Newtonsches Verfahren

Das Newtonsche Verfahren oder Newtonverfahren, ist ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der Nullstelle einer differenzierbaren Funktion. Dieses Verfahren ist ein iteratives Verfahren, das heißt, man versucht sich stets der Nullstelle der Funktion mittels Tangenten anzunähern (siehe Skizze).

Grafik eines Diagramms mit einer grünen Kurve und gitterförmigem Hintergrund.

Die allgemeine Formel für das Verfahren lautet:

$x_{n+1}=x_n- \dfrac{f(x_n)}{f‘(x_n)}$

Das Verfahren kannst du ausgehend von einem Startwert $x_0$ so lange durchführen, bis die gewünschte Genauigkeit der Nullstelle erreicht ist.
Musst du dir selbst einen Startwert für das Verfahren suchen, so kannst du einfach nach einem Vorzeichenwechsel der Funktion suchen und einen Wert der sich in dessen Nähe befindet als Startwert auswählen.

Beispiel

In diesem Beispiel werden wir die Nullstelle von $f(x)=x^2$ mit Hilfe des Newtonverfahrens annähern. Die Nullstelle von $f(x)$ ist bekanntlich $x=0$ . Wir werden nun ausgehend vom Startwert $x=2$ vier Schritte des Newtonverfahrens durchführen.

Zunächst bestimmen wir die allgemeine Iterationsformel, wozu wir zunächst nur $f‘(x)=2x$ berechnen müssen. Einsetzen von $f(x)$ und $f‘(x)$ liefert dir:

$x_{n+1}=x_n- \dfrac{f(x_n)}{f‘(x_n)}$ $=x_n-\dfrac{x_n^2}{2x_n}=x_n-\dfrac{x_n}{2}$

Für $x_1$ gilt daher nach einsetzen von $x_0$ :

$x_1=x_0-\dfrac{x_0}{2}=2-\dfrac{2}{2}=1$

$x_2=x_1-\dfrac{x_1}{2}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

$x_3=x_2-\dfrac{x_2}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$

$x_4=x_3-\dfrac{x_3}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\frac{1}{4}}{2}=\dfrac{1}{8}$