Stammfunktionen

Einführung

Eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ ist eine Funktion deren Ableitung mit $f$ übereinstimmt: $\( F$ . Die Integration kann daher sozusagen als Umkehr der Ableitung gesehen werden. Beachte dabei, dass jede Funktion mehrere Stammfunktionen hat.

Beispiel

$F(x) = x^4 + 2x^3$ ist eine Stammfunktion von $f(x) = 4\cdot x^3 + 6x^2$ , ebenfalls ist $G(x) = x^4 +2x^3+3$ eine Stammfunktion von $f$ .

Grundlegende Integrationsregel

Die grundlegende Integrationsregel gibt eine Formel dafür an, wie Stammfunkionen von Potenzfuntionen, wie beispielsweise Polynomen, gebildet werden. Ist die Funktion $f(x) = a\cdot x^b$ gegeben, so bildest du eine Stammfunktion von $f$ , indem du den Exponenten $b$ um eins erhöhst und den Vorfaktor $a$ durch diesen „neuen“ Exponenten teilst. Du kannst also alle Stammfunktionen von $f$ mit folgender Formel bilden:

$F(x)= \frac{a}{b+1}\cdot x^{b+1} +c$

Dabei ist $c$ eine Konstante, die nicht von $x$ abhängt und dadurch beim Ableiten wieder wegfällt. Daher sind die oben angegebenen Funktionen $F$ für jedes $c$ Stammfunktionen von $f$ .

Beispiel

$f(x) = x$

$\Rightarrow F(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2 + c$ mit $c\in \mathbb{R}$

Spezielle Stammfunktionen

$f(x) = \mathrm e^x$ $\Rightarrow F_c(x) = \mathrm e^x +c$
$f(x) = \sin(x)$ $\Rightarrow F_c(x) = -\cos(x) + c$
$f(x) = \cos(x)$ $\Rightarrow F_c(x) = \sin(x) + c$

Verkettete Funktionen

Es gibt auch eine hilfreiche Regel für das Bilden von Stammfunktionen von Funktionen der Form $f(x) = u\left(v(x)\right)$ . Allerdings nur, wenn die innere Funktion $v(x)$ linear ist, das bedeutet, dass dort $x$ nur in der Form $a\cdot x +c$ mit $a,c \in \mathbb{R}$ vorkommt. Die Stammfunktionen von $f$ werden dann wie folgt gebildet:

$\( F(x)= U\left(v(x)\right)\cdot \frac{1}{v$

Beispiel

Schreibe dir bei einer solchen Aufgabe am besten zuerst $u(x)$ , $v(x)$ , $U(x)$ und $\( v$ auf.

$f(x) = 3\cdot (2x +3)^4$ $\Rightarrow F(x) = \frac{1}{5}\cdot 3 \cdot(2x +3)^5 \cdot \frac{1}{2} +c$ $= \frac{3}{10}\cdot(2x+3)^5 +c$

Tipp: Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du $F(x)$ ableitest.

Bilde eine Stammfunktion von $f$ (grundlegende Integrationsregeln).

$f(x)=x$

$f(x)=2x$

$f(x)=x^2$

$f(x)=2x^3$

$f(x)=-x^2$

$f(x)=x^{-1}$

$f(x)=2x^{-2}$

$f(x)=-5x^{-3}$

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^4$

$f(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2}$

$f(x)=x^{-5}$

$f(x)=\dfrac{1}{5}x^6$

Bilde eine Stammfunktion von $f$ (Exponentialfunktionen).

$f(x)=\mathrm e^x$

$f(x)=2\mathrm e^x$

$f(x)=\mathrm e^{2x}$

$f(x)=3\mathrm e^{2x}+2$

$f(x)=-\mathrm e^{-x}$

$f(x)=-2\mathrm e^{-4}$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x}$

$f(x)=-3\mathrm e^{5x}$

Bilde eine Stammfunktion von $f$ (trigonometrische Funktionen).

$f(x)=\sin(x)$

$f(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(2x)$

d) $f(x)=3\sin(4x)$

$f(x)=4\sin(2x)+3$

$f(x)=3\cos(4x)$

$f(x)=5\sin(4x)$

$f(x)=2\cos(3x)$

$f(x)=\cos\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)$

$f(x)=3\sin(4x-2)$

$f(x)=-5\cos(3x-4)$

$f(x)=\sin(3x+8)+\cos(2x)$

$f(x)=\sin(4-x)+\sqrt{2x}$

$f(x)=\sin(x) + x^3+\mathrm e^{-4x}$

$f(x)=\cos(4x-7)+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}$

$f(x)=\cos(5x+3)+\sin(3x)$

$f(x)=\cos(4+x)+\sqrt{3x+2}$

$f(x)=\sin(3x-5)+\mathrm e^{3x+1}$

Bilde eine Stammfunktion von $f$ (Ganzrationale Funktionen, Wurzelfunktionen).

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+2x$

$f(x)=x^2+4x^3$

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^3-2x$

$f(x)=5x-\dfrac{8}{x^2}$

$f(x)=(x^3-2)^2$

$f(x)=\dfrac{1}{4}(3x^2+x)$

$f(x)=\dfrac{1}{2}(3x^4+2x)^2$

$f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}+\sqrt{x}$

$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+1}-3x$

$f(x)=\dfrac{x-x^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}}$

$f(x)=(2x^3+1)^2+1$

$f(x)=\sqrt{-x-4}+5x$

$f(x)=\sqrt{2x+1}+5$

Bilde eine Stammfunktion von $f$ ( $\mathrm{e}$ -/ $\ln$ - Funktionen).

$f(x)=\dfrac{2}{3}x^4+\mathrm e^{2x}$

$f(x)=2x+\mathrm e^{x+1}+\sqrt {x}$

$f(x)=3(x^2-5\mathrm e^{2x})$

$f(x)=(x+2)^3+\mathrm e^{-3x}$

$f(x)=-\dfrac{1}{3}x^2+2\mathrm e^x$

$f(x)=\sqrt{4x-7}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}$

$f(x)=4(x^3-5\mathrm e^{3x})$

$f(x)=5x+\mathrm e^{-3x}$

$f(x)=5(x^4-5\mathrm e^{7x})$

$f(x)=x^{-3}+\dfrac{3}{x}$

$f(x)=\dfrac{5}{3+x}+\dfrac{3+x}{5}$

$f(x)=x^5+\dfrac{x}{2x^2}+7$

$f(x)=\dfrac{4-x^2}{x^3}$

$f(x)=x^{-3}+\dfrac{3}{x+2}$

$f(x)=(2x^2+1)^2+\dfrac{1}{2x+3}$

$f(x)=\dfrac{2}{4-3x}-\cos(3x+1)$

$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=4x+4\mathrm{e}^{-2x}$ . Der Punkt $(0|2)$ liegt auf dem Schaubild von $G$ . Bestimme einen Funktionsterm von $G$ .

$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=2\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}+3x^2$ . Der Punkt $(0|0)$ liegt auf dem Schaubild von $G$ . Bestimme einen Funktionsterm von $G$ .

$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=2x^4+\dfrac{1}{x^2}-2\mathrm{e}^{-3x}$ . Bestimme einen möglichen Funktionsterm von $G$ .

$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=3x^3-\cos(2x+1)$ . Gib einen möglichen Funktionsterm von $G$ an.

10.

$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x) = 4x - \dfrac{1}{2} \sin(2x)$ . Der Punkt $(0|1)$ liegt auf dem Schaubild von $G$ . Bestimme einen Funktionsterm von $G$ .

11.

$G$ ist eine Stammfunktion der Funktion $g$ mit $g(x)=2\cdot\cos(4x)-(x+1)^2$ . Der Punkt $(0|2)$ liegt auf dem Schaubild von $G$ . Bestimme einen Funktionsterm von $G$ .

12.

Gib eine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ mit $f(x) =\dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}\sin(4x)$ an.

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x\\[5pt] F(x)&=x^2\cdot \dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}x^2 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x\\[5pt] F(x)&=2x^2 \cdot \dfrac{1}{2}\\[5pt] &=x^2 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^2\\[5pt] F(x)&=x^3\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\dfrac{1}{3}x^3 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x^3\\[5pt] F(x)&=2x^4\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}x^4 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-x^2\\[5pt] F(x)&=(-x^3)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3}x^3 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-1}\\[10pt] F(x)&=\ln(\left|x\right|) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x^{-2}\\[5pt] F(x)&=2x^{-1}\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\[5pt] &=-2x^{-1} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-5x^{-3}\\[5pt] F(x)&=(-5x^{-2})\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}x^{-2} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{2}x^4\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{2}x^5\cdot\dfrac{1}{5}\\[5pt] &=\dfrac{1}{10}x^5 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{3}x^{-2}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}x^{-1}\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3}x^{-1} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-5}\\[5pt] F(x)&=x^{-4}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\\[5pt] &=-\dfrac{1}{4}x^{-4} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{5}x^6\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{5}x^7\cdot\dfrac{1}{7}\\[5pt] &=\dfrac{1}{35}x^7 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\mathrm e^x\\[5pt] F(x)&=\mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{1}\\[5pt] &=\mathrm e^x \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2\mathrm e^x\\[5pt] F(x)&=2\mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{1}\\[5pt] &=2\mathrm e^x \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=\mathrm e^{2x}\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\mathrm e^{2x}+2\\[5pt] F(x)&=3\mathrm e^{2x}\cdot\dfrac{1}{2} + 2x\\[5pt] &=\dfrac{3}{2}\mathrm e^{2x} + 2x \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-\mathrm e^{-x}\\[5pt] F(x)&=(-\mathrm e^{-x})\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\[5pt] &=\mathrm e^{-x} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-2\mathrm e^{-4}\\[10pt] F(x)&=-2\mathrm e^{-4}x\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x}\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{4}\mathrm e^{2x} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-3\mathrm e^{5x}\\[5pt] F(x)&=(-3\mathrm e^{5x})\cdot\dfrac{1}{5}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{5}\mathrm e^{5x} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(x)\\[5pt] F(x)&=(-\cos(x))\cdot\dfrac{1}{1}\\[5pt] &=-\cos(x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(x)\\[5pt] F(x)&=\sin(x) \cdot\dfrac{1}{1}\\[5pt] &=\sin(x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(2x)\\[5pt] F(x)&=\sin(2x)\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\sin(2x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\sin(4x)\\[5pt] F(x)&=(-3\cos(4x))\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{4}\cos(4x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4\sin(2x)+3\\[5pt] F(x)&=(-4\cos(2x))\cdot\dfrac{1}{2}+3x\\[5pt] &=-2\cos(2x)+3x \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\cos(4x)\\[5pt] F(x)&=3\sin(4x)\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}\sin(4x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5\sin(4x)\\[5pt] F(x)&=(-5\cos(4x))\cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=-\dfrac{5}{4}\cos(4x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2\cos(3x)\\[5pt] F(x)&=2\sin(3x)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\dfrac{2}{3}\sin(3x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)\\[5pt] F(x)&=\sin\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)\cdot\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\[5pt] &=2\sin\left(\dfrac{1}{2}x+2\right) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3\sin(4x-2)\\[5pt] F(x)&=-3\cos(4x-2) \cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{4}\cos(4x-2) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-5\cos(3x-4)\\[5pt] F(x)&=-5\sin(3x-4)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=-\dfrac{5}{3}\sin(3x-4) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(3x+8)+\cos(2x)\\[5pt] F(x)&=-\cos(3x+8)\cdot\dfrac{1}{3}+\\ & \sin(2x)\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3}\cos(3x+8) + \dfrac{1}{2}\sin(2x) \end{array}$

$\begin{array}{lllllll} f(x)&=\sin(4-x)+\sqrt{2x}\\[5pt] &=\sin(4-x)+(2x)^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=-\cos(4-x)\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\ &+(2x)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=-\cos(4-x)\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right)\\ &+(2x)^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\cos(4-x)+\dfrac{1}{3}(2x)^{\frac{3}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(x) + x^3+\mathrm e^{-4x}\\[5pt] F(x)&=-\cos(x)+x^4\cdot\dfrac{1}{4}\\ & +\mathrm e^{-4x}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\\[5pt] &=-\cos(x)+\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{-4x} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(4x-7)+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] F(x)&=\sin(4x-7)\cdot\dfrac{1}{4}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\cdot\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{4}\sin(4x-7)+2\mathrm e^{\frac{1}{2}x} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(5x+3)+\sin(3x)\\[5pt] F(x)&=\sin(5x+3)\cdot\dfrac{1}{5}-\cos(3x)\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\dfrac{1}{5}\sin(5x+3)-\dfrac{1}{3}\cos(3x) \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\cos(4+x)+\sqrt{3x+2}\\[5pt] &=\cos(4+x)+(3x+2)^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=\sin(4+x)+(3x+2)^{\frac{3}{2}}\\ & \cdot\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\sin(4+x)+(3x+2)^{\frac{3}{2}}\\ & \cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=\sin(4+x)+\dfrac{2}{9}(3x+2)^{\frac{3}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\sin(3x-5)+\mathrm e^{3x+1}\\[5pt] F(x)&=-\cos(3x-5)\cdot\dfrac{1}{3}+\mathrm e^{3x+1}\cdot\dfrac{1}{3}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{3} \cos(3x-5) + \dfrac{1}{3} \mathrm e^{3x+1} \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+2x\\[5pt] F(x) =-\dfrac{1}{8}x^4+x^2 \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^2+4x^3\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}x^3+x^4 \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{1}{2}x^3-2x\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{2}x^4\cdot\dfrac{1}{4}-2x^2\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{1}{8}x^4-x^2 \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x-8x^{-2}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{8}{x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^6-4x^3+4\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{7}x^7-x^4+4x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{1}{4}x\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{1}{8}x^2 \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)=\dfrac{1}{2} (9x^8+12x^5+4x^2)\\[5pt] F(x)=\dfrac{1}{2} \left(x^9+2x^6+\dfrac{4}{3}x^3\right) \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x+1+x^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-2x-1\\[5pt] F(x)&=-x^2-x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{\frac{1}{2}}-x^{2}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}x^{3} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4x^6+4x^3+1+1\\[5pt] F(x)&=\dfrac{4}{7}x^7+x^4+2x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(2x+1)^{\frac{1}{2}}+5\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+5x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{3}x^4+\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=2x+\mathrm e^{x+1}+x^{\frac{1}{2}}\\[5pt] F(x)&=x^2+\mathrm e^{x+1}+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=3x^2-15\mathrm e^{2x}\\[5pt] F(x)&=x^3-\dfrac{15}{2}\mathrm e^{2x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(x+2)^3+\mathrm e^{-3x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{4}(x+2)^4-\dfrac{1}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=-\dfrac{1}{3}x^2+2\mathrm e^x\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{9}x^3+2\mathrm e^x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=(4x-7)^{\frac{1}{2}}+\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{6}(4x-7)^{\frac{3}{2}} +2\mathrm e^{\frac{1}{2}x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4x^3-20\mathrm e^{3x}\\[5pt] F(x)&=x^4-\dfrac{20}{3}\mathrm e^{3x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x+\mathrm e^{-3x}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{1}{3}\mathrm e^{-3x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=5x^4-25\mathrm e^{7x}\\[5pt] F(x)&=x^5-\dfrac{25}{7}\mathrm e^{7x} \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-3}+\dfrac{3}{x}\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{2} x^{-2}+3\ln(\left|x\right|) \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{5}{3+x}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{x}{5}\\[5pt] F(x)&=5\ln(\left|3+x\right|)+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{10}x^2 \end{array}$

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^5+\dfrac{1}{2x}+7\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{6}x^6 +\dfrac{1}{2}\ln(\left|2x\right|)+7x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^5+\dfrac{1}{2x}+7\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{6}x^6 +\dfrac{1}{2}\ln(\left|2x\right|)+7x \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=x^{-3}+\dfrac{3}{x+2}\\[5pt] F(x)&=-\dfrac{1}{2x^{2}}+3\ln(\left|x+2\right|) \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=4x^4+4x^2+1 +\dfrac{1}{2x+3}\\[5pt] F(x)&= \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{4-3x}-\cos(3x+1)\\[5pt] F(x)&= \end{array}$

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1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden

$\begin{array}{llllllll} G(x)&=4x^{2}\cdot\dfrac{1}{2}+4\mathrm e^{-2x}\cdot\left(\dfrac{1}{-2}\right)+c\\ &=2x^2-2\mathrm e^{-2x}+c \end{array}$

2. Schritt: Wert für c bstimmen

Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid2)$ ein in $G(x)$ und löse nach $c$ auf:

$\begin{array}{rlllllll} G(0)=2&=2\cdot0^2-2\mathrm{e}^{0}+c\\[5pt] 2&=-2+c\\[5pt] 4&=c \end{array}$

Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=2x^2-2\mathrm{e}^{-2x}+4$ .

1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden

$\begin{array}{rlllllll} G(x)&=2\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\cdot\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}+3x^3\cdot\dfrac{1}{3}+c\\[5pt] &=2\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\cdot(-2)+x^3+c\\[5pt] &=-4\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}+x^3+c \end{array}$

2. Schritt: Wert für c bstimmen

Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid0)$ in $G(x)$ ein und löse nach $c$ auf:

$\begin{array}{rlllllll} G(0)=0&=-4\mathrm e^0+0+c\\[5pt] &=-4+c\\[5pt] c&=4 \end{array}$

Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=-4\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}+x^3+4$ .

$\begin{array}{llllllll} g(x)&=2x^4+\dfrac{1}{x^2}-2\mathrm e^{-3x}\\[5pt] g(x)&=2x^4+x^{-2}-2\mathrm e^{-3x}\\[5pt] G(x)&= \end{array}$

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$\begin{array}{llllllll} G(x)&=3x^4\cdot\dfrac{1}{4}-\sin\left(2x+1\right)\cdot\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}x^4-\dfrac{1}{2}\sin(2x+1) \end{array}$

10.

1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden

$\begin{array}{llllllll} G(x)&= \end{array}$

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2. Schritt: Wert für c bstimmen

Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid1)$ in $G(x)$ ein und löse nach $c$ auf:

$\begin{array}{rlllllll} G(0)=1&=2\cdot0+\dfrac{1}{4}\cos(0)+c\\[5pt] 1&=0+\dfrac{1}{4}+c\\[5pt] c&=\dfrac{3}{4} \end{array}$

Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=2x^2 + \dfrac{1}{4} \cos(2x)+\dfrac{3}{4}$ .

11.

1. Schritt: Term der Stammfunktion von g bilden

$\begin{array}{rlllllll} G(x)&= \end{array}$

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2. Schritt: Wert für c bstimmen

Setze die Koordinaten des Punktes $(0\mid2)$ in $G(x)$ ein und löse nach $c$ auf:

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Die gesuchte Stammfunktion ist somit $G(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\sin(4x)-\dfrac{1}{3}(x+1)^3+\dfrac{7}{3}$ .

12.

$\begin{array}{llllllll} f(x)&=\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{2}\sin(4x)\\[5pt] f(x)&=2x^{-2}-\dfrac{1}{2}\sin(4x)\\[5pt] F(x)&= \end{array}$

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