Einführung

Eine Zahlenfolge $a_n$ ist, wie der Name schon sagt, eine Reihenfolge von Zahlen. Jedes Glied einer Folge kann anhand einer Formel, dem Bildungsgesetz, bestimmt werden. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten, wie zum Beispiel das Nennen aller Folgeglieder oder durch Angabe einer Funktion, welche die Folge beschreibt.

Zahlenfolgen können durch rekursive oder explizite Bildungsgesetze beschrieben werden.

Bei einer rekursiven Folge kann man immer nur das nächste Folgenglied bestimmen. Will man beispielsweise das Folgenglied $n=5$ bestimmen, so muss man zuvor die Folgenglieder $n=1$ , $n=2$ , $n=3$ und $n=4$ berechnen.

Bei einer expliziten Folge kann jedes beliebige Folgenglied sofort bestimmt werden.

Beispiele

$a_n=2\cdot a_{n-1}; \; a_1=2$
Diese Zahlenfolge ist rekursiv, da man immer das Vorgängerglied braucht, um das nächste Glied zu berechnen.
Die ersten Glieder dieser Folge lauten: $2, 4, 8, 16, ...$

$a_n=2^n; \; a_1=2$
Diese Zahlenfolge ist explizit, durch Einsetzen von $n$ kann man immer sofort das $n$ -te Folgenglied bestimmen.
Die ersten Glieder dieser Folge lauten ebenfalls: $2, 4, 8, 16, ...$

$1,4,7,10,...$

$...13,16,19,22,25$

$2,5,11,23,...$

$...47,95,191,383,627$

$2,1,4,1,16,1,...$

$...256,1,65536,1,4294967296$

$1,2,3,5,8,...$

$...13,21,44,65,109$

$a_n=2^n$

$2,4,8,16,32$

$a_n=\left(n+1\right)^n$

$2,9,64,625,7776$

$a_n=\dfrac{n+1}{n}$

$2,\dfrac{3}{2},\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{4},\dfrac{6}{5}$

$a_n=-2n+1$

$-1,-3,-5,-7,-9$

$a_n=2n+4; 12$

$a_n=12$ setzen und nach $n$ auflösen:

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 12=&2n+4& \mid -4\\ 8=&2n& \mid :2 \\ n=&4& \\ \end{array}$

$a_n=\left(n-1\right)^2; 15$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 15=&\left(n-1\right)^2& \\ 15=&n^2-2n+1& \mid -15 \\ 0=&n^2-2n-14& \\ \end{array}$

$p$ - $q$ -Formel anwenden:

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} n_{1,2}=&1\pm\sqrt{1+14}& \\ =&1\pm\sqrt{15}& \\ \end{array}$

Da der Definitionsbereich von Folgen $\mathbb{D}=\mathbb{N}$ ist, dürfen nur positive, ganze Zahlen für $n$ eingesetzt werden. In diesem Fall handelt es sich beim Ergebnis nicht um eine natürliche Zahl, deshalb ist $15$ kein Glied dieser Folge.

$a_n=\dfrac{n}{n+1}; \dfrac{3}{4}$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{4}=&\dfrac{n}{n+1}& \mid \cdot\left(n+1\right) \\ \dfrac{3}{4}\left(n+1\right)=&n& \mid \cdot4 \\ 3\left(n+1\right)=&4n& \\ 3n+3=&4n& \mid -3n\\ 3=&n& \\ \end{array}$

$a_n=2^n; 72$

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 72=&2^n& \mid \log{\left(\;\right)} \\ n=&\log_2{\left(72\right)}& \mid \cdot4 \\ n=&\dfrac{\log{\left(72\right)}}{\log{\left(2\right)}}& \\ n\approx&6,1699& \mid -3n\\ \end{array}$

Was versteht man unter der rekursiven Schreibweise einer Folge? Was unter der expliziten?

Wenn eine rekursive Folge vorliegt, so kann man immer nur das nächste Folgenglied bestimmen. Will man z.B. das Folgenglied $n=5$ bestimmen, muss man zuvor die Folgenglieder $n=1$ , $n=2$ , $n=3$ , und $n=4$ bestimmen.

Beispiel:
$a_n=n+a_{n-1}$

Wenn eine explizite Folge vorliegt, so kann jedes beliebige Folgenglied sofort bestimmt werden, ohne dass man die Vorgänger zuvor bestimmt.

Beispiel:

$a_n=2^n$

Worin unterscheiden sich arithmetische von geometrischen Folgen?

Wenn eine arithmetische Folge vorliegt, so ist die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich. Die Differenz zwischen z.B. $a_4-a_3$ ist also genauso groß wie die Differenz zwischen $a_7-a_6$ .

Wenn eine geometrische Folge vorliegt, so ist der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich. $\dfrac{a_4}{a_3}$ z.B. ist also genauso groß wie $\dfrac{a_7}{a_6}$ .

Worin unterscheiden sich konvergente von divergenten Folgen?

Konvergente Folgen besitzen einen Grenzwert. Es existiert also ein Wert, an den sich die Folgenglieder für $n\to\infty$ annähern.

Divergente Folgen besitzen keinen Grenzwert. Sie laufen gegen $\infty$ bzw. $-\infty$ und nähern sich keinem festen Wert an.

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