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Inhaltsverzeichnis

Berührpunkte zweier Kurven

Damit sich zwei Kurven berühren, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  1. Der Funktionswert an der Stelle \(x_0\) muss gleich sein
  2. Die Tangentensteigung im Berührungspunkt muss übereinstimmen

Beispiel

Zeige, dass sich die Schaubilder der Funktionen \(f\) und \(g\), mit \(f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\) und \(g(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\), im Punkt \(Q\left(0\mid \frac{3}{4}\right)\) berühren.
Nun setzt du in beide Funktionen den \(x\)-Wert des Punktes \(Q\) ein und überprüfst den \(y\)-Wert.
\(f(0)=\frac{3}{4}\)
\(g(0)=\frac{3}{4}\)
Im Anschluss daran musst du kontrollieren, ob sich die Kurven schneiden oder berühren. Wenn die Tangentensteigung der beiden Funktionen im Punkt \(x\)0 gleich ist, berühren sich die beiden Funktionen im Punkt \(Q\), sonst schneiden sie sich in diesem Punkt.
Die Tangentensteigung berechnest du mit Hilfe der Ableitung.
\(f
\(g
Jetzt setzt du den \(x\)-Wert des Punktes \(Q\) in die Funktion ein und erhälst die Tangentensteigung in diesem Punkt.
\(f
\(g
Da die Tangentensteigung bei beiden Funktionen gleich ist, berühren sich die Kurven im Punkt \(Q\).