Minimaler Abstand Punkt-Kurve

Einführung

Um den minimalen Abstand zwischen einem Punkt $P(x_p,y_p)$ und einer Kurve $f(x)$ zu bestimmen, muss die Abstandsfunktion minimiert werden.

Gehe folgendermaßen vor:

Stelle die Abstandsfunktion

$d(u)$ = ...
Vollständigen Rechenweg
anzeigen

$d(u)$ = $\sqrt{(u-x_p)^2 + (f(u)-y_p)^2}$

auf. Diese gibt den Abstand zwischen dem Punkt $P$ und jedem beliebigen Punkt auf der Kurve an.

Bestimme die Minimalstelle der Abstandsfunktion mit Hilfe der ersten Ableitung und überprüfe anschließend mit der zweiten Ableitung ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

Den minimalen Abstand erhältst du durch einsetzen der Minimalstelle in die Abstandsfunktion.

Beispiel mit Lösungsskizze

Bestimme den minimalen Abstand des Punktes $P(1 \mid 3,5)$ zum Schaubild der Funktion $f (x) = - x^2 + 4$ .

Abstandsfunktion:

$\begin{array}[t]{rll} d(u)&=&... \end{array}$
Vollständigen Rechenweg
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$\begin{array}[t]{rll} d(u)&=&\sqrt{(u-x_p)^2 + (f(u)-y_p)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(u-1)^2 + (-u^2+4-3,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(u-1)^2 + (-u^2+0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{u^4-2u+1,25} \end{array}$

Minimalstelle der Abstandsfunktion:
$d(u)$ = $\sqrt{u^4-2u+1,25}$

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{array}$
Vollständigen Rechenweg
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$\begin{array}[t]{rll} d‘(u) &=& (2u^3-1)(u^4-2u+1,25)^{-0,5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d‘‘(u) &=& \dfrac{4(4u^6-16u^3+15u^2-2)}{(4u^4-8u+5)^{1,5}} d‘(u)&=&0 \\[5pt] 0&=&(2u^3-1)(u^4-2u+1,25)^{-0,5}\\[5pt] u&=&\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{array}$

$d‘‘\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$ $\approx$ $15,5 > 0$ somit handelt es sich um ein Minimum.

$d\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$ = $0,24$

Den minimalen Abstand des Punktes $P$ zum Schaubild der Funktion $f$ bestimmen

Funktionsgleichung aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} d\left(u\right)=&\sqrt{u^4-4u+4,25} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Wir haben nun also die Funktion bestimmt, die uns den Abstand vom $P$ zu jedem beliebigen Punkt auf dem Graphen von $f$ angibt. Um den minimalen Abstand zu bestimmen, wird nun das Minimum dieser Abstandsfunktion bestimmt. Dies funktioniert mit Hilfe der ersten Ableitung.

$\begin{array}[t]{rll} d\left(u\right)=&\sqrt{u^4-4u+4,25}\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Minimum bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} d‘\left(u\right)=&0\\ 2u^3-2=&0&\quad\mid\;+2\\ 2u^3=&2&\quad\mid\;:2\\ u^3=&1&\quad\mid\;\sqrt[3]{\;}\\ u=&1 \end{array}$

Hinreichende Bedingung untersuchen

$\begin{array}[t]{rll} d‘‘\left(1\right) &=&2,4 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

An der Stelle $u=1$ besitzt die Abstandsfunktion also ein Minimum. Den Abstand selbst gibt der Funktionswert $d\left(1\right)$ an:

$\begin{array}[t]{rll} d\left(1\right)=&\sqrt{1^4-4\cdot1+4,25}\\ =&\sqrt{1,25} \end{array}$

Der minimale Abstand von $P$ zu $K_f$ beträgt $\sqrt{1,25}$ LE.

Funktionsgleichung aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} d\left(u\right)=&\sqrt{\dfrac{1}{4}u^4-2u+2} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Wir haben nun also die Funktion bestimmt, die uns den Abstand vom $P$ zu jedem beliebigen Punkt auf dem Graphen $f$ angibt. Um den minimalen Abstand zu bestimmen, wird nun das Minimum dieser Abstandsfunktion bestimmt. Dies funktioniert mit Hilfe der ersten Ableitung.

$\begin{array}[t]{rll} d\left(u\right)=&\sqrt{\dfrac{1}{4}u^4-2u+2}\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Minimum bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} d‘\left(u\right)=&0\\ u^3-2=&0&\quad\mid\;+2\\ u^3=&2&\quad\mid\;\sqrt[3]{\;}\\ u=&\sqrt[3]{2} \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung

$\begin{array}[t]{rll} d‘‘\left(1\right) \approx&21,6&>0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

An der Stelle $u$ = $\sqrt[3]{2}$ besitzt die Abstandsfunktion also ein Minimum. Den Abstand selbst gibt der Funktionswert $d\left(\sqrt[3]{2}\right)$ an:

$\begin{array}[t]{rll} d\left(\sqrt[3]{2}\right) \approx&0,33 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der minimale Abstand von $P$ zu $K_f$ beträgt $0,33$ LE.

Bestimmen von $y$

Gegeben ist der Punkt $P\left(3\mid2\right)$ sowie der Punkt $Q\left(2\mid\;y\right)$ . Wie muss $y$ gewählt werden, damit $Q$ von $P$ den Abstand $d=\sqrt{5}$ besitzt?

$\begin{array}[t]{rll} 0=&y\left(y-4\right) \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt):

$\begin{array}[t]{rll} y_1=&0\\ y-4=&0&\quad\mid\;+4\\ y_2=&4 \end{array}$

Daraus ergeben sich die Punkte $Q_1\left(2\;\middle|\;0\right)$ und $Q_2\left(2\;\middle|\;4\right)$ .

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