h(x)\ne \lim\limits_{x \to 1^+}\ h(x) = 3$

Die Funktion $h$ ist somit nicht stetig in $x_0=1$ .