Ebene - Ebene
Den Schnittwinkel 
zwischen den Ebenen 
und 
kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
Du brauchst also jeweils einen Normalvektor der Ebenen. Ein Normalvektor ist ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht. Bei der Normalenform oder Koordinatenform kannst du ihn direkt ablesen, ansonsten berechnest du ihn mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.
Wenn du die Normalvektoren bestimmt hast, kannst du den Schnittwinkel durch Einsetzen in die obere Formel berechnen.
und 
Anschließend kannst du die Normalvektoren der Ebenen in die Cosinus-Formel einsetzen und erhälst den Schnittwinkel zwischen den Ebenen.
Beispiel
Winkel zwischen den Ebenen und Nun kannst du den Normalvektoren aus der Ebenengleichung herauslesen:
Vollständige Lösung anzeigen
1.
Berechne den Schnittwinkel der Ebenen 
und 
.
![\( E:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r}
1\\
1\\
4\\
\end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r}
0\\
2\\
3\\
\end{array}\right)=0\)](https://mathjax.schullv.de/9c9b2be2b73315e4ecd9d622615da5f90b5aaf6592b93f549b7bb684c90c1cdc?color=5a5a5a)
![\( E:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r}
1\\
-3\\
2\\
\end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r}
0\\
4\\
1\\
\end{array}\right)=0\)](https://mathjax.schullv.de/9b266009f0724733673808cfd8dda92d7eebbf812b0e41fb430e30c02d153277?color=5a5a5a)
ist die 
-Ebene.
a)
b)
c)
d)
2.
Weise nach, dass die Schnittwinkel zwischen der Ebene 
und der Ebene 
genauso groß ist wie der zwischen und der Ebene
3.
Gegeben ist eine Ebene 
. Eine zweite Ebene wird aufgespannt von Geraden mit den Richtungsvektoren 
und 
.
Berechne den Schnittwinkel von und .
4.
Gegeben sind die Punkte 
, 
, 
und 
.
Die Ebene wird aufgespannt von den Punkten 
, 
, 
, die Ebene von den Punkten , , 
.
Bestimme den Schnittwinkel der beiden Ebenen.
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1.
Berechne den Schnittwinkel der Ebenen und .
a)
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - Kreuzprodukt der Spannvektoren
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Der Schnittwinkel der beiden Ebenen beträgt 
.
b)
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - Kreuzprodukt der Spannvektoren
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Der Schnittwinkel beträgt 
.
c)
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - Kreuzprodukt der Spannvektoren
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Der Schnittwinkel beträgt 
.
d)
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - Kreuzprodukt der Spannvektoren
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
![\( \begin{array}{rll}
\cos\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r}
0\\
4\\
1\\
\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r}
0\\
0\\
1\\
\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r}
0\\
4\\
1\\
\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r}
0\\
0\\
1\\
\end{array}\right)\right|}\\[5pt]
&=&\dfrac{\left|1\right|}{\sqrt{16+1}\cdot\sqrt{1}}\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\[5pt]
&\approx&0,24&\scriptsize{\cos^{-1}}\\[5pt]
\alpha&\approx&76,11^{\circ}\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4ff96b882e6861c4026d7a3fe07903386381b8c573413c25be35adc46f03289d?color=5a5a5a)
Der Schnittwinkel beträgt 
.
2.
1. Schritt: 
und 
- Normalenvektoren ablesen
Der Schnittwinkel der Ebenen und beträgt 
.
2. Schritt: und 
- Normalenvektor bestimmen
Der Schnittwinkel der Ebenen und 
beträgt ebenfalls
Damit ist die Gleichheit der Schnittwinkel nachgewiesen.
3.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden
Der Schnittwinkel beträgt 
4.
1. Schritt: Ebene 
- Verbindungsvektoren aufstellen
2. Schritt: Ebene - Normalenvektor bestimmen
3. Schritt: Ebene 
- Verbindungsvektoren aufstellen
siehe oben 
4. Schritt: Ebene - Normalenvektor bestimmen
5. Schritt: Berechne den Schnittwinkel 
Der Schnittwinkel beträgt 