Wurzelfunktionen

Wenn du den Graphen einer Quadratwurzelfunktion zeichnen willst, beachte folgende Punkte:

Die Quadratwurzelfunktion $y = \sqrt{x}$ ist nur für positive Zahlen definiert. Ihr Graph beginnt im Punkt $(0|0)$ und ist streng monoton steigend.

Graph der Quadratwurzelfunktion mit der Bezeichnung √x in grün auf einem Koordinatensystem.

Der Graph wird entlang der $y$ -Achse nach oben verschoben, wenn eine Konstante $c$ zu $f(x)$ addiert wird, nach unten, wenn die Konstante $c$ subtrahiert wird: $\sqrt{x} \pm c$ . Verschiebungen nach rechts finden statt, wenn unter der Wurzel eine Kostante $c$ subtrahiert wird, nach links, wenn die Konstante $c$ addiert wird: $\sqrt{x \pm c}$

Wird die Funktion mit einem Faktor $n \gt 1$ multipliziert, streckst du den Graph entlang der $y$ -Achse, ist der Faktor $n \lt 1$ , stauchst du den Graph entlang der $y$ -Achse: $n \cdot \sqrt{x}$

Der Graph wird an der $x$ -Achse gespiegelt, wenn ein negatives Vorzeichen vor die Funktion geschrieben wurde: $-\sqrt{x}$ . Du spiegelst die Funktion an der $y$ -Achse, wenn unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen steht $\sqrt{-x}$ . In diesem Fall dürfen für $x$ dann nur negative Werte eingesetzt werden.

Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme den Definitionsbereich.

$y=\sqrt{x+1}$

$y=-\sqrt{x-1}$

$y=\sqrt{x+3}-2$

$y=\sqrt{2x-1}-1$

$y=-\frac{1}{2}\sqrt{x}-1$

$y=\sqrt{2x}+2$

Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervorgeht.

$y=\sqrt{x+1}$

$y=-\sqrt{2x+1}$

$y=\sqrt{2x}+1$

$y=\sqrt{x-1}-1$

$y=-2\sqrt{-x}$

$y=\sqrt{2x}+3$

Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.

$y=\sqrt{x}$

Verschiebung um 1 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und um 3 LE in positive y-Richtung („nach oben“)

$y=-\sqrt{x+1}$

Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in positive y-Richtung („nach oben“)

$y=\sqrt{2x+1}-1$

Verschiebung um 2 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in negative y-Richtung („nach unten“)

$y=\sqrt{-x}$

Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der x-Achse

$y=\sqrt{x-1}-1$

Verschiebung um 3 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und anschließende Spiegelung an der y-Achse

$y=2\sqrt{x+1}+2$

Verschiebung um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Die Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ ist für alle $x\geq0$ definiert. Der Ausdruck, der „unter“ der Wurzel steht, wird Radikand genannt. Der Definitionsbereich besteht also genau aus den Zahlen, für die der Wert unter der Wurzel nicht kleiner als Null wird.
Das Schaubild einer Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\sqrt{b(x-c)}+d$ entsteht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ durch Streckung bzw. Stauchung in $y$ -Richtung um Faktor $a$ , Streckung bzw. Stauchung in $x$ -Richtung um Faktor $b$ , Verschiebung in $x$ -Richtung um $c$ LE und Verschiebung in $y$ -Richtung um $d$ LE.

Schaubilder skizzieren und Definitionsbereiche angeben

$y=\sqrt{x+1}$

Definitionsbereich bestimmen

Untersuche, für welche Werte von $x$ der Radikand größer oder gleich Null ist:

$\begin{array}[t]{rll} x+1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x&\geq& -1 \end{array}$

Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[-1;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-1\right\}$ .

Skizze

Diagramm einer Funktion mit Koordinatensystem, zeigt einen ansteigenden Verlauf.

$y=-\sqrt{x-1}$

Definitionsbereich bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} x-1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x&\geq& 1 \end{array}$

Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[1;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq1\right\}$ .

Skizze

Graph einer Funktion f in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

$y=\sqrt{x+3}-2$

Definitionsbereich bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} x+3&\geq&0 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&\geq& -3 \end{array}$

Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[-3;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-3\right\}$ .

Skizze

Graph einer Funktion in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

$y=\sqrt{2x-1}-1$

Definitionsbereich bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} 2x-1&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2x&\geq& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq&\frac{1}{2} \end{array}$

Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[\frac{1}{2};\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq\frac{1}{2}\right\}$ .

Skizze

Graph einer Funktion auf einem Gitter mit x- und y-Achse, zeigt eine stetig steigende Kurve.

$y=-\frac{1}{2}\sqrt{x}-1$

Definitionsbereich bestimmen

$x\geq0$

Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[0;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq0\right\}$ .

Skizze

Graph einer Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

$y=\sqrt{2x}+2$

Definitionsbereich bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} 2x&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq& 0 \end{array}$

Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[0;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq0\right\}$ .

Skizze

Grafik einer Kurve f in einem Koordinatensystem mit Achsen x und y.

Schaubilder skizzieren und herleiten

$y=\sqrt{x+1}$

Skizze

Graph einer Funktion f im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion durch Verschiebung um 1 LE in negative $\boldsymbol{x}$ -Richtung („nach links“) hervor.

$y=-\sqrt{2x+1}$

Skizze

Graf eines mathematischen Funktionsverlaufs im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Schaubild herleiten

$f(x)=-\sqrt{2\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Spiegelung an der $x$ -Achse, Stauchung in $x$ -Richtung um Faktor 2 und Verschiebung in negative $\boldsymbol{x}$ -Richtung („nach links“) um 0,5 LE.

$y=\sqrt{2x}+1$

Skizze

Graph einer Funktion f auf einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Stauchung um Faktor 2 in $x$ -Richtung und Verschiebung um 1 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

$y=\sqrt{x-1}-1$

Skizze

Graph einer Funktion mit Koordinatensystem, zeigt Verlauf von f in Bezug auf x und y.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Verschiebung um 1 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und Verschiebung um 1\,LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“).

$y=-2\sqrt{-x}$

Skizze

Graph einer Funktion mit einem schwarzen Hintergrund und Gitterlinien. Die Kurve verläuft im positiven Bereich von x.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Spiegelung an der $x$ -Achse, Streckung um Faktor 2 in $y$ -Richtung und Spiegelung an der $y$ -Achse.

$y=\sqrt{2x}+3$

Skizze

Mathematische Grafik mit einer Funktion auf einem Koordinatensystem. X- und Y-Achsen sind beschriftet.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Stauchung in $x$ -Richtung um Faktor 2 und um Verschiebung in positive $y$ -Richtung um 3 LE („nach oben“).

Funktionsgleichung aufstellen