Zwischen Vektoren
Vollständige Lösung anzeigen
1.
Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren 
und 
.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.
Beantworte folgende Fragen und begründe deine Antwort.
a)
Zwei Vektoren schließen prinzipiell immer zwei Winkel ein, von denen in der Regel einer kleiner und einer größer ist. Welchen der beiden Winkel berechnest du, wenn du die dir bekannte Formel anwendest?
b)
Bestimmst du bei der Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden immer den Schnittwinkel der beiden Richtungsvektoren?
c)
Sind Vektoren mit Schnittwinkel gleich Null immer identisch?
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1.
Ergebnisse und Zwischenergebnisse sind auf zwei Dezimalstellen gerundet.
![\( \begin{array}[t]{rl}
\cos\alpha=&\dfrac{\left(\begin{array}{r}
1\\
1\\
3\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
-2\\
0\\
1\\
\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{r}
1\\
1\\
3\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
-2\\
0\\
1\\
\end{array}\right)\right|}
\\[5pt]
=&\dfrac{-2+3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{4+1}}
\\[5pt]
=&\dfrac{1}{\sqrt{55}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/96d607d6d7b3e92999e5cfcea716ec105e2b355a740d5d5f3f4bf933defda4a0?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\cos\alpha=&\dfrac{\left(\begin{array}{r}
0\\
3\\
4\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
1\\
4\\
-2\\
\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{r}
0\\
3\\
4\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
1\\
4\\
-2\\
\end{array}\right)\right|}
\\[5pt]
=&\dfrac{12-8}{\sqrt{9+16}\cdot\sqrt{1+16+4}}
\\[5pt]
=&\dfrac{4}{\sqrt{525}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fcfaf29a1b7779584dc76a06461b392ed7f0e04fe3719339f1e653da8672eadf?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\cos\alpha=&\dfrac{\left(\begin{array}{r}
2\\
-4\\
0\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
5\\
2\\
2\\
\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{r}
2\\
-4\\
0\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
5\\
2\\
2\\
\end{array}\right)\right|}
\\[5pt]
=&\dfrac{10-8}{\sqrt{4+16}\cdot\sqrt{25+4+4}}
\\[5pt]
=&\dfrac{2}{\sqrt{660}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1ad32abd99dce18406cdcaf1c5d66c3016a4573f42a977e67c061700def0505a?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\cos\alpha=&\dfrac{\left(\begin{array}{r}
-4\\
2\\
1\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
3\\
6\\
3\\
\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{r}
-4\\
2\\
1\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
3\\
6\\
3\\
\end{array}\right)\right|}
\\[5pt]
=&\dfrac{-12+12+3}{\sqrt{16+4+1}\cdot\sqrt{9+36+9}}
\\[5pt]
=&\dfrac{3}{\sqrt{1134}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7df89da024fe5f1fa4d6b2ee1d1c92d7f9fd7338e2d5a80220d8fe0684003a1e?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\cos\alpha=&\dfrac{\left(\begin{array}{r}
3\\
-2\\
1\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
0\\
4\\
9\\
\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{r}
3\\
-2\\
1\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
0\\
4\\
9\\
\end{array}\right)\right|}
\\[5pt]
=&\dfrac{-8+9}{\sqrt{9+4+1}\cdot\sqrt{16+81}}
\\[5pt]
=&\dfrac{1}{\sqrt{1358}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c0477e3ed22920953962cd4e6855c69898eabf4ff8ad642ab090252728ae3205?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\cos\alpha=&\dfrac{\left(\begin{array}{r}
4\\
6\\
3\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
-2\\
-2\\
1\\
\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{r}
4\\
6\\
3\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
-2\\
-2\\
1\\
\end{array}\right)\right|}
\\[5pt]
=&\dfrac{-8-12+3}{\sqrt{16+36+9}\cdot\sqrt{4+4+1}}
\\[5pt]
=&\dfrac{-17}{\sqrt{549}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/55ad9d93e53eacbb66d3b31feca8e5e16b29dcc2c958c7699de4791aedc7e8d7?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.
a)
Wir berechnen den Winkel zwischen zwei Vektoren gemäß der Formel
.
Der Winkel 
, der sich hieraus ergibt, ist definiert als der kleinere der beiden eingeschlossenen Winkel.
b)
Ja, da zur Winkelberechnung nur die Richtungsvektoren benötigt werden. Der Grund dafür ist, dass die Lage der Geraden - d.h. ob sie nun 3 LE weiter links oder weiter unten liegen - auf den Schnittwinkel der beiden Geraden keine Auswirkungen hat. Der Stützvektor ist daher für die Berechnung des Schnittwinkels irrelevant.
c)
Nein, da Geraden mit Schnittwinkel gleich Null auch parallel verlaufen können. Sie müssen nicht notwendigerweise identisch sein.
Generell kann man sagen, dass der Schnittwinkel paralleler Vektoren immer Null ist.
Generell kann man sagen, dass der Schnittwinkel paralleler Vektoren immer Null ist.