Parameterform

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch drei verschiedene Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, vollständig definiert werden: Sind beispielsweise drei Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ , $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ und $C(c_1 \mid c_2 \mid c_3)$ gegeben, die in der Ebene $E$ liegen sollen, so kann die Gleichung dieser Ebene in Parameterform wie folgt angegeben werden:

$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Hierbei versteht man unter

$\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Ebene $E$ , der die Verschiebung im Raum angibt
$\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ die Spannvektoren der Ebene $E$ , die die Ebene aufspannen
$t$ , $s$ reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können.

Grafik eines 3D-Dreiecks im Koordinatensystem mit Punkten A, B, C und Vektoren u, v, w.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 0 \mid 0)$ , $B(4 \mid 2 \mid 3)$ und $C(0 \mid 1 \mid 2)$ .
Zuerst legen wir fest, dass der Vektor $\overrightarrow{OA}$ Stützvektor und $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ Spannvektoren sein sollen. Du kannst auch $\overrightarrow{OB}$ oder $\overrightarrow{OC}$ als Stützvektor wählen, dadurch erhältst du dieselbe Ebene im Raum.

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \;$ $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}, \;$ $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
Durch Einsetzen erhältst du die Ebenengleichung von $E$ in Parameterform:

$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB} + ...$

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Gesucht ist eine Ebenengleichung in Parameterform

$E: \; \overrightarrow{x} = \underbrace{\overrightarrow{p}}_{\text{Stützvektor}} +\overbrace{s\cdot\overrightarrow{u}+t\cdot\overrightarrow{v}}^{\text{Spannvektoren}}$ .

Eine mögliche Parametergleichung von $E$ lautet:

$A(2\mid1\mid2)$ , $B(4\mid0\mid2)$ , $C(1\mid1\mid4)$ :

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{u}=&...\\[5pt] \overrightarrow{v}=&... \end{array}$

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Als Stützvektor $\overrightarrow{p}$ kann man z.B. den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A(2\mid1\mid2)$ verwenden.

Eingesetzt in die Ebenengleichung erhält man

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$D\left(-\frac{1}{2}\mid0\mid3\right)$ , $E\left(-1\mid\frac{3}{2}\mid-1\right)$ , $F\left(\frac{3}{2}\mid2\mid3\right)$ :

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{u}=& ...\\[5pt] \overrightarrow{v}=& ... \end{array}$

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Als Stützvektor $\overrightarrow{p}$ kann man z.B. den Ortsvektor $\overrightarrow{OD}$ von $D(-\frac{1}{2}\mid0\mid3)$ verwenden.

Multipliziert man $\overrightarrow{u}$ noch mit $2$ erhält man die Ebenengleichung

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -3 \\ 8 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

Um zu überprüfen, ob $P$ in $E$ liegt, setzt man $\overrightarrow{OP}$ in $E$ ein.

$P(-3\mid3\mid4)$ ;

$\;E$ : $\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array} -5 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$ = $s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

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Nun stellt man ein lineares Gleichungssystem oder eine Matrix auf:

$\begin{array}{lrcrcrl} Ⅰ&-1s&+&3t&=&-5&\\[5pt] Ⅱ&2s&+&2t&=&2&\\[5pt] Ⅲ&1s&+&0\cdot t&=&2&\\ \end{array}$

Aus Ⅲ folgt $s=2$ . $s$ in Ⅱ liefert uns:

$\begin{array}[t]{rll} 4+2t=&2&\quad\mid-4\\[5pt] 2t=&-2&\quad\mid:2\\[5pt] t=&-1&\quad\\ \end{array}$

$s$ und $t$ in Ⅰ eingesetzt:

$(-1)\cdot 2+3\cdot(-1)$ = $-5$

Somit sind alle drei Gleichungen erfüllt, also liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$ .

$P(2\mid1\mid2)$ ;

$\;E$ : $\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array} 3 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ = $s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

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Nun stellt man ein lineares Gleichungssystem oder eine Matrix auf:

$\begin{array}{lrcrcrl} Ⅰ&1s&+&0t&=&3&\\[5pt] Ⅱ&2s&+&t&=&1&\\[5pt] Ⅲ&0s&+&t&=&1&\quad \\ \end{array}$

Aus Ⅰ folgt $s=3$ . Aus Ⅲ folgt $t=1$

$t$ und $s$ in Ⅱ liefert uns:

$6+1=1\;$ $\rightarrow$ falsche Aussage

Somit ist das LGS nicht lösbar, also liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ .

Um zu überprüfen für welches $r$ , $P$ in $E$ liegt, setzt man zunächst $\overrightarrow{OP}$ in $E$ ein.

$P(4\mid r\mid9)$ ;

$\;E$ : $\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ r-2 \\ 9 \\ \end{array}} \right)$ = $s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

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Nun stellt man ein LGS oder eine Matrix auf:

$\begin{array}{lrcrcrl} Ⅰ&2s&-&t&=&3&\\[5pt] Ⅱ&s&+&2t&=&r-2&\\[5pt] Ⅲ&0&+&3t&=&9&\\ \end{array}$

Aus Ⅲ folgt $t=3$ . $t$ in Ⅰ liefert uns:

$\begin{array}[t]{rll} 2s-3=&3&\quad\mid+3\\[5pt] 2s=&6&\quad\mid:2\\[5pt] s=&3&\quad\\ \end{array}$

$s$ und $t$ in Ⅱ eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 1+3\cdot2=&r-2&\quad\mid+2\\[5pt] 11=&r&\\ \end{array}$

Somit sind für $r=11$ alle drei Gleichungen erfüllt. Also liegt für $r=11$ der Punkt $P$ in der Ebene $E$ .

$P(2\mid4\mid0)$ ;

$\;E$ : $\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ r \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$ = $s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ r \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

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Nun stellt man ein LGS oder eine Matrix auf:

$\begin{array}{lrcrcrl} Ⅰ&1s&+&1t&=&-1&\\[5pt] Ⅱ&r\cdot s&+&2t&=&2&\\[5pt] Ⅲ&0\cdot s&+&2t&=&-2&\quad \\ \end{array}$

Aus Ⅲ folgt $t=-1$ . $t$ in Ⅰ liefert uns:

$\begin{array}[t]{rll} s-1=&-1&\quad\mid+1\\[5pt] s=&0&\quad\\ \end{array}$

$s$ und $t$ in Ⅱ eingesetzt: $r\cdot0-2\neq2$

Somit ist das LGS nicht lösbar. Damit liegt für alle $r\in\mathbb{R}$ der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ .

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