Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
Bei einer geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen wird ein mehrstufiges Zufallsexperiment betrachtet, wie beispielsweise das Ziehen aus einer Urne, wobei die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden. Dabei bedeutet „geordnet“, dass genau beachtet wird, wann welche Kugel gezogen wurde.
Es geht also darum aus einer Menge von 
Objekten unter Beachtung der Reihenfolge 
Objekte auszuwälen. ist also die Anzahl der Stufen und die Möglichkeiten, die zu Beginn des Experimentes zur Verfügung stehen. Dann ergibt sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse unter Beachtung der Reihenfolge wie folgt:
Möglichkeiten.
Beispiel
Ein klassisches Beispiel ist das Besetzen einer Stuhlreihe. Stehen 4 Stühle zur Verfügung und aus 10 Personen kann ausgewählt werden, dann gibt es für den ersten Stuhl noch 10 Möglichkeiten diesen zu besetzen, für den zweiten Stuhl noch 9, für den dritten Stuhl noch 8 und für den letzten Stuhl noch 7 Möglichkeiten. Insgesamt also:
1.
Auf wie viele Arten können sich
Menschen in einer Reihe aufstellen?
Unter diesen Menschen befinden sich auch Martin und Michael. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der 1. und Michael an der 5. Position stehen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin und Michael die letzten beiden Positionen einnehmen?
a)
vier Menschen in einer Reihe aufstellen?
Einer von ihnen heißt Martin. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der 2. Position steht?
b)
2.
Bei der Quizshow „Wer wird Millionär“ muss ein Kandidat als schnellster vier Antworten in die richtige Reihenfolge bringen, um sich zu qualifizieren.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch bloßen Zufall die Reihenfolge zu erraten?
3.
Aus einer Klasse werden 
Schüler ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben sie an verschiedenen Wochentagen Geburtstag?
4.
Bei einem Preisausschreiben gewinnen die drei Gewinner aus 
verschiedenen Elektroartikeln je zufällig einen.
Einer dieser Elektroartikel ist eine Mikrowelle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Gewinner nicht die Mikrowelle bekommt?
5.
a)
nummerierte Sitzplätze
b)
unnummerierte Stehplätze handelt? Gib jeweils das verwendetet Urnenmodell an.
6.
In einer Urne sind 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Man zieht nur weiße Kugeln.
B: Man zieht zuerst zwei schwarze, dann drei weiße Kugeln.
C: Die erste Kugel ist schwarz.
D: Man zieht abwechselnd schwarze und weiße Kugeln.
7.
Bei dem Spiel „Reise nach Jerusalem“ scheidet in jeder Runde eine Person aus. Es nehmen 12 Personen teil, unter ihnen befinden sich Martin, Sandra und Lisa.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Martin bleibt als letzter übrig.
B: Sandra und Lisa sind in der letzten Runde.
C: Martin fliegt in der 5. Runde raus.
8.
Die Ziffern der Zahl 
werden zufällig neu angeordnet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
A: Es entsteht wieder die ursprüngliche Zahl.
B: Die neue Zahl beginnt mit 
.
C: Es entsteht eine Zahl, in der dreimal hintereinander die 
vorkommt.
9.
Anette bekommt die Aufgabe, Autos nach ihrer Preisklasse zu ordnen. Als erstes soll sie das günstigste nennen und dann in aufsteigender Reihenfolge bis zum teuersten kommen.
Wie groß muss mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, die richtige Reihenfolge ohne Autokenntnisse zufällig zu erraten, kleiner als 
ist?
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1.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
a)
Es gilt 
. Dies ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich 4 Menschen in eine Reihe aufstellen können.
Wenn Martin an der zweiten Position stehen soll, gibt es für die erste Position 
Möglichkeiten, für die zweite Position nur eine (da soll ja schließlich Martin stehen), für die dritte Position 
und für die letzte schließlich nur noch eine Möglichkeit. Damit insgesamt 
Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der zweiten Position steht, liegt damit bei
Vollständige Lösung anzeigen
b)
Insgesamt gibt es 
Möglichkeiten.
Sind die 1. und 5. Position fix vergeben, können sich die anderen 10 Menschen noch an den verbleibenden Positionen umstellen. Es bleiben daher noch 
Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach
Die Anzahl der Möglichkeiten, dass Martin und Michael an den letzten zwei Positionen stehen, berechnet sich wie folgt:
Die ersten 10 Positionen werden hierbei von den 10 anderen Personen belegt. Die letzten beiden Plätze werden von Michael und Martin belegt. Da aber nicht vorgegeben ist, wer den letzten Platz belegt, können auch diese vertauscht werden.
Folglich gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass Martin und Michael an den letzten zwei Positionen stehen:
Dieser Wert ist das Doppelte der errechneten Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin an der 1. und Michael an der 5. Position steht. Das liegt daran, dass nun keine festen Positionen für Martin und Michael gefragt sind (ob Martin oder Michael an 11. Position steht, ist hier egal).
2.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Antworten lassen sich auf Arten in eine Reihenfolge bringen. Es gibt also 
mögliche Fälle.
Nur eine Reihenfolge bildet die richtige Lösung, also ist die „Zahl der günstigen Fälle“ eins. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich
.
3.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es gibt insgesamt 
Möglichkeiten.
Für die erste Person sind noch alle 
Wochentage „frei“, für die zweite 
, für die dritte , die vierte noch 
und für die fünfte , also 
Möglichkeiten. Somit gilt:
4.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Stellen wir die Situation in einem Urnenmodell dar: Die 10 Elektroartikel sind die Kugeln. Aus ihnen werden drei ohne Zurücklegen gezogen. Es gibt dafür 
Möglichkeiten.
Betrachte nun das Ereignis „Der erste Gewinner bekommt die Mikrowelle“. Das ist das Gegenereignis zum Ereignis in der Aufgabenstellung. Wenn der erste Gewinner die Mikrowelle bekommt, dann bleiben für Gewinner 2 noch neun mögliche Gewinne, für Gewinner 3 noch acht mögliche Gewinne. Es gibt also 
günstige Kombinationen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis 
„Der erste Gewinner bekommt die Mikrowelle“ ist deshalb:
Für unser Ereignis 
„Der erste Gewinner bekommt nicht die Mikrowelle“ gilt dann:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bekommt der erste Gewinner nicht die Mikrowelle.
5.
Geeignete Urnenmodelle ermitteln
a)
Die zehn Personen identifizieren wir mit den Kugeln einer Urne. Es werden nun nacheinander ohne Zurücklegen 4 Personen ausgewählt. Dies entspricht der zufälligen Vergabe der Karten.
Es handelt sich um nummerierte Karten, folglich macht es einen Unterschied, ob Person A die erste oder die zweite Karte erhält. Deshalb wird beim Ziehen der Kugeln die Reihenfolge berücksichtigt.
Es ergibt sich das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge“.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist schnell berechnet: Für den ersten Zug gibt es 10, für den zweiten 9, für den dritten 8 und für den vierten 7 Möglichkeiten, demnach gibt es insgesamt:
Möglichkeiten, die nummerierten Sitzplatzkarten auf die 10 Personen zu verteilen.
b)
Die zehn Personen identifizieren wir wieder mit den Kugeln einer Urne. Es werden nun nacheinander ohne Zurücklegen 4 Personen ausgewählt. Dies entspricht der zufälligen Vergabe der Karten.
Es handelt sich dieses Mal um nicht nummerierte Karten, folglich macht es keinen Unterschied, ob Person A die erste oder die zweite Karte erhält. Deshalb wird beim Ziehen der Kugeln die Reihenfolge nicht berücksichtigt.
Es ergibt sich das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“.
Die Anzahl der möglichen Verteilungen wird in diesem Urnenmodell mit dem Binomialkoeffizienten berechnet. Es gibt:
Möglichkeiten, die nicht nummerierten Stehplatzkarten auf die 10 Personen zu verteilen.
6.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es bei diesem Zufallsexperiment 
mögliche Ausfälle, da zu Beginn 10 Kugeln in der Urne sind.
a)
Wenn man nur weiße Kugeln zieht, gibt es zunächst dann dann usw. mögliche günstige Ausfälle.
b)
c)
d)
7.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es mögliche Ausfälle.
a)
b)
c)
8.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es 
mögliche Anordnungen der Ziffern (die Zahl hat sieben Stellen).
a)
Es gibt für das Ereignis 
insgesamt 
günstige Anordnungen. Damit ist
.
b)
Es gibt für das Ereignis 
insgesamt 
günstige Anordnungen. Damit ist
.
c)
, da es für die Anordnung 111 genau fünf verschiedene Möglichkeiten gibt.
9.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Für die Anordnung der Autos gibt es 
verschiedene Möglichkeiten. Unter dieser Fülle von Möglichkeiten gibt es nur eine richtige Antwort (= eine richtige Reihenfolge).
Will man die Reihenfolge ohne Autokenntnisse erraten, geht man vereinfacht davon aus, dass alle Anordnungen gleichwahrscheinlich sind. Damit liegt ein Laplace-Experiment vor. Damit die Wahrscheinlichkeit kleiner als
ist, muss also gelten:
![\(\begin{array}{rlllllll}
\dfrac{1}{n!} \lt 0,00005 &\scriptsize{\mid \cdot n! :0,00005}\\[3pt]
\dfrac{1}{0,00005} \lt n! \\[3pt]
20.000\lt n!
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e2979f78a0e9872cd9dd8ff24983b95910ff99025b265b0df47a289932414fa3?color=5a5a5a)
Durch Nachrechnen erhält man 
und 
. Also muss 
sein.
Ab 
nach ihren Preisen geordneten Autos liegt die Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge zu erraten, deutlich unter .
Will man die Reihenfolge ohne Autokenntnisse erraten, geht man vereinfacht davon aus, dass alle Anordnungen gleichwahrscheinlich sind. Damit liegt ein Laplace-Experiment vor. Damit die Wahrscheinlichkeit kleiner als