Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:

$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}...}{b_m \cdot x^m + b_{m-1}...}$

Vollständige Funktion anzeigen

Um eine Funktionsgleichung anhand eines gegebenen Schaubildes aufzustellen, ist oft folgender Ansatz nützlich:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^n}+c$

$-b$ : Polstelle
Vorzeichenwechsel (VZW) an der Stelle $-b \Rightarrow$ $n=1$ ; $\quad$ kein VZW $\Rightarrow n=2$
$c$ : Verschiebung in $y$ -Richtung (Asymptote)
$a$ : Setze in die Funktionsgleichung die Koordinaten eines gut ablesbaren Punktes ein

Beispiel

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten im Koordinatensystem.

Wähle den Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{(x+b)}+c$

VZW $\rightarrow$ $n=1$
Polstelle bei $x=0$ $\rightarrow$ $b=0$
waagrechte Asymptote bei $y=1$ $\rightarrow$ $c=1$
Punkt $P(2 \mid 2)$ einsetzen:
$\, f(2) = \dfrac{a}{(2+0)^1} + 1 = 2$ $\Rightarrow a=2$

$\Rightarrow$ $f(x)=\dfrac{2}{x}+1$

Bei dieser Aufgabe brauchst du einen allgemeinen Ansatz. Mithilfe von Punkten, Polstellen und Asymptoten kann man dann die Funktionsgleichung näher bestimmen.

Der allgemeine Ansatz lautet

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^n}+c$

mit $n=1$ falls ein VZW vorliegt und $n=2$ falls kein VZW vorliegt.

Dabei beschreibt $b$ die Verschiebung in $x$ -Richtung und $c$ die Verschiebung in $y$ -Richtung. Die Werte von $b$ und $c$ müssen anhand von Polstellen und Asymptoten entsprechend bestimmt werden. Die Polstelle sind die Stellen, an denen der Nenner gleich Null ist. Eine Asymptote liegt vor, falls sich die Funktion für $x\rightarrow{ }\pm\infty$ einer Geraden (waagrechte oder schiefe Asymptote) annähert.

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=0\rightarrow b=0$

waagrechte Asymptote bei

$y=0\rightarrow c=0$

$P\left(1\mid1\right)$ eingesetzt: $f(1)=\dfrac{a}{1}=1 \rightarrow a=1$

Funktionsgleichung: $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=-1\rightarrow b=1$

waagrechte Asymptote

bei $y=0\rightarrow c=0$

$P\left(0\mid-1\right)$ eingesetzt: $f(0)=\dfrac{a}{0+1}=-1 \rightarrow a=-1$

Funktionsgleichung: $f(x)=-\dfrac{1}{x+1}$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=0\rightarrow b=0$

waagrechte Asymptote

bei $y=1\rightarrow c=1$

$P\left(4\mid2\right)$ eingesetzt: $f(4)=\dfrac{a}{4}+1=2 \rightarrow a=4$

Funktionsgleichung: $f(x)=\dfrac{4}{x}+1$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c$ (da kein VZW)

Polstelle bei $x=0\rightarrow b=0$

waagrechte Asymptote

bei $y=0\rightarrow c=0$

$P\left(2\mid1\right)$ eingesetzt: $f(2)=\dfrac{a}{2^2}=1 \rightarrow a=4$

Funktionsgleichung: $f(x)=\dfrac{4}{x^2}$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c$ (da kein VZW)

Polstelle bei $x=0\rightarrow b=0$

waagrechte Asymptote bei $y=0\rightarrow c=0$

$P\left(1\mid-1\right)$ eingesetzt: $f(1)=\dfrac{a}{1^2}=-1 \rightarrow a=-1$

Funktionsgleichung: $f(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=2\rightarrow b=-2$

waagrechte Asymptote bei

$y=0\rightarrow c=0$

$P\left(4\mid4\right)$ eingesetzt: $f(4)=\dfrac{a}{4-2}=4 \rightarrow a=8$

Funktionsgleichung: $f(x)=\dfrac{8}{x-2}$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=-1\rightarrow b=1$

waagrechte Asymptote bei

$y=2\rightarrow c=2$

$P\left(0\mid1\right)$ eingesetzt: $f(0)=\dfrac{a}{0+1}+2=1 \rightarrow a=-1$

Funktionsgleichung:

$f(x)=-\dfrac{1}{x+1}+2$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c$ (da kein VZW)

Polstelle bei $x=1\rightarrow b=-1$

waagrechte Asymptote bei $y=-1\rightarrow c=-1$

$P\left(0\mid0\right)$ eingesetzt:

$f(0)=\dfrac{a}{(0-1)^2}-1=a-1=0$
$\rightarrow a=1$

Funktionsgleichung:

$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}-1$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=0\rightarrow b=0$

schiefe Asymptote mit $y=c=x$

$P\left(1\mid2\right)$ eingesetzt: $f(1)=\dfrac{a}{1}+1=2 \rightarrow a=1$

Funktionsgleichung:

$f(x)=\dfrac{1}{x}+x$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c$

(da kein VZW)

Polstelle bei $x=0\rightarrow b=0$

schiefe Asymptote mit $y=c=2x$

$P\left(-1\mid-3\right)$ eingesetzt:

$f(-1)=\dfrac{a}{(-1)^2}+2\cdot (-1)$
$=a-2=-3$
$\rightarrow a=-1$

Funktionsgleichung:

$f(x)=-\dfrac{1}{x^2}+2x$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$

Polstelle bei $x=-1\rightarrow b=1$

schiefe Asymptote mit $y=c=-x+2$

$P\left(0\mid1\right)$ eingesetzt:

$f(0)=\dfrac{a}{0+1}-0+2=1$

$\rightarrow a=-1$

Funktionsgleichung:

$f(x)=-\dfrac{1}{x+1}-x+2$

Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c$ (da kein VZW)

Polstelle bei $x=1\rightarrow b=-1$

schiefe Asymptote mit

$y=c=-\dfrac{1}{2}x+1$

$P\left(0\mid2\right)$ eingesetzt:

$f(0)$ $=\dfrac{a}{(0-1)^2}-\dfrac{1}{2}\cdot 0+1$ $=2$
$\rightarrow a=1$

Funktionsgleichung:

$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{2}x+1$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)(x+c)}+d$

(da zwei Polstellen)

Polstelle bei $x=-1$ und $x=1 \rightarrow b=-1$ und $c=1$

waagrechte Asymptote bei

$y=1 \rightarrow d=1$

$P\left(0\mid-1\right)$ eingesetzt:

$f(0)=\dfrac{a}{(0-1)(0+1)}+ 1$
$=-a+1= -1$
$\rightarrow a=2$

Funktionsgleichung:

$f(x)$ $=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}+1$ $=\dfrac{2}{x^2-1}+1$ (3. Binomische Formel)

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)(x+c)}+d$

(da zwei Polstellen)

Polstelle bei $x=-1$ und $x=1 \rightarrow b=-1$ und $c=1$

waagrechte Asymptote bei $y=\dfrac{1}{2} \rightarrow d=\dfrac{1}{2}$

$P\left(0\mid4\right)$ eingesetzt:

$f(0)=\dfrac{a}{(0-1)(0+1)}+ \dfrac{1}{2}$
$=-a+\dfrac{1}{2}$
$= 4 \rightarrow a$
$=\dfrac{-7}{2}$

Funktionsgleichung:

$f(x)=\dfrac{-7}{2(x-1)(x+1)}+\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{-7}{2x^2-2}+\dfrac{1}{2}$

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