Stetigkeit
Eine Funktion
ist stetig an der Stelle
, falls gilt
oder für
gilt
Anschaulich bedeutet das, dass eine Funktion in der Regel stetig ist, wenn sie ohne absetzen zu zeichnen ist. Das ist jedoch nur die vereinfachte Definition und mathematisch nicht ganz korrekt.
mit
ist gegeben. Es wird überprüft, ob
stetig ist.
Die Definitionsmenge von
ist in zwei Intervalle zerlegt und in diesen beiden Intervallen jeweils durch einen anderen Funktionsterm festgelegt. Es handelt sich um eine abschnittsweise definierte Funktion.
ist in
stetig. Ebenso ist auch
in
stetig.
Untersucht werden muss also die Stelle
Annäherung von links:

Annäherung von rechts:
Daraus folgt:
Die Funktion
ist somit stetig.
mit
ist in
stetig. Auch
ist in
stetig. Untersucht wird nun die Stelle
Annäherung von links:
Annäherung von rechts:
Daraus folgt:
Die Funktion
ist somit nicht stetig in
.

Die Funktion
ist stetig in

Die Funktion
ist nicht stetig an den Stellen
und
Beispiel 1
Die Funktion
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion
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1.
Eine stetige Funktion enthält keine Lücken in ihrem Definitionsbereich. Sie muss sich ohne absetzen zeichnen lassen.
Beispiel für eine stetige Funktion:

Beispiel für eine nicht stetige Funktion:

2.
a)
für
gilt:
Die Funktion ist demnach stetig.
b)
für
gilt:
Die Funktion ist demnach nicht stetig.
c)
für
gilt:
Die Funktion ist demnach stetig.