Lerninhalte in Mathe

Mündliche Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Punkt, Ebene

1.

Punkt an Punkt spiegeln

Punkt $A(a_1\mid a_2 \mid a_3)$ an Punkt $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ spiegeln.

Gesucht: Punkt $A‘$

Verbindungsvektor $\vec{AB}$ bilden
$\vec{OA‘}=\vec{AB}+\vec{OB}$

2.

Punkt an Ebene spiegeln

Punkt $A(a_1\mid a_2 \mid a_3)$ an der Ebene E: $n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+ n_3\cdot x_3=c$ spiegeln.

Gesucht: $A‘$

Hilfsgerade bilden
1. $\rightarrow$ durch Punkt $A$
2. $\rightarrow$ senkrecht zur Ebene $E$
Schnittpunkt $S$ zwischen der Hilfsgerade $g$ und der Ebene $E$ berechnen
Verbindungsvektor $\vec{AS}$ berechnen
$\overrightarrow{OA‘} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{AS}$

1.

Verbindungsvektor $\overrightarrow{AS}$ aufstellen

Vektorkette $\overrightarrow{a^{*}}=\overrightarrow{s}+\overrightarrow{AS}$ bilden

Grafische Darstellung von Vektoren A, S, ā und ā* in einem Koordinatensystem.

a)

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{s}-\overrightarrow{a}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 4 \\ 8 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$

$A^*(3|6|12)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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b)

$\overrightarrow{AS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -5 \\ 0 \\ -4 \\ \end{array}} \right)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$A^*(-9|2|-4)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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c)

$\overrightarrow{AS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 0 \\ -3 \\ \end{array}} \right)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$A^*(-3|2|-2)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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d)

$\overrightarrow{AS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$A^*(-5|2|4)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2.

Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene bilden

Gerade durch $P$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{n}$ aufstellen

Gerade mit Ebene schneiden lassen ergibt den Schnittpunkt $S$

Verbindungsvektor $\overrightarrow{PS}$ aufstellen

Vektorkette $\overrightarrow{p^*}=\overrightarrow{s}+\overrightarrow{PS}$ bilden (vgl. Lösungsskizze zu 1.)

Diagramm mit Linien und einem Winkel zwischen den Elementen P, S und E.

a)

Spiegelpunkt $P*$ berechnen:

Gerade durch $P$ , senkrecht zu $E$ :

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\Rightarrow g: \overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 6 \\ \end{array}} \right)+s\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

(durch Ablesen aus der
Koordinatenform der Ebene)

Schnittpunkt von $g$ mit $E$ ( $g$ in $E$ einsetzen)

$\begin{array}{ll} s=1 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$s=1$ in $g$ eingesetzt, ergibt:

$S(4|-1|7)$ und somit den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$P^*(6|-3|8)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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b)

Spiegelpunkt $P*$ berechnen:

Gerade durch $P$ , senkrecht zu $E$ :

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$

$\Rightarrow g: \overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+s\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$

(durch Ablesen aus der
Koordinatenform der Ebene)

Schnittpunkt von $g$ mit $E$ ( $g$ in $E$ einsetzen)

$\begin{array}{ll} s=-1 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$s$ in $g$ :

$S(0|1|-1)$ $\;\Rightarrow\overrightarrow{PS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$P^*(-1|0|0)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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c)

Spiegelpunkt $P*$ berechnen:

Gerade durch $P$ , senkrecht zu $E$ :

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2\\ -1 \\ \end{array}} \right)$

$\Rightarrow g: \overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)+s\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$

(durch Ablesen aus der
Koordinatenform der Ebene)

Schnittpunkt von $g$ mit $E$ ( $g$ in $E$ einsetzen):

$\begin{array}{ll} s=-\dfrac{1}{3} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$s$ in $g$ :

$S\left(-\dfrac{7}{3}\mid\dfrac{4}{3}\mid-\dfrac{2}{3}\right)$ $\;\Rightarrow\overrightarrow{PS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \end{array}} \right)$

$P^*\left(-\frac{8}{3}\mid\frac{2}{3}\mid-\frac{1}{3}\right)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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d)

Spiegelpunkt $P*$ berechnen:

Gerade durch $P$ , senkrecht zu $E$ :

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$\Rightarrow g: \overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

(durch Ablesen aus der
Koordinatenform der Ebene)

Schnittpunkt von $g$ mit $E$ ( $g$ in $E$ einsetzen):

$\begin{array}{ll} s=1 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$s$ in $g$ :

$S(-3|-2|6)$ $\;\Rightarrow\overrightarrow{PS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$P^*(-4|-4|8)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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