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Mündliche Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wurzelfunktionen

Bevor du die Wurzelfunktion ableitest, solltest du sie in die Exponentenschreibweise umschreiben.

$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Jetzt kannst du die Potenzregel anwenden um die Funktion abzuleiten:

$\begin{array}[t]{rll} & f(x)&=& x^{\frac{1}{n}}& \\[5pt] &f‘(x)&= &\dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1} \\[5pt] &&= &\dfrac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} . \end{array}$

Mit den anderen bekannten Ableitungsregeln, Ketten-, Produkt- und Quotientenregel, kannst du alle Wurzelfunktionen ableiten.

Beispiel

$f(x)= \sqrt{x^2+x}$ $\Rightarrow$ Kettenregel

$g(x)= \sqrt{x}= x^{\frac{1}{2}}$ $\Rightarrow$ $g‘(x)= \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$
$h(x)=x^2+x$ $\Rightarrow$ $h‘(x)=2x+1$

$\Rightarrow f‘(x) = (2x+1)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x}}$

1.

Leite folgende Funktionen einmal ab.

a)

$f(x)=\sqrt{x}$

b)

$f(x)=2\sqrt{x}$

c)

$f(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}+3$

d)

$f(x)=\dfrac{3}{4}\sqrt{x}+x^2$

e)

$f(x)=4\sqrt{2x}$

f)

$f(x)=\sqrt{x^2+1}$

2.

Leite folgende Funktionen einmal ab.

a)

$f(x)=\sqrt{4x}\cdot3$

b)

$f(x)=2x\cdot\sqrt{x}$

c)

$f(x)=\dfrac{1}{2}x\cdot\sqrt{2x}$

d)

$f(x)=\dfrac{1}{4}x\cdot\sqrt{2x+1}$

3.

Leite folgende Funktionen zweimal ab.

a)

$f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}\sqrt{3x^2}$

b)

$f\left(x\right)=x\sqrt{x}$

c)

$f\left(x\right)=x\sqrt{x^3}$

d)

$f\left(x\right)=\mathrm e^x\sqrt{x}$

e)

$f\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\right)^{-2}$

4.

Leite folgende Funktionen einmal ab.

a)

$f(x)=\sqrt{x^2+9}$

b)

$f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{3}x^2+3x}$

c)

$f(x)=\sqrt{2x^2-4x}$

d)

$f(x)=\sqrt{x^5-x^4}$

e)

$f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{8}x^4+6x^2}$

f)

$f(x)=(\sqrt{x}+4)^2$

g)

$f(x)=(\sqrt{x+2}-2x)^2$

h)

$f(x)=2x\sqrt{x^2+9}$

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1.

Die Funktionen einmal ableiten

a)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\sqrt{x}&\quad\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot1&\quad\\[4pt] =&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

b)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&2\sqrt{x}&\quad\\[4pt] f‘(x)=&2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot1&\quad\\[4pt] =&\dfrac{1}{\sqrt{x}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

c)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\dfrac{1}{2}\sqrt{x}+3&\quad\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot1&\quad\\[4pt] =&\dfrac{1}{4\sqrt{x}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

d)

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)=&\dfrac{3}{8\sqrt{x}}+2x&\quad\\[4pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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e)

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&4\sqrt{2x}&\quad\\[4pt] =&4\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}\\[4pt] f‘(x)=&4\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}&\quad\\[4pt] =&\dfrac{4}{\sqrt{2x}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&4\sqrt{2x}&\quad\\[4pt] f‘(x)=&4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot (2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot2&\quad\\[4pt] =&\dfrac{4}{\sqrt{2x}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

f)

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)=&\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2.

Die Funktionen einmal ableiten

a)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\sqrt{4x}\cdot3\\[4pt] =&6\sqrt{x}&\quad\\[4pt] f‘(x)=&6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot1&\quad\\[4pt] =&\dfrac{3}{\sqrt{x}}&\quad\\[4pt] \end{array}$

b)

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Zusammenfassen):

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&2x\cdot\sqrt{x}&\quad\\[4pt] =&2x^{\frac{3}{2}}\\[4pt] f‘(x)=&2\cdot\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\\[4pt] =&3\sqrt{x}\\[4pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (nach Produktregel):

$f‘(x)=3\sqrt{x}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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c)

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Zusammenfassen):

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\dfrac{1}{2}x\cdot\sqrt{2x}&\quad\\[4pt] =&\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}}\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}\\[4pt] =&\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{2}}\\[4pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (nach Produktregel):

$f‘(x)=\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{2}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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d)

$f‘(x)=\dfrac{3x+1}{4\sqrt{2x+1}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3.

Die Funktionen zweimal ableiten

a)

$f‘‘\left(x\right)=0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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b)

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Zusammenfassen):

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&x\sqrt{x}&\quad\\[4pt] =&x^{\frac{3}{2}}\\[4pt] f‘\left(x\right)=&\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\\[4pt] f‘‘\left(x\right)=&\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\\[4pt] =&\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\\[4pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (nach Produktregel):

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&x\sqrt{x}&\quad\\[4pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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c)

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Zusammenfassen):

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&x\sqrt{x^3}&\quad\\[4pt] =&x^{\frac{5}{2}}\\[4pt] f‘\left(x\right)=&\dfrac{5}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}\\[4pt] f‘‘\left(x\right)=&\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\\[4pt] =&\dfrac{15}{4}\sqrt{x}\\[4pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (nach Produktregel):

$f‘‘=\dfrac{15}{4}\sqrt{x}$

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d)

$f‘‘=e^x[\dfrac{4x^2+4x-1}{4x\sqrt{x}}]$

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e)

$f‘‘=\dfrac{2}{x^3}$

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4.

Die Funktionen einmal ableiten

a)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\sqrt{x^2+9}\\[4pt] =&\left(x^2+9\right)^{\frac{1}{2}}&\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{2}(x^2+9)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x & \\[4pt] =&\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}& \\[4pt] \end{array}$

b)

$f‘(x)=\dfrac{\dfrac{2}{3}x+3}{2\sqrt{\dfrac{1}{3}x^2+3x}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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c)

$f‘(x)=\dfrac{2x-2}{\sqrt{2x^2-4x}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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d)

$f‘(x)=\dfrac{5x^4-4x^3}{2\sqrt{x^5-x^4}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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e)

$f‘(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{8}x^4+6x^2\right)^{-\frac{1}{2}}...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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f)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&(\sqrt{x}+4)^2&\\[4pt] f‘(x)=&2(\sqrt{x}+4)\cdot\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} & \\[4pt] =&\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\\[4pt] =&1+\dfrac{4}{\sqrt{x}}& \\[4pt] \end{array}$

g)

$f‘(x)=2(\sqrt{x+2}-2x)...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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h)

$f‘(x)=2\cdot\sqrt{x^2+9}+...$

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i)

$f‘(x)=4x^3(\sqrt{x^4-4}+...)$

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j)

$f‘(x)=2\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot x\sqrt{x}...$

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k)

$f‘(x)=\dfrac{ax-2a}{\sqrt{ax^{2}-4ax}}$

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l)

$f‘(x)=6ax\cdot\sqrt{ax^3}+...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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