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Mündliche Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Additionssatz und Vierfeldertafel

Sind $A$ und $B$ zwei Ereignisse des selben Zufallsexperiments, dann besagt die Additionsregel:

$P(A\cup B)$ = $P(A)$ + $P(B)$ - $P(A\cap B)$

Dabei bezeichnet $P(A\cap B)$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ und $B$ gleichzeitig eintreten.

$P(A\cup B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eins der beiden Ereignisse eintritt.

Die Vierfeldertafel gibt dir eine Übersicht über die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit zwei Ereignissen. Sie sieht folgendermaßen aus:

	$B$	$\overline{B}$
$A$	$P(A\cap B)$	$P(A\cap \overline{B})$	$P(A)$
$\overline{A}$	$P(\overline{A}\cap B)$	$P(\overline{A}\cap \overline{B})$	$P(\overline{A})$
	$P(B)$	$P(\overline{B})$	$1$

Dabei gelten folgende Rechenregeln

Die Summe zweier Zellen nebeneinander ergibt die nachfolgende Zelle:

$P(A\cap B)+ P(A\cap \overline{B})= 1$

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$P(A\cap B)+ P(A\cap \overline{B})= P(A)$ , $P(\overline{A}\cap B)+ P(\overline{A}\cap \overline{B})= P(\overline{A})$ und $P(B)+ P(\overline{B}) = 1$
Die Summe zweier Zellen untereinander ergibt die nachfolgende Zelle:

$P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = 1$

Vollständige Lösung anzeigen

$P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = P(B)$ , $P(A\cap \overline{B}) + P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{B})$ und $P(A) + P(\overline{A}) = 1$
Sind $A$ und $B$ unvereinbar, das heißt können niemals beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, dann gilt

$A\cap B = 0$

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$A\cap B = \emptyset \Rightarrow P(A\cap B) = 0$

Beispiel

Betrachte das Werfen eines gleichmäßigen sechsseitigen Würfels. $A:$ eine gerade Zahl wird gewürfelt

$B:$ eine $6$ oder eine $1$ wird gewürfelt

Dann ist $A = \{2,4,6 \}$ , $B= \{1,6 \}$ und $A\cap B = \{ 6\}$ .

Damit gilt $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ .

$\Rightarrow P(A\cup B) = \frac{2}{3}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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	$B$	$\overline{B}$
$A$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{3}{6}$
$\overline{A}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{3}{6}$
	$\frac{2}{6}$	$\frac{4}{6}$	$1$

1.

Vierfeldertafel ergänzen

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,3	0,1	0,4
$\overline{A}$	0,5	0,1	0,6
	0,8	0,2	1

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,4	0,2	0,6
$\overline{A}$	0,3	0,1	0,4
	0,7	0,3	1

2.

Vierfeldertafel erstellen

Es sei $R$ : „Raucher“ und $G$ : „Person ist für das neue Gesetz“. Dann kannst du Folgendes aussagen:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{G}\cap R)=& ... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Daraus erhältst du folgende Vierfeldertafel:

	$R$	$\overline{R}$
$G$	0,1	0,7125	0,8125
$\overline{G}$	0,15	0,0375	0,1875
	0,25	0,75	1

Somit sind $\small{18,75\,\%}$ der Personen gegen das neue Gesetz. Dies sind deutlich weniger als ein Viertel der Stadtbevölkerung.

3.

Vierfeldertafel erstellen

Gegeben sind $P(E)=\dfrac{5}{8}$ , $P(F)=\dfrac{3}{8}$ sowie $P(E\cup F)=\dfrac{7}{8}$

Daraus erhältst du:

$P(\overline{E}\cap\overline{F})= ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Daraus erhältst du folgende Vierfeldertafel:

	$F$	$\overline{F}$
$E$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{8}$
$\overline{E}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$
	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{8}$	1

Damit erhältst du: $P(E\cap F)=\dfrac{1}{8}$

Es gilt:

$F$ : hat Französisch in der Oberstufe
$\overline{F}$ : hat kein Französisch in der Oberstufe belegt

$E$ : hat Englisch in der Oberstufe
$\overline{E}$ : hat kein Englisch in der Oberstufe belegt

Der Additionssatz besagt: $P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)$ .

Dies liefert: $\dfrac{7}{8}=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{8}$ .

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