Extrem- und Wendepunkte

Extrempunkte

Der Graph einer Funktion $f$ kann als Gebirge modelliert werden, die Hochpunkte sind dann die höchsten Punkte der Berge. In diesen Punkten ändert sich die Steigung von positiv nach negativ.

Analog sind Tiefpunkte die tiefsten Punkte in den Tälern. Dort ändert sich die Steigung von negativ nach positiv.

Der Graph der Funktion nimmt in diesen Punkten sein lokales Maximum bzw. Minimum an. Global betrachtet, muss dies aber nicht zwangsweise der größte bzw. kleinste Funktionswert sein.

Damit es sich an der Stelle $x$ um eine Extremstelle handelt, müssen zwei Kriterien erfüllt sein:

Notwendiges Kriterium: $\(f$
Hinreichendes Kriterium

Für das hinreichende Kriterium gibt es zwei Möglichkeiten:

Wert der zweiten Ableitung: $f‘‘(x_E) < 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt ein Hochpunkt des Graphen von $f$ . $f‘‘(x_E)> 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt des Graphen von $f$
Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ positiv und nach $x_E$ negativ, so liegt in $x_E$ ein Hochpunkt des Graphen.
Umgekehrt: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ negativ und nach $x_E$ positiv, so liegt in $x_E$ ein Tiefpunkt des Graphen.

Berechnung

Die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:

Bilde die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f$
Notwendiges Kriterium anwenden: $f‘(x) = 0$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_E$
Hinreichendes Kriterium überprüfen: $f‘‘(x_E)$ berechnen.
$y$ -Koordinaten: $f(x_E)$ berechnen

Beispiel

$f(x) = x^2$

$\Rightarrow f‘(x) = 2\cdot x \qquad$ $f‘‘(x) = 2$

$\(\begin{array}{rlll} f$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt möglicherweise ein Extrempunkt des Graphen von $f$ .

$f‘‘(x_E) = 2 > 0 \Rightarrow$ An der Stelle $x_E = 0$ liegt ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ .

$f(x_E) = f(0) = 0$

Insgesamt folgt, dass der Graph von $f$ einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0)$ besitzt. Weitere Extrempunkte gibt es nicht.

Wendepunkte

Erklärung

Wendepunkte sind die Punkte des Graphen von $f$ , in denen der Graph seine Krümmung ändert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass eine Wendestelle von $f$ eine Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion $f‘$ ist. Dementsprechend gelten hierfür ebenfalls die beiden Kriterien, wobei hier aber alles eine Ebene nach oben gesetzt wird:

Notwendiges Kriterium: $f‘‘(x_W) = 0$
Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
- Wert der dritten Ableitung: $f‘‘‘(x_W) \neq 0$
- Vorzeichen-Wechsel der zweiten Ableitung: Ist der Wert der zweiten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_W$ positiv und nach $x_W$ negativ bzw. umgekehrt, so handelt es sich bei $x_W$ tatsächlich um eine Wendestelle

Berechnung

Die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:

Bilde die zweite und dritte Ableitungsfunktion von $f$
Notwendiges Kriterium anwenden: $f‘‘(x) = 0$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_W$
Hinreichendes Kriterium überprüfen: $f‘‘‘(x_W)$ berechnen.
$y$ -Koordinaten: $f(x_W)$ berechnen