Lerninhalte in Mathe

Mündliche Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Gebrochene Funktionen

Eine gebrochene Funktion kannst du mit der Quotientenregel ableiten:

	$f(x)$	=	$\dfrac{u(x)}{v(x)}$
$\Rightarrow$	$f‘(x)$	=	$\dfrac{u‘(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v‘(x)}{\left(v(x)\right)^2}$

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^4+2}{x^3}$

$u(x)=x^4+2 \rightarrow u‘(x)= 4x^3$
$v(x)=x^3 \rightarrow u‘(x)= 3x^2$

$\Rightarrow$	$f‘(x)$	=	$\dfrac{4x^3\cdot x^3 - \left(x^4+2\right)\cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2}$
		=	$\dfrac{4x^6- \left(3x^6+6x^2\right)}{x^6}$
		=	$\dfrac{x^6-6x^2}{x^6}$
		=	$\dfrac{x^2\cdot(x^4-6)}{x^2\cdot x^4}$
		=	$\dfrac{x^4-6}{x^4}$

Die Funktionen einmal ableiten

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Quotientenregel):

$f‘(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x^2+1}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (mit Produktregel):

$f‘(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x^2+1}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Quotientenregel):

$f‘(x)=\dfrac{-72}{\sqrt{x^2-9}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (mit Produktregel):

$f‘(x)=\dfrac{-72}{\sqrt{x^2+1}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Quotientenregel):

$f‘(x)=\dfrac{192}{\sqrt{x^2-16}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg B (mit Produktregel):

$f‘(x)=\dfrac{192}{\sqrt{x^2-16}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg A (mit Quotientenregel):

$f‘(x)=\dfrac{-5}{\sqrt{2x+10}^3}$

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$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

$f‘(x)=\dfrac{-5}{\sqrt{2x+10}^3}$

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Die Funktionen einmal ableiten

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\dfrac{8}{1+\mathrm{e}^x}&\quad\\[4pt] f‘(x) =&\dfrac{-8\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2}&\quad\\[4pt] \end{array}$

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$f‘(x)=\dfrac{8\mathrm{e}^{2x}}{(1-\mathrm{e}^{2x})^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{2\cdot(\mathrm{e}^{-x}-1+x\cdot\mathrm{e}^{-x})}{(\mathrm{e}^{-x}-1)^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{-27\mathrm{e}^{3x}}{(3\mathrm{e}^{3x}+2)^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{(4+\mathrm{e}^{-x})\cdot2x+...}{(4+\mathrm{e}^{-x})^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{8\mathrm{e}^{x}-4}{(4-\mathrm{e}^{-x})^2}$

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Die Funktionen einmal ableiten

$f‘(x)=\dfrac{-2}{1-x^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{1-2\ln(4x)}{2x^3}$

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$f‘(x)=2\cdot\dfrac{(1-\ln(2x+2)\cdot2)}{(2x+2)^3}$

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$f‘(x)=\dfrac{(2x+1)\cdot\dfrac{2}{x}-...}{(2x+1)^2}$

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Die Funktionen einmal ableiten

$f‘(x)=\dfrac{4\sin x}{(1+\cos x)^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{(1+\sin x)...}{(1+\sin x)^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{4x\cdot(1-\sin x)+...}{(1-\sin x)^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{\sin x +\sin^2x-...}{(1+\sin x)^2}$

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$f‘(x)=\dfrac{4x(\cos x+1+...)}{(\cos (x+1))^3}$

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$f‘(x)=\dfrac{x\cdot\sin x+2\cos x}{ax^3}$

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