Extrem- und Wendepunkte

Extrempunkte

Der Graph einer Funktion $f$ kann als Gebirge modelliert werden, die Hochpunkte sind dann die höchsten Punkte der Berge. In diesen Punkten ändert sich die Steigung von positiv nach negativ.

Analog sind Tiefpunkte die tiefsten Punkte in den Tälern. Dort ändert sich die Steigung von negativ nach positiv.

Der Graph der Funktion nimmt in diesen Punkten sein lokales Maximum bzw. Minimum an. Global betrachtet, muss dies aber nicht zwangsweise der größte bzw. kleinste Funktionswert sein.

Damit es sich an der Stelle $x$ um eine Extremstelle handelt, müssen zwei Kriterien erfüllt sein:

Notwendiges Kriterium: $\(f$
Hinreichendes Kriterium

Für das hinreichende Kriterium gibt es zwei Möglichkeiten:

Wert der zweiten Ableitung: $$f$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt ein Hochpunkt des Graphen von $f$ . $\(f$ 0$' class='mathjax-formula' src='https://mathjax.schullv.de/16786fd3ec7f4d2ca7a7f569d850058a3e2f9340bb24be60d86542cd8af69b7a?color=5a5a5a'/> $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt des Graphen von $f$
Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ positiv und nach $x_E$ negativ, so liegt in $x_E$ ein Hochpunkt des Graphen.
Umgekehrt: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ negativ und nach $x_E$ positiv, so liegt in $x_E$ ein Tiefpunkt des Graphen.

Berechnung

Die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:

Bilde die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f$
Notwendiges Kriterium anwenden: $\(f$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_E$
Hinreichendes Kriterium überprüfen: $\(f$ berechnen.
$y$ -Koordinaten: $f(x_E)$ berechnen

Beispiel

$f(x) = x^2$

$\(\Rightarrow f$ $\(f$

$\(\begin{array}{rlll} f$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt möglicherweise ein Extrempunkt des Graphen von $f$ .

$$f$ 0 \Rightarrow $' class='mathjax-formula' src='https://mathjax.schullv.de/cee5f949e8ac4b3865857b869974c55d5635275ac113c442b90a721801a1d696?color=5a5a5a'/> An der Stelle $x_E = 0$ liegt ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ .

$f(x_E) = f(0) = 0$

Insgesamt folgt, dass der Graph von $f$ einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0)$ besitzt. Weitere Extrempunkte gibt es nicht.

Wendepunkte

Erklärung

Wendepunkte sind die Punkte des Graphen von $f$ , in denen der Graph seine Krümmung ändert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass eine Wendestelle von $f$ eine Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ ist. Dementsprechend gelten hierfür ebenfalls die beiden Kriterien, wobei hier aber alles eine Ebene nach oben gesetzt wird:

Notwendiges Kriterium: $\(f$
Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
- Wert der dritten Ableitung: $\(f$
- Vorzeichen-Wechsel der zweiten Ableitung: Ist der Wert der zweiten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_W$ positiv und nach $x_W$ negativ bzw. umgekehrt, so handelt es sich bei $x_W$ tatsächlich um eine Wendestelle

Berechnung

Die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:

Bilde die zweite und dritte Ableitungsfunktion von $f$
Notwendiges Kriterium anwenden: $\(f$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_W$
Hinreichendes Kriterium überprüfen: $\(f$ berechnen.
$y$ -Koordinaten: $f(x_W)$ berechnen

Prüfe, ob $K_f$ Extrempunkte und Wendepunkte besitzt und bestimme diese gegebenenfalls. Prüfe auch, ob es sich bei den Extrempunkten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Die zugehörigen $y$ -Koordinaten sind nicht verlangt.

$f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2-3$

$f\left(x\right)=x^3-3x-2$

$f\left(x\right)=x^4-4x^2+3$

$f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x$

$f\left(x\right)=ax^3-12ax-4$ , $\quad$ $a\neq0$

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)^3$

Extremwerte

Zeige, dass $f$ mit $f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x$ bei $x=2$ ein lokales Minimum hat.

Hat das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2x^2+3$ bei $x_0=0$ einen Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt?

Hat die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln(x)-x$ lokale Extrema?

Bestimme $a$ so, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+ax^2$ an der Stelle $x_0=\frac{1}{2}$ eine Extremstelle besitzt. Untersuche, ob es sich hierbei um ein Maximum oder um ein Minimum handelt.

Überprüfe, ob die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4x$ an der Stelle $x_0=2$ ein lokales Maximum besitzt.

Nenne zwei Möglichkeiten, um zu untersuchen, ob an einer potentiellen Extremstelle $x_0$ ein Sattelpunkt vorliegt. Wende beide Möglichkeiten auf die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2$ , $x_0=0$ an.

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Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\left(x+1\right)^2-3\\ f‘\left(x\right)&=&2\cdot\left(x+1\right)=2x+2\\ f‘‘\left(x\right)&=&2\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 2x+2&=&0&\scriptsize{\mid -2}\\ 2x&=&-2&\scriptsize{\mid :2}\\ x&=&-1\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$\begin{array}{rll} f‘‘\left(-1\right)&=&2&\scriptsize{ > 0: \text{Tiefpunkt}}\\ \end{array}$

$K_f$ besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle $x=-1$ .

Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 2&=&0\\ \end{array}$

Die Gleichung $f‘‘(x)=0$ besitzt keine Lösung; somit besitzt $K_f$ keinen Wendepunkt.

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&x^3-3x-2\\ f‘\left(x\right)&=&3x^2-3\\ f‘‘\left(x\right)&=&6x\\ f‘‘‘\left(x\right)&=&6\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 3x^2-3&=&0&\scriptsize{\mid +3}\\ 3x^2&=&3&\scriptsize{\mid :3}\\ x^2&=&1&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm1\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$\(\begin{array}{rll} f$

Vollständige Lösung anzeigen

$K_f$ besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $x=-1$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $x=1$ .

Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 6x&=&0&\scriptsize{\mid :6}\\ x&=&0\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘‘(x)\neq0}$

$\begin{array}{rll} f‘‘‘\left(0\right)&=&6&\scriptsize{\neq0: \text{Wendepunkt}}\\ \end{array}$

$K_f$ besitzt einen Wendepunkt bei $x=0$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&x^4-4x^2+3\\ f‘\left(x\right)&=&4x^3-8x\\ f‘‘\left(x\right)&=&12x^2-8\\ f‘‘‘\left(x\right)&=&24x\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 4x^3-8x&=&0&\scriptsize{x\; \text{ausklammern}}\\ x\left(4x^2-8\right)&=&0\\ \end{array}$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt gleich Null, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist:

$x_1=0$

$\begin{array}{rll} 4x^2-8&=&0&\scriptsize{\mid +8}\\ 4x^2&=&8&\scriptsize{\mid :4}\\ x^2&=&2&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{2,3}&=&\pm\sqrt{2}\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$\begin{array}{rll} f‘‘\left(0\right)&=&-8&\\[5pt] f‘‘\left(-\sqrt{2}\right)&=&16&\\ f‘‘\left(\sqrt{2}\right)&=&16&\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$K_f$ besitzt einen Hochpunkt bei $x=0$ und je einen Tiefpunkt an den Stellen $x=-\sqrt2$ und $x=\sqrt2$ .

Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 12x^2-8&=&0&\scriptsize{\mid +8}\\ 12x^2&=&8&\scriptsize{\mid :12}\\ x^2&=&\dfrac{2}{3}&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘‘(x)\neq0}$

$\begin{array}{rll} f‘‘‘\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&=& ...\\ f‘‘‘\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&=& ...\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$K_f$ besitzt je einen Wendepunkt bei $x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ und bei $x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x\\ f‘\left(x\right)&=&x^2-2x-3\\ f‘‘\left(x\right)&=&2x-2\\ f‘‘‘\left(x\right)&=&2\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} x^2-2x-3&=&0\\ \end{array}$

$\boldsymbol{p}$ - $\boldsymbol{q}$ -Formel anwenden:

$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{1+3}\\ &=&1\pm2\\ x_1&=&-1\\ x_2&=&3\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$\begin{array}{rll} f‘‘\left(-1\right)&=&-4&\\ f‘‘\left(3\right)&=&4&\\ \end{array}$

$K_f$ besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $x=-1$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $x=3$ .

Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 2x-2&=&0&\scriptsize{\mid +2}\\ 2x&=&2&\scriptsize{\mid :2}\\ x&=&1\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f‘‘‘(x)\neq0}$

$\begin{array}{rll} f‘‘‘\left(1\right)&=&2&\scriptsize{\neq0: \text{Wendepunkt}}\ \end{array}$

$K_f$ besitzt einen Wendepunkt bei $x=1$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&ax^3-12ax-4\\ f‘\left(x\right)&=&3ax^2-12a\\ f‘‘\left(x\right)&=&6ax\\ f‘‘‘\left(x\right)&=&6a\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} 3ax^2-12a&=&0&\scriptsize{\mid :3a}\\ x^2-4&=&0&\scriptsize{\mid +4}\\ x^2&=&4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;\;\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm2\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$\begin{array}{rll} f‘‘\left(-2\right)&=&-12a\\ f‘‘\left(2\right)&=&12a\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}{rll} 6ax&=&0&\scriptsize{\mid :6a}\\ x&=&0\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium $für\text{ Wendestellen}:$ $\boldsymbol{f‘‘‘(x)\neq0}$

$\begin{array}{rll} f‘‘‘\left(0\right)&=&6a\\ \end{array}$

Für $a>0$ und $a \neq 0$ : $f‘‘‘\left(0\right)\neq0$ : Wendepunkt bei $x=0$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\left(x-1\right)^3\\ f‘\left(x\right)&=&3\left(x-1\right)^2\\ f‘‘\left(x\right)&=&6\left(x-1\right)\\ f‘‘‘\left(x\right)&=&6\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} x^2-2x+1&=&0\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\boldsymbol{p}$ - $\boldsymbol{q}$ -Formel anwenden:

$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{1-1}\\ x&=&1\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$\begin{array}{rll} f‘‘\left(1\right)&=&6\left(1-1\right)\\ f‘‘\left(1\right)&=&0\\ \end{array}$

$f‘‘\left(1\right)=0$ : kein Extrempunkt.

Da $f‘\left(1\right)=0$ und $f‘‘\left(1\right)=0$ sind, handelt es sich hier wahrscheinlich um einen Sattelpunkt.
Dies lässt sich beweisen: $f‘‘‘\left(1\right)=6$ , also nicht 0.

$K_f$ besitzt einen Sattelpunkt bei $x=1$ .

Anmerkung: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, allerdings kein Extrempunkt.

$f$ hat bei $x=2$ ein lokales Minimum, wenn

$f‘(2)=0$ und
$f‘‘(2) \gt 0$

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f(x)&=&\dfrac{1}{3}x^3-4x\\ f‘(x)&=&x^2-4\\ f‘‘(x)&=&2x\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Minimum: $\boldsymbol{f‘(2)=0}$

$f‘(2)=2^2-4=4-4=0$ .

Das notwendige Kriterium für ein Minimum ist erfüllt.

Hinreichendes Kriterium für Minimum: $\boldsymbol{f‘‘(2) \gt 0}$

$f‘‘(2)=2\cdot2=4 \gt 0$ .

Auch das hinreichende Kriterium für ein Minimum ist erfüllt.

$f$ besitzt ein Minimum bei $x=2$ .

Zeige zunächst, dass $f‘(0)=0$ ist und damit überhaupt Punkt mit waagerechter Tangente vorliegt. Untersuche dann $f‘‘(0)$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3-2x^2+3\\ f‘(x)&=&3x^2-4x\\ f‘‘(x)&=&6x-4\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{f‘(0)=0}$

$f‘(0)=3\cdot0-4\cdot0=0$ .

Damit liegt an der Stelle $x=0$ ein Punkt mit waagerechter Tangente vor.

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$f‘‘(0)=6\cdot0-4=-4 < 0$ : Hochpunkt

An der Stelle $x_0=0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Hochpunkt.

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f(x)&=&\ln(x)-x\\ f‘(x)&=&\dfrac{1}{x}-1\\ f‘‘(x)&=&-\dfrac{1}{x^2}\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(x)=0}$

$\begin{array}{rll} f‘(x)=\dfrac{1}{x}-1&0&\scriptsize{\mid\;+1}\\ \dfrac{1}{x}&1&\scriptsize{\mid\;\cdot x}\\ x&1\\ \end{array}$

Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen

$f‘‘(1)=-\dfrac{1}{1^2}=-1<0$ : Hochpunkt.

Die Funktion $f$ besitzt bei $x=1$ ein lokales Maximum.

Wenn die Stelle $x_0=\frac{1}{2}$ Extremstelle der Funktion $f$ sein soll, so muss gelten:

$f‘(\frac{1}{2})=0$ und
$f‘‘(\frac{1}{2})\neq0$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3+ax^2\\ f‘(x)&=&3x^2+2ax\\ f‘‘(x)&=&6x+2a\\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘\left(\frac{1}{2}\right)=0}$

$\begin{array}{rll} f‘(\frac{1}{2})=3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+2a\cdot\frac{1}{2}=&0\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$f$ besitzt bei $x_0=2$ ein lokales Maximum, falls gilt:

$f‘(2)=0$ und
$f‘‘(2) \lt 0$

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^4-4x\\ f‘(x)&=&4x^3-4 \\ f‘‘(x)&=&12x^2 \\ \end{array}$

Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f‘(2)=0}$

$f‘(2)=4\cdot2^3-4=...\neq0$ .

Vollständige Lösung anzeigen

An einer Stelle $x_0$ liegt ein Sattelpunkt vor, falls gilt:

$f‘(x_0)=0$ , $f‘‘(x_0)=0$ , $f‘‘‘(x_0)\neq0$ bzw. alternativ
$f‘(x_0)=0$ , $f‘‘(x_0)=0$ und $f‘‘$ besitzt Vorzeichenwechsel bei $x_0$

Wende nun die beiden Möglichkeiten an. Bekannt ist, dass $x_0$ eine potentielle Extremstelle ist, d.h. es ist $f‘(x_0)=0$ .

Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3+2&\scriptsize{ x_0=0} \\ f‘(x)&=&3x^2 \\ f‘‘(x)&=&6x \\ f‘‘‘(x)&=&6\\ \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A

$f‘(0)=3\cdot0=0$ : Es liegt eine potentielle Extremstelle vor.

$f‘‘(0)=6\cdot0=0$ und $f‘‘‘(0)=6\neq0$ : Bei $x_0=0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Sattelpunkt.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B

$f‘(0)=3\cdot0=0$ : Es liegt eine potentielle Extremstelle vor.

Für $x \lt 0$ ist $f‘‘(x)=6x \lt 0$ , für $x \gt 0$ ist $f‘‘(x)=6x \gt 0$ . Es liegt also bei $x_0=0$ ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vor. Damit folgt: Bei $x_0=0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Sattelpunkt.

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