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Mündliche Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Geraden

Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie. Auf ihr befinden sich unendlich viele Punkte aus dem Koordinatensystem. Eine solche Gerade kann durch zwei verschiedene Punkte vollständig definiert werden: Sind beispielsweise zwei Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ im Koordinatensystem gegeben, so kann die Gleichung einer Geraden $g$ durch diese beiden Punkte wie folgt angegeben werden:

$g: \overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$ , $\quad t\in \mathbb{R}$

Hierbei versteht man unter

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Geraden $g$ ,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$ ,
$t$ eine reelle Zahl, für die der Richtungsvektor beliebig lang bzw. kurz werden kann und somit alle Punkte auf der Geraden erreicht werden können.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 0 \mid 0)$ und $B(4 \mid -5 \mid 6)$ . Stelle die Geradengleichung einer Geraden $g$ durch diese Punkte auf:
Zuerst legen wir fest, dass der Vektor $\overrightarrow{OA}$ Stützvektor und $\overrightarrow{AB}$ Richtungsvektor sein soll. Du kannst auch $\overrightarrow{OB}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{BA}$ Richtungsvektor wählen, dadurch erhältst du die selbe Gerade im Raum.
$\overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad$ $\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$
Diese kannst du nun in die allgemeine Formel der Geradengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Geraden $g$ :
$g:\quad \overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$ , $\quad t\in \mathbb{R}$

1.

Aufstellen von Geradengleichungen

a)

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)&\quad\\[5pt] \end{array}$ , $\quad s\in \mathbb{R}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

b)

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right), \quad s\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

c)

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{p}+s\cdot\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right), \quad s\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Den Richtungvektor kann man nun noch mit dem Faktor $2$ verlängern:

$g$ : $\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$ $, \quad s\in \mathbb{R}$

d)

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{c}+s\cdot\left(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\right), \quad s\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Den Richtungvektor kann man nun noch mit dem Faktor $4$ verlängern

$g$ : $\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}c} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 20 \\ -3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$ $, \quad s\in \mathbb{R}$

2.

Punktproben durchführen

a)

$A\left(1\mid2\mid4\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrrl} \text{I}&1&=\;...\\[5pt] \text{II}&2&=\;...\\[5pt] \text{III}&4&=\;...\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das LGS ist nicht lösbar. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

b)

$B\left(-1\mid4\mid1\right)$ und $g$ : $\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&-1&=\;...\\[5pt] \text{II}&4&=\;...\\[5pt] \text{III}&1&=\;...\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.

c)

$C\left(\frac{1}{2}\mid-\frac{1}{2}\mid1\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\left( {\begin{array}{*{20}r} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} - 1\\ 1\\ -2\\ \end{array}} \right)$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&\frac{1}{2}&=\;...\\[5pt] \text{II}&-\frac{1}{2}&=\;...\\[5pt] \text{III}&1&=\;...\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.

d)

$D\left(2\mid-1,25\mid0\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1.25 \\ 0 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { -4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -0,25 \\ -8 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} { -4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&1&=\;...\\[5pt] \text{II}&-\frac{1}{4}&=\;...\\[5pt] \text{III}&-8&=\;...\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das LGS hat keine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

3.

Punktproben durchführen

a)

$P\left(t\mid10\mid8\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 2} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ 10 \\ 8 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 2} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} t-1 \\ 8 \\ 6 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&t-1&=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der ersten Zeile $s=2$ stehen. Es muss daher gelten:

$\dfrac{t-1}{2}=2 \qquad\mid \cdot2$

Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:

$\begin{array}{rll} t-1=&4&\quad\\[5pt] t=&5\\ \end{array}$

Für $t=5$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.

b)

$P\left(6\mid-2\mid t\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -2 \\ t \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -3 \\ t-3 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&6&=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der letzten Zeile $s=3$ stehen. Es muss daher gelten:

$\dfrac{t-3}{4}=3 \qquad\mid \cdot4$

Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:

$\begin{array}[t]{rll} t-3=&12&\quad\\[5pt] t=&15\\ \end{array}$

Für $t=15$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.

c)

$P\left(2\mid t\mid-3\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ t \\ -3 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2 \\ t-2 \\ -3-1 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&0&=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der mittleren Zeile $s=-1$ stehen. Es muss daher gelten:

$-(t-2)=-1 \qquad\mid \cdot(-1)$

Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:

$\begin{array}[t]{rll} t-2=&1&\quad\\[5pt] t=&3\\ \end{array}$

Für $t=3$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.

d)

$P\left(t\mid2\mid5\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)$

Gleichsetzen

$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ 2 \\ 5 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} t-(-1) \\ 2-1 \\ 5-3 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&t+1&=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der oberen Zeile $s=1$ stehen. Es muss daher gelten:

$\frac{t+1}{3}=1 \qquad\mid \cdot3$

Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:

$\begin{array}[t]{rll} t+1=&3&\quad\\[5pt] t=&2\\ \end{array}$

Für $t=2$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.

4.

a)

1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen

$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0-2\\ -2-1\\ 6-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix} , \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$

2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.

$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -2\\ -5\\ 9\\ \end{pmatrix}=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&-4&=&-2r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] \text{II}&-6&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] \text{III}&6&=&3r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] \end{array}$

Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.

b)

1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen

$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2-1\\ 1-4\\ 0-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix}, \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$

2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.

$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 6\\ \end{pmatrix}=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \text{II}&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \text{III}&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \end{array}$

Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.

c)

1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen

$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0-(-2)\\ 2-4\\ 3-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix}, \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$

2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.

$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&1&=&2r&\Rightarrow{ }&r=&0,5\\[5pt] \text{II}&-1&=&-2r&\Rightarrow{ }&r=&0,5\\[5pt] \text{III}&0&=&0\\[5pt] \end{array}$

Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.

d)

1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen

$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1-5\\ 0-3\\ 4-2\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix}, \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$

2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.

$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 11\\ 6\\ 0\\ \end{pmatrix}=&... \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus ergibt sich ein LGS

$\begin{array}{lrcrcrcrr} \text{I}&6&=&-6r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \text{II}&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \text{III}&-2&=&2r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\ \end{array}$

Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.

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