Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ zu einem Zufallsexperiment mit dem Ergebnisraum $\Omega = \{x_1, ..., x_n\}$ gibt den Wert an, den die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Im Schnitt wäre bei der wiederholten Durchführung des Experimentes also in etwa ein Ergebnis in der Nähe des Erwartungswerts zu erwarten. Er berechnet sich wie folgt:

$E(X)$ = $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$ = $x_1 \cdot P(X=x_1)$ + $x_2\cdot P(X=x_2)$ + $...$ + $x_n \cdot P(X=x_n)$

Sollst du den Erwartungswert berechnen, überlege dir also zunächst welche möglichen Ausgänge das Zufallsexperiment haben kann und welche Wahrscheinlichkeiten diese haben.

Beispiel

Betrachte das Werfen eines gleichmäßigen sechsseitigen Würfels. Hierbei hat jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit: $P(X=x_i) = \frac{1}{6}$

Hierbei gilt also $E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{6} x_i \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5$

Im Schnitt ist beim Werfen eines Würfels also ein Ergebnis um $3,5$ zu erwarten.

Aus einer Urne mit 2 schwarzen und 10 grünen Kugeln werden nacheinander, ohne Zurücklegen, so lange einzelne Kugeln entnommen, bis die erste grüne Kugel kommt.
Wie oft muss man durchschnittlich ziehen?

Ein mysteriöser Mann bietet an einer Straßenecke folgendes Würfelspiel an:
Geworfen werden zwei Würfel und dann wird die Augensumme betrachtet. Beträgt diese 12, werden 5 Euro ausgezahlt, beträgt diese 10 oder 11, werden 2 Euro ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Wie viel Geld wird durchschnittlich ausgezahlt?

In einer Lostrommel sind 20 Lose. Davon enthalten 12 Lose 1 Gewinnpunkt, die anderen 8 Lose 0 Gewinnpunkte. Mit den gesammelten Gewinnpunkten kann man sich dann einen Preis aussuchen. Es werden drei Lose auf einmal gezogen. Wie viele Punkte erhält man im Durchschnitt?

Berechnen Sie den Erwartungswert für eine $B_{3;0,5}$ -verteilte Zufallsvariable mit der Definition des Erwartungswerts, ohne Verwendung der Formel $E(Z)=n\cdot p$ .

In einem Sparschwein befinden sich zehn 20 Cent-Münzen, sieben 50 Cent-Münzen, und drei 2 Euro-Münzen. Sarah plündert ihr Sparschwein und

entnimmt eine Münze. Mit wie viel Geld kann Sarah im Durchschnitt rechnen?

entnimmt zwei Münzen. Mit wie viel Geld kann Sarah jetzt durchschnittlich rechnen?

Eine Laplace Münze wird so oft geworfen, bis zweimal hintereinander die gleiche Seite oben liegen bleibt. Insgesamt wird aber höchstens $n$ -mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ sei die Anzahl der Würfe, $E_n(X)$ sei der Erwartungswert.

Bestimme $E_2(X)$ , $E_3(X)$ und $E_4(X)$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ -maligen Würfen immer abwechselnd beide Seiten zu erhalten?

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Berechnung der durchschnittlichen Züge

Wird als Erstes eine grüne Kugel gezogen, wird das Zufallsexperiment abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist $P(g)=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ .

Wird als Erstes eine schwarze und dann eine grüne Kugel gezogen, wird das Zufallsexperiment abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist $P(sg)=\frac{2}{12}\cdot\frac{10}{11}=\frac{20}{132}$ .

Sind die ersten beiden Kugeln schwarz und die dritte grün, wird das Zufallsexperiment wieder abgebrochen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist $P(ssg)=\frac{2}{12}\cdot\frac{1}{11}\cdot\frac{10}{10}=\frac{2}{132}$

Die Situation kannst du in folgender Tabelle veranschaulichen:

Ergebnis	Anzahl der Züge $x_i$
g	1
sg	2
ssg	3

Vollständige Tabelle anzeigen

Für den Erwartungswert $E(X)$ ergibt sich mit der Formel:

$E(X)=$

Ergebnis	Anzahl der Züge $x_i$	$P(x_i)$	$x_i\cdot P(x_i)$
g	1	$\frac{5}{6}$	$1\cdot \frac{5}{6}$
sg	2	$\frac{20}{132}$	$2\cdot \frac{20}{132}=\frac{40}{132}$
ssg	3	$\frac{2}{132}$	$3\cdot \frac{2}{132}=\frac{6}{132}$

Augensumme	Auszahlung $x_i$	$P(x_i)$	$x_i\cdot P(x_i)$
12	5	$\frac{1}{36}$	$5\cdot \frac{1}{36}=\frac{5}{36}$
11	2	$\frac{2}{36}$	$2\cdot \frac{2}{36}=\frac{4}{36}$
10	2	$\frac{3}{36}$	$2\cdot \frac{3}{36}=\frac{6}{36}$
2 bis 9	0	$\frac{30}{36}$	0

Ergebnis	Anzahl Punkte $x_i$
drei Punkte	3
zwei Punkte	2
ein Punkt	1
kein Punkt	0

$z_i$	0	1	2	3
$P(Z=z_i)$	$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$	$3\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$	$3\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$	$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$