Stammfunktionen

Einführung

Eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ ist eine Funktion deren Ableitung mit $f$ übereinstimmt: $\( F$ . Die Integration kann daher sozusagen als Umkehr der Ableitung gesehen werden. Beachte dabei, dass jede Funktion mehrere Stammfunktionen hat.

Beispiel

$F(x) = x^4 + 2x^3$ ist eine Stammfunktion von $f(x) = 4\cdot x^3 + 6x^2$ , ebenfalls ist $G(x) = x^4 +2x^3+3$ eine Stammfunktion von $f$ .

Grundlegende Integrationsregel

Die grundlegende Integrationsregel gibt eine Formel dafür an, wie Stammfunkionen von Potenzfuntionen, wie beispielsweise Polynomen, gebildet werden. Ist die Funktion $f(x) = a\cdot x^b$ gegeben, so bildest du eine Stammfunktion von $f$ , indem du den Exponenten $b$ um eins erhöhst und den Vorfaktor $a$ durch diesen „neuen“ Exponenten teilst. Du kannst also alle Stammfunktionen von $f$ mit folgender Formel bilden:

$F(x)= \frac{a}{b+1}\cdot x^{b+1} +c$

Dabei ist $c$ eine Konstante, die nicht von $x$ abhängt und dadurch beim Ableiten wieder wegfällt. Daher sind die oben angegebenen Funktionen $F$ für jedes $c$ Stammfunktionen von $f$ .

Beispiel

$f(x) = x$

$\Rightarrow F(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2 + c$ mit $c\in \mathbb{R}$

Spezielle Stammfunktionen

$f(x) = \mathrm e^x$ $\Rightarrow F_c(x) = \mathrm e^x +c$
$f(x) = \sin(x)$ $\Rightarrow F_c(x) = -\cos(x) + c$
$f(x) = \cos(x)$ $\Rightarrow F_c(x) = \sin(x) + c$

Verkettete Funktionen

Es gibt auch eine hilfreiche Regel für das Bilden von Stammfunktionen von Funktionen der Form $f(x) = u\left(v(x)\right)$ . Allerdings nur, wenn die innere Funktion $v(x)$ linear ist, das bedeutet, dass dort $x$ nur in der Form $a\cdot x +c$ mit $a,c \in \mathbb{R}$ vorkommt. Die Stammfunktionen von $f$ werden dann wie folgt gebildet:

$\( F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v$

Beispiel

Schreibe dir bei einer solchen Aufgabe am besten zuerst $u(x)$ , $v(x)$ , $U(x)$ und $\( v$ auf.

$f(x) = 3\cdot (2x +3)^4$ $\Rightarrow F(x) = \frac{1}{5}\cdot 3 \cdot(2x +3)^5 \cdot \frac{1}{2} +c$ $= \frac{3}{10}\cdot(2x+3)^5 +c$

Tipp: Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du $F(x)$ ableitest.