Skizziere im angegebenen Intervall in einem Koordinatensystem.

An der Stelle, an der die Kurve mit einer Steigung von fällt, werden die Leute in der Achterbahn fotografiert. Bestimme die Stelle, an der das Foto geschossen wird.

Die Leute kreischen immer dann am lautesten, wenn sie sich gerade an einem Punkt befinden, der sich genau zwischen Steigung und Gefälle befindet.
Sie werden also hochgezogen und schreien dann los, wenn es bergab geht.
Wo schreien die Leute am lautesten?

Die Achterbahn wird am Punkt mit der größten Steigung am meisten beschleunigt. Bestimme diesen Punkt.

Skizziere in einem Koordinatensystem.

Bestimme, in welchen Bereichen das Gebirge steigt bzw. fällt.

In der Kuhle, welche sich zwischen zwei Nullstellen befindet, fließt ein Bach, der das Gebirge ausspült.
Wie breit ist der Fluss? Wie tief ist er an der tiefsten Stelle?

Der Hut selbst lässt sich wie folgt skizzieren: Bei schneiden sich die beiden Funktionen. Die höchsten Stellen des Hutes befinden sich bei .
Die Form des Hutes kann mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades beschrieben werden, die achsensymmetrisch zur -Achse ist.
Gib eine Funktionsgleichung an, runde die Werte gegebenenfalls.

Wie groß ist in diesem Querschnitt der Flächeninhalt des Hutes (also der eingeschlossenen Fläche)?

Wo fällt der Hut am steilsten ab?

Die Schnur lässt sich durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschreiben, die achsensymmetrisch zur -Achse ist.
geht durch die Punkte und .
geht durch die Punkte und .
geht durch die Punkte und .
Stelle für , , je eine Funktionsgleichung auf.

Ausgehend von diesen drei Funktionsgleichungen lässt sich die Funktionsgleichung einer Kurvenschar formulieren. Diese enthält den Parameter , wobei für die Anzahl der Vögel steht.
Stelle die Funktionsgleichung dieser Kurvenschar auf.

Die Schnur ist auf Höhe der -Achse an den Bäumen festgemacht.
Beugen sich die Bäume mit dem Gewicht der Vögel?

Skizziere die beiden Funktionen in einem Koordinatensystem.

Bestimme die Koordinaten der Punkte, die am weitesten links bzw. rechts außen liegen.

Bestimme die Koordinaten der Punkte, die am weitesten oben bzw. unten liegen.

Eines der Autos fliegt bei tangential aus der Bahn. Bei sind in einer geraden Linie Reifen aufgestellt.
An welcher Stelle trifft das Auto auf die Reifen?

Ein weiteres Auto landet bei in der Reifenmauer.
Wo ist dieses Auto aus der Kurve geflogen?

Wir müssen zunächst die Stelle bestimmen, an der die Steigung besitzt. Dies tun wir, indem wir die erste Ableitung bilden, da uns die Ableitung immer die Steigung angibt. Wir setzen also und lösen nach auf. Stelle mit Steigung bestimmen Ableitungsfunktion bilden Gleichsetzen

Ein Punkt, an dem eine Kurve nach einer Steigung wieder fällt, ist ein Hochpunkt. Um diesen zu berechnen, setzen wir und lösen nach auf. Hochpunkt bestimmen Ableitungsfunktion bilden Notwendige Bedingung: 1. Ableitung setzen --Formel anwenden: Hinreichende Bedingung: auf echten Hochpunkt prüfen

Der Punkt mit der größten Steigung ist der Wendepunkt. Diesen bestimmen wir, indem wir setzen. Wendepunkt bestimmen Ableitungsfunktion bilden Notwendige Bedingung: 2. Ableitung setzen Hinreichende Bedingung: auf echten Wendepunkt prüfen

Wir sehen im Schaubild, dass die Funktion erst fällt (bis zum Tiefpunkt), dann kurz ansteigt (bis zum Hochpunkt) und dann wieder fällt (ab dem Hochpunkt). Wir bestimmen also die Koordinaten der Extrempunkte. Extrema bestimmen Ableitungsfunktionen bilden Notwendige Bedingung: 1. Ableitung setzen Hinreichende Bedingung: auf echten Hoch- bzw. Teifpunkt prüfen Daraus folgt: ist monoton fallend für
ist monoton steigend für
ist monoton fallend für

Breite des Flusses berechnen Die Breite des Flusses ist der Abstand, den die Nullstellen voneinander haben. Wir bestimmen diese also zunächst: Nullstellen bestimmen Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Abstand zwischen den Nullstellen bestimmen Der Fluss ist LE breit. Tiefe des Baches berechnen Um die Tiefe des Baches zu errechnen, bestimmen wir die -Koordinate des Tiefpunktes. -Wert des Tiefpunktes bestimmen An der tiefsten Stelle ist der Bach ca. 1,09 m tief.

Funktionsgleichung aufstellen Wir wissen, dass es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades handelt, die achsensymmetrisch zur -Achse ist. Somit ergibt sich die allgemeine Gleichung: Sehen wir uns nun die Bedingungen an, die gegeben sind:
Wir haben vier Punkte gegeben, die auf der Kurve liegen. Da die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse ist und die beiden Punkte jeweils die gleichen -Werte haben, nur mit anderen Vorzeichen, benutzen wir jeweils nur einen der beiden. Weiterhin wissen wir, dass einer dieser beiden Punkte ein Hochpunkt ist. Ein Hochpunkt besitzt die Steigung 0. Wir haben also 3 verschiedene Bedingungen gegeben, die wir nun nacheinander in diese allgemeine Gleichung einsetzen. Wir beginnen mit dem einsetzen der Steigung in die 1. Ableitung. Schritt 1: 1. Ableitung bilden Schritt 2: einsetzen In diese Gleichung setzen wir nun den nächsten Punkt ein, den wir gegeben haben, nämlich den Schnittpunkt der beiden Kurven. Da wir hier nur den -Wert gegeben haben, rechnen wir zunächst den -Wert aus. Schritt 3: bestimmen; entspricht Schritt 4: und einsetzen in Als neue allgemeine Gleichung gilt nun also: Wir setzen nun den letzten Punkt ein, den wir gegeben haben: Schritt 5: und einsetzen in Wir lösen nun nach den restlichen Unbekannten auf. Schritt 6: einsetzen in Schritt 7: einsetzen in Daraus folgt die Funktionsgleichung

Flächeninhalt bestimmen

Hier ist nach dem Punkt mit der größten Steigung gefragt. Dies ist immer der Wendepunkt einer Funktion. Wendepunkt bestimmen Schritt 1: Ableitungen bilden Schritt 2: setzen Da nur nach der Stelle gefragt ist, wo das Schaubild am stärksten fällt, ist für uns nur die Lösung relevant. Bei steigt das Schaubild. Schritt 3: auf echten Wendepunkt prüfen An der Stelle fällt der Hut am steilsten ab.

Funktionsgleichungen bestimmen Wir wissen, dass es sich bei allen drei Funktionen um ganzrationale Funktionen zweiten Grades handelt, die achsensymmetrisch zur -Achse sind. Deshalb lautet die allgemeine Funktionsgleichung: . Wir können nun die jeweilige Funktionsgleichung bestimmen, indem wir die Koordinaten der gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach den Unbekannten lösen. Beginnen wir nun mit der Funktionsgleichung von Funktionsgleichung von bestimmen Schritt 1: verwenden: und einsetzen Daraus folgt die neue allgemeine Gleichung Schritt 2: verwenden: und einsetzen Daraus folgt die Funktionsgleichung Funktionsgleichung von bestimmen Schritt 1: verwenden: und einsetzen Daraus folgt die neue allgemeine Gleichung Schritt 2: verwenden: und einsetzen Daraus folgt die Funktionsgleichung Funktionsgleichung von bestimmen Schritt 1: verwenden: und einsetzen Daraus folgt die neue allgemeine Gleichung Schritt 2: verwenden: und einsetzen Daraus folgt die Funktionsgleichung

Vergleichen wir zunächst die drei Funktionsgleichungen.:

Die Position der Befestigungen an den Bäumen ist "sozusagen" der Schnittpunkt der Kurven mit der -Achse. Wir bestimmen also die Nullstellen von . Wenn diese Nullstellen unabhängig von immer gleich sind, beugen sich die Bäume nicht mit. Nullstellen bestimmen

Die Skizze verrät uns, dass die Punkte links bzw. rechts außen die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen sind. Diese bestimmen wir, indem wir die Funktionsgleichungen gleichsetzen. Schnittpunkte bestimmen --Formel anwenden Resubstitution durchführen Schritt 2: -Werte bestimmen -Wert für bestimmen -Wert für bestimmen Daraus ergeben sie die Punkte und .

Die Punkte, die am weitesten oben bzw. unten liegen sind die Hochpunkte von und der Tiefpunkt von . Hochpunkte von bestimmen Schritt 1: Ableitungen bilden Schritt 2: Notwendige Bedingung: setzen Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist , wenn einer seiner Faktoren ist. Schritt 3: Hinreichende Bedingung: -Werte auf echte Hochpunkte überprüfen auf echten Hochpunkt überprüfen Schritt 4: -Werte bestimmen -Wert für bestimmen -Wert für bestimmen Daraus folgen die Hochpunkte und . Tiefpunkt von bestimmen Schritt 1: Ableitungen bilden Schritt 2: Notwendige Bedingung: setzen Schritt 3: Hinreichende Bedingung: auf echten Tiefpunkt überprüfen Schritt 4: -Wert von bestimmen Daraus ergibt sich der Tiefpunkt .

Da das Auto bei tangential aus der Bahn fliegt, wird die Flugbahn idurch die Gleichung der Tangente beschrieben, die das Schaubild an der Stelle berührt. Da ein Auto nur in den Reifen landen kann, wenn es in dem Teil der Bahn aus der Bahn fliegt, der von dem Graphen von beschrieben wird, ist hier eine Tangente an den Graphen von gesucht. Dies kannst du dir anhand der Skizze der beiden Graphen klarmachen. Der Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden zu ist dann die Stelle, an der das Auto auf die Reifen trifft.
Die gesuchte Tangente lässt sich mit der allgemeinen Tangentengleichung bestimmen: Schritt 1: Tangente an in anlegen

Auch hier ist eine Tangente verlangt, die berührt und durch den Punkt geht, der nicht auf liegt. Diese Tangentengleichung lässt sich ebenfalls mit der allgemeinen Tangentengleichung bestimmen. Dazu werden die Koordinaten von für und eingesetzt. Schritt 1: Tangente durch ermitteln