Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen vom Grad $n$ sind Polynomfunktionen, also Funktionen der Form:

$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}...$

Sollst du nun eine Funktionsgleichung einer solchen Funktion anhand von Randbedingungen bestimmen, so benötigst du ausreichend Bedingungen, dass du daraus so viele Gleichungen herleiten kannst, wie es Parameter $a_i$ im Funktionsterm gibt, also $n+1$ . So ergibt sich dann ein lineares Gleichungssystem, welches du mit den dir bekannten Methoden lösen kannst. Mögliche Randbedingungen sind zum Beispiel:

Punktsymmetrie zum Ursprung: Im Funktionsterm kommen nur ungerade Exponenten vor. Du benötigst dann deutlich weniger Bedingungen, da die Parameter vor den $x$ mit geraden Exponenten automatisch $0$ sind.

Achsensymmetrie zur $y$ -Achse: Im Funktionsterm kommen nur gerade Exponenten vor. Hier fallen die Parameter vor den ungeraden Potenzen von $x$ weg.

Punkte, die auf dem Graphen liegen: Setze die Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

Hochpunkte bzw. Tiefpunkte des Graphen: Nutze hier einerseits die Koordinaten der Punkte, andererseits auch die notwendige Bedingung für Extrempunkte. Dazu musst du zunächst die erste Ableitungsfunktion der allgemeinen Funktion bilden.

Beispiel

Durch den Punkt $P(1\mid4)$ verläuft der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades mit dem Tiefpunkt $T(0\mid 3)$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

Es gilt $n=2$ , also

$p(x)= a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x +a_0$

und damit

$p‘(x) = 2a_2\cdot x +a_1$ .

Es ergeben sich folgende Gleichungen:

1. $p(1)=4$

$\Rightarrow 4= a_2\cdot 1^2 + a_1\cdot 1 +a_0$

2. $p(0) = 3$

$\Rightarrow 3 = a_2\cdot 0^2 +a_1\cdot 0 + a_0$

2. $p‘(0)=0$

$\Rightarrow 0 = 2a_2\cdot 0 +a_1$

Aus 3. folgt direkt $a_1 =0$ und aus 2. folgt $a_0 = 3$ . Setze dies in 1. ein:

$\begin{array}[t]{rll} 4&=& a_2\cdot 1^2 + a_1\cdot 1 +a_0 \\[5pt] 4&=& a_2+a_1+a_0\\[5pt] 4&=& a_2+0+3 \\[5pt] 1&=& a_2 \\[5pt] \end{array}$

Damit gilt insgesamt $p(x)= x^2+3$ .

Gleichung der Parabel bestimmen

$f(x)=ax^2+bx+c$

$b=0$

Vollständige Lösung anzeigen

$\Rightarrow f(x)=x^2+2$

$f(x)=ax^2+bx+c$

$a+12b+-8c=-44$

Vollständige Lösung anzeigen

$b=0$ und $c=5,5$

eingesetzt in (1) ergibt

$a+5,5=6$ $\Longrightarrow a=0,5$

$\Rightarrow f(x)=0,5x^2+5,5$

Aus $P(0\mid -4)$ folgt

$f(x)=ax^2-4$

Nullstelle $x=2$ $\Longrightarrow$ $f(2)=0$

$0=a\cdot2^2-4$ $\Longrightarrow a=1$

$\Longrightarrow$ $f(x)=x^2-4$

Eine Parabel hat entweder ein Hochpunkt (Parabel ist nach unten geöffnet) oder ein Tiefpunkt (Parabel ist nach oben geöffnet). Es handelt sich dabei immer um den Scheitelpunkt.