Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Graphisches Ableiten

Eine Funktion $f$ kannst du auch graphisch ableiten. Mit Hilfe der Eigenschaften von $f$ kannst du Aussagen über die erste Ableitung der Funktion $f$ machen.

f(x)	f‘(x)
Steigung positiv	Graph oberhalb der $x$ -Achse
Steigung negativ	Graph unterhalb der $x$ -Achse
Extremstellen	Nullstellen
Wendepunkte	Extrempunkte/ Sattelpunkte

Beispiel

Das Schaubild der Funktion $f$ wird graphisch abgeleitet.

Graph einer Funktion mit Achsen und mehreren Nullstellen, dargestellt in schwarz und grün.

Die unten stehenden Abbildungen stellen die Graphen der Ableitungsfunktionen der angegeben Funktionen dar.
Ordne die Abbildungen den passenden Funktionen zu.

$f(x)=x^2+2$
$g(x)=x^2+x+2$
$h(x)=\sqrt{x}$
$i(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
$k(x)=x^3$
$l(x)=-x^3$

(A)

Digitales Schulbuch Graphisches Ableiten Zuordnungen

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

Die Abbildungen zeigen jeweils den Graphen einer differenzierbaren Funktion $f.$
Zeichne jeweils den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$ in das Koordinatensystem der Abbildungen.

Hinweis: Hier eignet sich ein Export in Apps wie GoodNotes oder Notability.

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$f(x)=x^2+2$

$\( f$

Da es sich um eine lineare Funktion handelt bleibt nur noch (D) und (F) als mögliche Lösungen. Wegen $\(f$ ist Abbildung (F) die richtige.

$g(x)=x^2+x+2$

$\(g$

Da es sich um eine lineare Funktion handelt und Abbildung (F) bereits $f(x)$ zugeordnet ist, bleibt nur noch Abbildung (D) als mögliche Lösung.

$h(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\(h$

Da es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt, bleiben nur (B) und (E) als mögliche Lösungen. Da $\(f$ ist, bleibt nur noch Abbildung (E).

$i(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$

$\( i$

Da es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt, bleiben nur noch (B) und (E) als mögliche Lösungen. Da $\(i$ ist, bleibt nur noch Schaubild (B).

$k(x)=x^3$

$\(k$

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, bleiben nur noch (A) und (C) als mögliche Lösungen. Da $\( k$ ist, bleibt nur noch Schaubild (C).

$l(x)=-x^3$

$\( l$

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, bleibt nur noch Abbildung (A) als mögliche Lösung.

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, ist die Ableitungsfunktion eine lineare Funktion.

Graph der Funktion	Graph der Ableitungsfunktion
Tiefpunkt bei $x=-2$	Nullstelle
Monoton fallend für $x\leq 0$	Verläuft unterhalb der $x$ -Achse
Monoton steigend für $x\geq 0$	Verläuft oberhalb der $x$ -Achse
Steigungsdreieck bei $x_1=0,5$ einzeichnen ergibt die Steigung $2$	Funktionswert an der Stelle $x_1=0,5$ ist gleich $2$

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, ist die Ableitungsfunktion eine lineare Funktion.

Graph der Funktion	Graph der Ableitungsfunktion
Hochpunkt bei $x=0$	Nullstelle
Monoton steigend für $x\leq 0$	Verläuft oberhalb der $x$ -Achse
Monoton fallend für $x\geq 0$	Verläuft unterhalb der $x$ -Achse
Steigungsdreieck bei $x_1=-1$ einzeichnen ergibt die Steigung $2$	Funktionswert an der Stelle $x=-1$ ist gleich $2$

Da es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, ist die Ableitungsfunktion eine Funktion zweiten Grades.

Graph der Funktion	Graph der Ableitungsfunktion
Tiefpunkt bei $x=0$	Nullstelle
Hochpunkt bei $x=2$	Nullstelle
Monoton fallend für $x\leq 0$	Verläuft unterhalb der $x$ -Achse
Monoton steigend für $0\leq x\leq 2$	Verläuft oberhalb der $x$ -Achse
Monoton fallend für $x \geq 2$	Verläuft unterhalb der $x$ -Achse
Wendepunkt bei $x=1$	Lokales Maximum

Steigungsdreieck bei $x_1=1$ einzeichnen ergibt die Steigung $1,5.$ Das lokale Maximum von $\(f$ liegt also an der Stelle $(1\mid 1,5).$

Da es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, ist die Ableitungsfunktion eine Funktion zweiten Grades.

Graph der Funktion	Graph der Ableitungsfunktion
Hochpunkt bei $x=0$	Nullstelle
Monoton steigend für $x\leq 0$	Verläuft oberhalb der $x$ -Achse
Monoton fallend für $0\leq x\leq 2$	Verläuft unterhalb der $x$ -Achse
Tiefpunkt bei $x=2$	Nullstelle
Wendepunkt bei $x=1$	Lokales Minimum

Steigungsdreieck bei $x_1=1$ einzeichnen ergibt die Steigung $-1,5.$ Das lokale Maximum von $\(f$ liegt also an der Stelle $(1\mid -1,5).$

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