Gerade - Ebene

Mit dem Abstand zwischen einer Gerade $g$ und einer Ebene $E$ ist der kürzeste Abstand gemeint. Um diesen bestimmen zu können, ist es zuerst nötig die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu kennen.

Für die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene gibt es drei Möglichkeiten:

Die Gerade liegt in der Ebene $\Rightarrow$ der Abstand ist null
Die Gerade und die Ebene schneiden sich $\Rightarrow$ der Abstand ist null
Die Ebene und die Gerade sind parallel $\Rightarrow$ der Abstand entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes $P$ auf der Geraden zur Ebene. Dieser kann wie gewohnt mit Hilfe der Hesseschen Normalenform berechnet werden.

Das bedeutet, dass man nur, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist, wirklich einen Abstand berechnen muss. Überprüfe also immer zuerst die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene.

Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ .

$E:2x_1+2x_2+x_3=-1$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\3\\-4\end{pmatrix}$

$E:x_1-2x_2=-x_3+3$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$

$E:6x_1-3x_2+6x_3=-3$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

$E:3x_2=4x_3+5$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}6\\5\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\8\\6\end{pmatrix}$

$E:2x_1+6=4x_2-4x_3$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\-2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

$E:-3x_1-6x_2-2x_3=4$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\-4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\-2\\0\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand zwischen

der Ebene $E$ und der Geraden $g$ .

$E:\overrightarrow{x}$ = $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}4\\8\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$

$E:\overrightarrow{x}$ = $\begin{pmatrix}5\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$

$E:\overrightarrow{x}$ = $\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$

$E:\overrightarrow{x}$ = $\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ .

$E:\begin{pmatrix}4\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}\right]=0$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$

$E:\begin{pmatrix}-5\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}\right]=0$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix}$

$E:\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$

$E:\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}\right]=0$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-6\\6\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}$

Bestimme jeweils eine mögliche Koordinate des Stützvektors der Gerade $g$ so, dass sie

den Abstand $d=4$

den Abstand $d=3$

von der Ebene $E$ haben.

$E:3x_2-4x_3=2$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}7\\t\\-7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}$

$E:-4x_1+2x_2-4x_3=2$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}t_1\\t_2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$

$E:2x_1-4x_2-4x_3=0$ , $\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}t_1\\t_2\\t_3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$

Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide wird durch die Punkte $A(4\mid1\mid1)$ , $B(4\mid4\mid1)$ , $C(1\mid4\mid1)$ und $D(1\mid1\mid1)$ beschrieben.
Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden

$g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}$ .

Berechne das Volumen $V$ der Pyramide.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Überprüfe zunächst die Lage der Geraden zu der Ebene. Liegt die Gerade in der Ebene so beträgt der Abstand zwischen diesen $0$ . Sind Gerade und Ebene parallel, berechnest du den Abstand mit der Hesseschen Normalform.
Gehe also folgendermaßen vor:

Prüfe die Lage der Geraden $g$ zu der Ebene $E$
Stelle die Hessesche Normalform (HNF) auf
Setze die Koordinaten des Stützvektors der Gerade $g$ in die HNF ein

1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$

Um zu überprüfen, ob die Gerade $g$

und die Ebene $E$ parallel sind, bildest

du das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Wenn die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das Skalarprodukt ergibt dann $0$ . Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatenform der Ebenengleichung ablesen.

$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\-4\end{pmatrix}= \end{array}$