Länge eines Vektors

Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum entspricht der Länge der Strecke, die dieser zurücklegt und wird folgendermaßen bestimmt:

$\mid \overrightarrow{a} \mid$ = $\left| \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \right|$ = $\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2}$

Ein Vektor der Länge $1$ heißt Einheitsvektor. Du kannst den Einheitsvektor $\overrightarrow{a_0}$ eines beliebigen Vektors $\overrightarrow{a}$ durch Normieren erhalten. Dieser behält dann die Richtung und ändert lediglich die Länge.

$\mid \overrightarrow{a_0} \mid$ = $\left|\dfrac{\overrightarrow{a}}{\mid \overrightarrow{a} \mid} \right|$ = $1$

Beispiel

Bestimme die Länge des Vektors $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4 \end{pmatrix}$ .
$\mid \overrightarrow{a} \mid$ = $\left| \begin{pmatrix}3\\0\\-4 \end{pmatrix} \right|$ = $\sqrt{(3)^2+(0)^2+(-4)^2}$ = $\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5$
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{a}$ beträgt $5$ LE.

$A(1\mid 2\mid 1),\; B(2\mid 1\mid 1),\; C(3\mid 3\mid 2)$

$\overrightarrow{AB}= ...$

$\overrightarrow{AC}= ...$

$\overrightarrow{BC}= ...$

$\begin{array}{rlll} \overline{AB}=&\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=... \\[5pt] \overline{AC}=&\sqrt{2^2+1^2+1^2}=... \\[5pt] \overline{BC}=&\sqrt{1^2+2^2+1^2}=... \end{array}$

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Da $\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{6}$ ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig.

$A(1\mid -2\mid 2), \; B(3\mid 2\mid 1),\; C(3\mid 0\mid 3)$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$

$\begin{array}{rllll} \overline{AB}=&... \\[5pt] \overline{AC}=&... \\[5pt] \overline{BC}=&... \end{array}$

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Da $\overline{AB}\neq\overline{AC}$ , $\overline{AC}\neq\overline{BC}$ und $\overline{BC}\neq\overline{AB}$ ist das Dreieck $ABC$ weder gleichschenklig noch gleichseitig.

$A(3\mid 0\mid 5),\; B(3\mid 2\mid 3),\; C(5\mid 0\mid 3)$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

$\begin{array}{rlll} \overline{AB}=&... \\[5pt] \overline{AC}=& ... \\[5pt] \overline{BC}=& ... \end{array}$

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Da $\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{8}$ ist das Dreieck $ABC$ gleichseitig.

$A(0\mid 0\mid 6),\; B(2\mid 0\mid 4),\; C(4\mid 3\mid 8)$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{r} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$

$\begin{array}{rlll} \overline{AB}=& ... \\[5pt] \overline{AC}=& ... \\[5pt] \overline{BC}=& ... \end{array}$

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Da $\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{29}$ ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig.

$A(1\mid 1\mid 1),\; B(2\mid 2\mid 2),\; C(3\mid 3\mid 3)$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

$\begin{array}{rlll} \overline{AB}&= ... \\[5pt] \overline{AC}&= ... \\[5pt] \overline{BC}&= ... \end{array}$

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Da $\overline{AB}=\overline{BC}=\sqrt{3}$ ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig.

$A(2\mid 1\mid 1),\; B(0\mid 3\mid 1),\; C(0\mid 1\mid 3)$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ $\quad$ $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$

$\begin{array}{rlll} \overline{AB}&= ... \\[5pt] \overline{AC}&= ... \\[5pt] \overline{BC}&= ... \end{array}$

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Da $\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{8}$ ist das Dreieck $ABC$ gleichseitig.

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