Trigonometrische Funktionen

Für trigonometrische Funktionen gibt es zwei mögliche Ansätze, von denen meist einer in der Aufgabenstellung vorgegeben ist:

$f(x)$ = $a\cdot \sin(b\cdot x-c)+d$

$g(x)$ = $a\cdot \cos(b\cdot x-c)+d$

Neben der Möglichkeit durch gegebene Koordinaten von Punkten ein Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen, gibt es auch noch weitere Randbedingungen, die dir die Belegung der Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ direkt liefern:

Die Amplitudenlänge liefert dir direkt $a$ .

Aus der Periodenlänge $p$ erhältst du $b$ durch $b= \dfrac{2\pi}{p}$ .

$d$ ist die Verschiebung entlang der $y$ -Achse

$c$ ist die Phasenverschiebung, also die Verschiebung entlang der $x$ -Achse

$c$ und $d$ kannst du, wenn die Verschiebungen nicht in der Aufgabenstellung gegeben ist, durch Punktproben bestimmen.

Die allgemeine Sinusfunktion hat die Gestalt

$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x+c))+d$ .

Die Multiplikation der Sinusfunktion mit einem Faktor $a$ bedeutet anschaulich eine Streckung bzw. Stauchung in y-Richtung.

Der Faktor $b$ bewirkt eine Änderung der Periodenlänge, welche durch $p=\frac{2\pi}{b}$ gegeben ist. Anschaulich bedeutet dies eine Streckung bzw. Stauchung in x-Richtung.

Die Parameter $c$ bewirkt eine Phasenverschiebung, das heißt eine Verschiebung der Sinusfunktion entlang der x-Achse um $c$ . $c>0$ bedeutet eine Verschiebung nach links, $c< 0$ eine Verschiebung nach rechts.

Die Variable $d$ bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse um $d$ . Der um $d$ verschobene Graph der Sinusfunktion schwingt dann um die Gerade mit der Gleichung $y=d$ .

Verschiebung um $2$ LE nach unten

$\Longrightarrow d=-2$

Verschiebung um $1$ LE nach links

$\Longrightarrow c=1$

Streckung um den Faktor $1,5$ in y-Richtung

$\Longrightarrow a=1,5$

Periodenlänge $p=2\pi$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=1$

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$f(x)=1,5\cdot\sin(x+1)-2$

Keine Verschiebung entlang der y-Achse

$\Longrightarrow d=0$

Verschiebung um $4$ LE nach rechts

$\Longrightarrow c=-4$

Streckung um den Faktor $2$ in y-Richtung

$\Longrightarrow a=2$

Der Abstand zweier Nulldurchgänge entspricht der halben Periodenlängen

$\frac{p}{2}=\frac{\pi}{4}$

$\Longrightarrow p=\frac{\pi}{2}$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=4$

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$f(x)=2\cdot\sin(4\cdot(x-4))$

Verschiebung um $1$ LE nach unten

$\Longrightarrow d=-1$

Streckung um den Faktor $3$ in y-Richtung

$\Longrightarrow a=3$

Periodenlänge $p=\pi$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=2$

Die Funktion läuft durch den Punkt $P\left(\frac{\pi}{2}\middle|2\right)$

$\Longrightarrow 3\cdot\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2}+c\right)\right)-1=2$

Addieren der $1$ und anschließende Division durch $3$ ergibt:

$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2}+c\right)\right)=1$

Dies ist erfüllt, wenn

$2\cdot\left(\frac{\pi}{2}+c\right)=\frac{\pi}{2}$

$\Longrightarrow \frac{\pi}{2}+c=\frac{\pi}{4}$

$\Longrightarrow c=-\frac{\pi}{4}$

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$f(x)=3\cdot\sin\left(2\cdot\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$

Verschiebung um $5$ LE nach oben

$\Longrightarrow d=5$

Verschiebung um $2$ LE nach rechts

$\Longrightarrow c=-2$

Stauchung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $y$ -Richtung

$\Longrightarrow a=\frac{1}{2}$

Periodenlänge $p=3\pi$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2}{3}$

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$f(x)=\frac{1}{2}\cdot\sin\left(\frac{2}{3}\left(x-2\right)\right)+5$

Streckung um den Faktor $2$ in $y$ -Richtung

$\Longrightarrow a=2$

Periodenlänge $p=2\pi$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=1$

Bei $P(0|1)$ befindet sich ein Minimum. Ohne Phasenverschiebung läge beim Sinus ein Minimum bei $x=-\frac{\pi}{2}$ . Die modifizierte Sinusfunktion ist also um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben

$\Longrightarrow c=-\frac{\pi}{2}$

(Die um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschobene Sinusfunktion entspricht gerade einem negativen Cosinus)

Der Streckungsfaktor in $y$ -Richtung ist zwei, das heißt der vertikale Abstand zwischen Minima und Maxima beträgt $4$ LE. Alle Minima liegen bei $y=1$ , alle Maxima bei $y=5$ . Der Graph der Funktion schwingt folglich um die Gerade mit der Gleichung $y=3$

$\Longrightarrow d=3$

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$\begin{array}[ccc] f(x)&=&2\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3\\ &=&-2\cdot\cos(x)+3\\ \end{array}$

Verschiebung um $4$ LE nach unten

$\Longrightarrow d=-4$

Der Vertikale Abstand zwischen den Minima und Maxima beträgt $2$

$\Longrightarrow$ keine Streckung in $y$ -Richtung

$\Longrightarrow a=1$

Periodenlänge $p=\pi$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=2$

Geht durch den Punkt $Q(1|-4)$

$\begin{array}[lllll] \\\Longrightarrow &\sin(2(1+c))-4&=-4 \\ \Longrightarrow &\sin(2(1+c))&=0\\ \end{array}$

Dies ist z.B. dann erfüllt, wenn $2(1+c)=0$ , also $c=-1$ . (Es gibt aber auch andere Lösungen, z.B. wenn man $2(1+c)=\pi$ löst)

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$f(x)=\sin\left(2\left(x-1\right)\right)-4$

Das Schaubild verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung, also schwingt es um die Gerade mit der Gleichung $y=0$

$\Longrightarrow d=0$

Es ist $f(0)=0$ und $f‘(0)>0$ , das heißt es handelt sich um eine Sinusfunktion ohne Phasenverschiebung

$\Longrightarrow c=0$

Streckung um den Faktor $1,3$ in $y$ -Richtung

$\Longrightarrow a=1,3$

Abstand benachbarter Wendepunkte entspricht der halben Periodenlänge:

$\frac{p}{2}=2\pi$

$\Longrightarrow p=4\pi$

$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=\frac{1}{2}$

Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:

$f(x)=1,3\cdot\sin(\frac{1}{2}x)$

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