Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse bzw. Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten:

$P(i)=\dfrac{1}{|\Omega|}$

Es gibt also $|\Omega|$ viele Ergebnisse und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse beträgt genau 1.

Die Wahrscheinlichkeit für ein allgemeines Ereignis $E$ in einem Laplace-Experiment kann wie folgt berechnet werden:

$P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}$

Beispiele

Werfen eines Würfels: $P(i)=\frac{1}{6},\;i=1,...,6$
Werfen einer Münze: $P(i)=\frac{1}{2},\;i=1,2$

Ein Fußballspiel ist hingegen kein Laplace-Experiment, da die Fähigkeiten beider Teams nie annähernd gleich sein können und der Spielausgang von weiteren Faktoren abhängig ist.

Eine Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit von
$E:$ „Es fällt genau zweimal Zahl“.

$P(E)=\{\scriptsize{ZZK;ZKZ;KZZ}\}$

oder

$|E|=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3$

$|\Omega|$ $=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=$ $8$

$\Rightarrow\;P(E)$ $=\frac{3}{8}$ $=0,375$ $=37,5\,\%$

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

In der Urne befinden sich 15 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 15 beschriftet sind. Die Ergebnismenge ist daher

$\Omega=\left\{1;2;...14;15\right\}$

Hinweis: Im Folgenden bezeichnet $\left|M\right|$ die Mächtigkeit einer Menge $M$ , d. h. die Anzahl der Elemente, die die Menge $M$ besitzt.

Betrachte die Zahlen von 1 bis 15 und suche die Primzahlen. Es ergibt sich die Menge

$A=\left\{2;3;5;7;11;13\right\}$

Sie hat 6 Elemente. Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ gilt nun nach der Abzählregel:

$P(A)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{6}{15}=0{,}4\mathrel{\widehat{=}}40\,\%$

Suche dieses Mal nach den Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Du erhältst die Menge

$B=\left\{3;6;9;12;15\right\}$

Sie hat 5 Elemente. Damit gilt:

$P(B)=\dfrac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{5}{15}\mathrel{\widehat{=}}33{,}\overline{3}\,\%$

Nun werden die Zahlen betrachtet, die weder Primzahl noch durch 3 teilbar sind. Dies sind genau die Zahlen, die in den Mengen $A$ und $B$ nicht enthalten sind, d. h.:

$C=\left\{1;4;8;10;14\right\}$

Dafür kannst du auch schreiben: $C=\overline{A\cap B}$ oder $C=\Omega\setminus\left\{A\cap B\right\}$

Die Menge $C$ hat 5 Elemente. Also gilt für die Wahrscheinlichkeit:

$P(C)=\dfrac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{5}{15}\mathrel{\widehat{=}}33{,}\overline{3}\,\%$

Hinweis: Die Zahl 1 ist keine Primzahl.

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Der Würfel wird zwei Mal nacheinander geworfen. Die Ergebnismenge ist dann:

$\Omega$ = ...

Vollständige Lösung anzeigen

$\Omega$ hat 36 Elemente.

Es gibt genau eine Kombination, in der zwei Mal die Eins geworfen wird:

$A=\left\{(1;1)\right\}$

$A$ hat 1 Element Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ gilt dann nach der Abzählregel:

$P(A)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{1}{36}\approx0,0278\\\mathrel{\widehat{=}}2,78\,\%$

Betrachte alle Paare, deren Summe gerade 7 ergibt. Du erhältst die Menge

$B=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$B$ hat 6 Elemente. Damit ist die Wahrscheinlichkeit:

$P(B)=\dfrac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{6}{36}\approx0,1667\\\mathrel{\widehat{=}}16,67\,\%$

Suche dieses Mal alle Paare, die aus zwei ungeraden Zahlen bestehen:

$C=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$C$ hat 9 Elemente. Es folgt die Wahrscheinlichkeit:

$P(C)=\dfrac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{9}{36}=0{,}25\mathrel{\widehat{=}}25\,\%$

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Wir wollen die vier Mannschaften mit 1, 2, 3 und 4 durchnummerieren. Es werden nacheinander zwei Mannschaften ausgewählt; dabei interessiert nur, wer gegen wen spielt. Es handelt sich damit um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Die Ergebnismenge lautet dabei:

$\Omega=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$\Omega$ hat 6 Elemente.

Die einzelnen Konstellationen tauchen je einmal in der Ergebnismenge auf. Für jede einzelne Konstellation ist die Wahrscheinlichkeit daher $\frac{1}{6}$ .

Gewinnchance optimieren

Martins Wahrscheinlichkeit für einen Bingo ist gleich Null, da die Zahl 1 nicht in der Ergebnismenge liegt. Außerdem hat er mit den Zahlen 4, 11 und 12 eine ungünstige Wahl getroffen, weil die Wahrscheinlichkeit für diese Zahlen relativ gering ist.

Ideale Zahlen für das Bingofeld sind Zahlen, die mit einer großen Wahrscheinlichkeit bei der Augensumme zweier Würfel auftreten. Solche Zahlen sind z. B. 6 mit $P(6)=\frac{5}{36}$ , 7 mit $P(7)=\frac{6}{36}$ , 8 mit $P(8)=\frac{5}{36}$ und 9 mit $P(9)=\frac{4}{36}$ .

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