Maximales Volumen
Einführung
Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung benötigst du eine Zielfunktion, die du minimieren bzw. maximieren kannst. Gehe folgendermaßen vor:- Fertige eine Skizze an.
- Suche die Größe, die minimal bzw. maximal werden soll. Das ist hier das Volumen, schreibe die geometrische Formel des Volumens auf.
- Stelle die Nebenbedingung auf. Überlege dir wie die Variablen der gesuchten Größe zusammenhängen. Hier kann die Nebenbedingung beispielsweise der Umfang bzw. der Flächeninhalt der Grundfläche oder die Oberfläche des Körpers sein.
- Bilde nun die Zielfunktion, indem du die Nebenbedingung nach einer der Variablen auflöst und in den Term für die extremale Größe einsetzt. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich und bestimme den Definitionsbereich der Zielfunktion.
- Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion. Vergiss dabei nicht, zu überprüfen, ob diese Kandidaten auch relative Extremstellen sind.
- Stelle nun die Verbindung zur Aufgabenstellung her, indem du die zweite Variable und den Extremwert berechnest.
Beispiel mit Lösungsskizze
Eine Schmuckdose soll eine Länge von 5 cm und ein Volumen von 25 cm3 haben. Wie müssen die anderen beiden Seiten gewählt werden, damit für die Herstellung am wenigsten Material benötigt wird.- Skizze
- Größe, die minimal werden soll:
- Nebenbedingung:
=
=
- Zielfunktion:
- Extremstellen der Zielfunktion:
=
=
=
Für diese Aufgabe ist nur
=
interessant, da die andere Lösung nicht im Definitionsbereich liegt.
=
es handelt sich also um ein Minimum. Der minimale Wert ist somit:
=
- Für die Seite
gilt dann:
=
=
. Die minimale Oberfläche ist somit
groß.
Vollständige Lösung anzeigen
1.
Bestimme das maximale Volumen.
Die Oberfläche eines Zylinders beträgt
. Wie groß kann das Volumen maximal werden?
Die Oberfläche eines Zylinders beträgt
2.
Bestimme das maximale Volumen.
Aus einem
langem Draht soll das Modell einer quadratischen Säule hergestellt werden. Bestimme das maximale Volumen dieser Säule.
Aus einem
3.
Bestimme das maximale Volumen.
Ein Zylinder soll gebaut werden.
Die Materialien, die verwendet werden, sind unterschiedlich teuer.
Die Grundfläche und der Deckel kosten je
pro 
, die Mantelfläche kostet 
pro . Da der Auftraggeber ein Mathematiker ist, hat er die maximalen Gesamtkosten auf 
angesetzt. Wie groß ist das maximale Volumen dieses Zylinders?
Ein Zylinder soll gebaut werden.
Die Materialien, die verwendet werden, sind unterschiedlich teuer.
Die Grundfläche und der Deckel kosten je
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1.
Das maximale Volumen bestimmen
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
und 
herstellen:
in Volumenformel einsetzen:
Maximalstelle bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{Zyl}\left(r\right)=&-\pi r^3+30\pi r\\
V‘_{Zyl}\left(r\right)=&-3\pi r^2+30\pi\\
V‘‘_{Zyl}\left(r\right)=&-6\pi r
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f995dfc2c58e31675934cb684d8949cecea913acaf57ec9242ecc28409d505dd?color=5a5a5a)
Hochpunkt oder Tiefpunkt? In 
einsetzen:
Höhe eindeutig bestimmen:
Volumen bestimmen:
Das maximale Volumen des Zylinders beträgt 
.
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
- Über die Oberfläche können wir eine Beziehung zwischen
- Diese neue Gleichung lösen wir nach
- Der Wert für
- Es ergibt sich eine Gleichung für
, die nur von
- Die Maximalstelle dieser Gleichung wird bestimmt, er gibt uns das
Für 
wird das Volumen maximal.
2.
Das maximale Volumen bestimmen
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
und herstellen:
Da es sich um eine quadratische Säule handelt, gibt es nur eine Grundkante und eine Höhe .
in Volumenformel einsetzen
Extremstelle bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(h^3-18h^2+81h\right)\\
V‘\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(3h^2-36h+81\right)\\
V‘‘\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(6h-36\right)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/08cce8317754b55756cd74f880b9a4c513c27f156222bbdd4bb80812c50224a7?color=5a5a5a)
-
-Formel anwenden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{1,2}=&6\pm\sqrt{36-27}\\
=&6\pm\sqrt{9}\\
=&6\pm3\\
h_1=&3\\
h_2=&9
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/45d3d5b7997b5112c8589e94fa73f8221f6cfedbe4d24749f0bad0c134a19456?color=5a5a5a)
Überprüfen der hinreichenden Bedingung
Grundkante eindeutig bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{9-h}{2}=&a&\quad h=3\;\small{\text{einsetzen}}\\
\dfrac{9-3}{2}=&a\\
\dfrac{6}{2}=&a\\
3=&a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7d744db5747e104a0cf053670e9506d44dd2dd53d145763f1665f928a1a9a4f4?color=5a5a5a)
Volumen bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V=&a^2\cdot h&\quad a\; \small{\text{und}}\; h\;\small{\text{einsetzen}}\\
=&9\cdot3\\
V=&27
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b0397218173a688ed6b35770f7120a8efbf3d222952ff6c70f87a9ac10c6d0d0?color=5a5a5a)
Das maximale Volumen der Säule beträgt 
.
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
- Über die Gesamtlänge der Kanten (Umfang) eine Beziehung zwischen
- Diese neue Gleichung lösen wir nach
- Der Wert für
- Es ergibt sich eine Gleichung für
- Der Maximalstelle dieser Gleichung wird bestimmt, er gibt uns das
Für 
wird das Volumen maximal.
3.
Das maximale Volumen bestimmen
Überlege dir zunächst den Lösungsweg: und herstellen:
beschreibt den Radius der Grundfläche, die Höhe des Zylinders. 
soll für "Preis" stehen.
in Volumenformel einsetzen:
Extremstelle bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V\left(r\right)=&-\dfrac{1}{2}\pi r^3+50\pi r\\
V‘\left(h\right)=&-\dfrac{3}{2}\pi r^2+50\pi\\
V‘‘\left(h\right)=&-3\pi r
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dbff3824ad1c47e44398021064b2245d39929c86240c07b87a960fc7efbd0804?color=5a5a5a)
Überprüfen der hinreichenden Bedingung
Höhe eindeutig bestimmen:
Volumen bestimmen:
Das maximale Volumen der Säule beträgt 
.
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
- Über den Maximalpreis der Oberfläche eine Beziehung zwischen
- Diese neue Gleichung lösen wir nach
- Der Wert für
- Es ergibt sich eine Gleichung für
- Die Maximalstelle dieser Gleichung wird bestimmt, er gibt uns das
Für 
wird das Volumen maximal.