Arithmetrische und geometrische Folge

Man unterscheidet zwischen arithmetischen und geometrischen Zahlenfolgen.

Für arithmetische Folgen gilt: Die Differenz $d$ zwischen zwei benachbarten Gliedern ist immer gleich.

$a_{n+1}-a_n=d$ , wobei d konstant ist

Geometrische Folgen sind dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient $q$ zweier aufeinander folgender Glieder immer gleich ist.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$ , wobei q konstant ist

Beispiele

$a_n=-2n+1$
Die ersten Glieder dieser Folge lauten: $-1, -3, -5, -7, -9, ...$
Diese Zahlenfolge ist arithmetisch, da gilt: $a_{n+1}-a_n=-2$

$a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n$
Die ersten Glieder dieser Folge lauten: $-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{32}...$
Diese Zahlenfolge ist geometrisch, da gilt: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-\dfrac{1}{2}$

$a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$

Verdacht: geometrische Folge

Zu zeigen: $\dfrac{a_{3}}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&-\dfrac{1}{8}& \\ a_2=&\dfrac{1}{4}& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(-\frac{1}{2}\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}{\left(-\frac{1}{2}\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&-\dfrac{1}{2}& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}& \\ =&-\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4}{1}& \\ \dfrac{a_3}{a_2}=&-\dfrac{1}{2}& \\ \end{array}$

Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.

$a_n=4+3n$

Verdacht: arithmetische Folge

Zu zeigen: $a_3-a_2=a_{n+1}-a_n=q$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&13& \\ a_2=&10& \\ \end{array}$

$a_{n+1}-a_n=3$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&13-10& \\ =&3& \\ \end{array}$

Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.

$a_n=\left(n+1\right)^2$

Verdacht: Weder noch

Zu zeigen: $a_3-a_2\neq a_{n+1}-a_n$ und $\dfrac{a_3}{a_2}\neq\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&16& \\ a_2=&9& \\ \end{array}$

$a_{n+1}-a_n=2n+3$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&16-9& \\ =&7& \\ \end{array}$

Es handelt sich nicht um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern abhängig von $n$ und nicht immer die selbe Zahl ist.

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(n+2\right)^2}{\left(n+1\right)^2}& \\ =&\dfrac{n^2+4n+4}{n^2+2n+1}& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{16}{9}& \\ \end{array}$

Es handelt sich nicht um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern abhängig von $n$ und nicht immer die selbe Zahl ist.

$a_n=\left(1+n\right)+2$

Verdacht: arithmetische Folge

Zu zeigen: $a_3-a_2=a_{n+1}-a_n=q$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&6& \\ a_2=&5& \\ \end{array}$

$a_{n+1}-a_n=1$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&6-5& \\ =&1& \\ \end{array}$

Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.

$a_n=2\cdot4^n$

Verdacht: geometrische Folge

Zu zeigen: $\dfrac{a_{3}}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&128& \\ a_2=&32& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{2\cdot4^{n+1}}{2\cdot4^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{2\cdot4^n\cdot4}{2\cdot4^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&4& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{128}{32}& \\ \dfrac{a_3}{a_2}=&4& \\ \end{array}$

Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.

$a_n=\left(-2\right)^n$

Verdacht: geometrische Folge

Zu zeigen: $\dfrac{a_{3}}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&-8& \\ a_2=&4& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-2\right)^{n+1}}{\left(-2\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-2\right)^n\cdot\left(-2\right)}{\left(-2\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&-2& \\ \end{array}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{-8}{4}& \\ \dfrac{a_3}{a_2}=&-2& \\ \end{array}$

Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.

$a_n=8-2n$

Verdacht: arithmetische Folge

Zu zeigen: $a_3-a_2=a_{n+1}-a_n=q$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&2& \\ a_2=&4& \\ \end{array}$

$a_{n+1}-a_n=-2$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&2-4& \\ =&-2& \\ \end{array}$

Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.

Für geometrische Folgen gilt die allgemeine Gleichung $a_n=a_0\cdot q^n$ .
Für arithmetische Folgen gilt die allgemeine Gleichung $a_n=a_0+d\cdot n$ .

$3,9,27,81,...$

Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger verdreifacht wird. Es handelt sich also um eine geometrische Folge. Der Anfangswert $a_0$ lautet $1$ .

$a_n=1\cdot3^n$

$3,5,7,9,11,...$

Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger um 2 erhöht wird. Es handelt sich also um eine arithmetische Folge. Der Anfangswert $a_0$ lautet $1$ . Wir können also schreiben:

$a_n=1+2n$

$4,2,1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},...$

Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger halbiert, d.h. mit $\dfrac{1}{2}$ multipliziert wird. Es handelt sich also um eine geometrische Folge. Der Anfangswert $a_0$ lautet $8$ . Wir können also schreiben:

$a_n=8\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$41,54,67,80,...$

Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger um 13 erhöht wird. Es handelt sich also um eine arithmetische Folge. Der Anfangswert $a_0$ lautet $28$ . Wir können also schreiben:

$a_n=28+13n$

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